摘?要:動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra可以直觀、動(dòng)態(tài)、交互地演示高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)概念,顯著提高高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的質(zhì)量和效率。本文探討圍繞高等數(shù)學(xué)的知識(shí)概念構(gòu)建動(dòng)態(tài)圖形化輔助教學(xué)資源庫(kù),在大學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)代化教學(xué)方面的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值,并以“曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)曲面”為例加以演示。
關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué);動(dòng)態(tài)圖形化教學(xué);GeoGebra;旋轉(zhuǎn)曲面
1 GeoGebra簡(jiǎn)介
GeoGebra是由美國(guó)佛羅里達(dá)州亞特蘭大大學(xué)數(shù)學(xué)系教授Markus Hohenwarter開發(fā)設(shè)計(jì)的,其最大的特點(diǎn)就是易用性高,基于Javascript語(yǔ)言和坐標(biāo)系統(tǒng),具有比幾何畫板功能更豐富、可編程性更強(qiáng)的特點(diǎn)。國(guó)內(nèi)有關(guān)GeoGebra的文獻(xiàn)相對(duì)較少,其中比較早是2010年左曉明等[1]介紹了演示軟件GeoGebra的功能及如何利用該軟件優(yōu)化整合數(shù)學(xué)教學(xué)的各環(huán)節(jié)。北京大學(xué)的唐大仕[2]教授在中國(guó)大學(xué)MOOC開設(shè)了動(dòng)態(tài)幾何畫板Geogebra教學(xué)應(yīng)用課程,2018年開課至今已第10次開課,極大地推動(dòng)了Geogebra在教學(xué)中的應(yīng)用。目前GeoGebra的應(yīng)用主要集中在初高中的數(shù)學(xué)及物理教學(xué)當(dāng)中,在高校教學(xué)中尚未得到廣泛地普及推廣。在高等教育教學(xué)方面,我們發(fā)現(xiàn)對(duì)GeoGebra研究與應(yīng)用的成果較少(周洪[3],2020;閆永芳[4],2021),GeoGebra在大學(xué)數(shù)學(xué)類課程教學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用還處于不夠系統(tǒng)和完善階段。
2 高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)
學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際上是學(xué)習(xí)一門數(shù)學(xué)語(yǔ)言,它是由數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)符號(hào)所構(gòu)成,具有嚴(yán)格的推理邏輯,非常適合表達(dá)各個(gè)學(xué)科理論知識(shí)的語(yǔ)言。要學(xué)會(huì)這門數(shù)學(xué)語(yǔ)言,就需要將這些數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)符號(hào)與其具體涵義建立起聯(lián)系。數(shù)學(xué)概念如果能配以具體的、動(dòng)態(tài)的圖形化演示將非常有趣味,讓學(xué)生產(chǎn)生直觀具象的認(rèn)識(shí),從而真正理解概念,而只有理解了數(shù)學(xué)概念,才能進(jìn)一步基于邏輯推理構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系這個(gè)大廈。這些才是真正的數(shù)學(xué)知識(shí),對(duì)后續(xù)的專業(yè)課程學(xué)習(xí)有幫助的東西。大學(xué)數(shù)學(xué)類課程的基礎(chǔ)課程如果不能將大部分學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)打牢固,那么就是失敗的。同時(shí),我們也注意到一些國(guó)外的優(yōu)秀數(shù)學(xué)教材所具有的一些優(yōu)點(diǎn):論述得非常詳盡,會(huì)詳細(xì)闡述概念的由來和實(shí)際用途,很多內(nèi)容非常適合學(xué)生自主學(xué)習(xí);例題和課后習(xí)題也多與實(shí)際問題相結(jié)合告訴學(xué)生概念有什么用途;同時(shí)還加入了新的信息技術(shù)用數(shù)學(xué)軟件實(shí)現(xiàn)通常的數(shù)學(xué)計(jì)算。而GeoGebra可以很好地利用其自身強(qiáng)大的代數(shù)、幾何、3D、表格、概率統(tǒng)計(jì)、微積分等優(yōu)勢(shì),特別是動(dòng)態(tài)化的演示,能夠突破傳統(tǒng)教法中現(xiàn)存的問題,提高大學(xué)數(shù)學(xué)類課程教學(xué)的質(zhì)量和效率。
正是認(rèn)識(shí)到目前國(guó)內(nèi)大學(xué)數(shù)學(xué)類課程教與學(xué)的上述種種弊端,我們教學(xué)團(tuán)隊(duì)將分析借鑒國(guó)內(nèi)外高校數(shù)學(xué)類課程教學(xué)經(jīng)驗(yàn),去粗取精,以基于Geogebra的高校數(shù)學(xué)類課程動(dòng)態(tài)圖形化教學(xué)資源建設(shè)為突破口,致力于更新傳統(tǒng)數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)理念與方法,以生為本,提升教學(xué)質(zhì)量。我們將圍繞大學(xué)數(shù)學(xué)類課程中的知識(shí)點(diǎn),致力于用強(qiáng)大的Geogebra軟件,賦以數(shù)學(xué)定義及概念以幾何直觀,建立幾何直觀與抽象定義、概念之間的聯(lián)系,設(shè)計(jì)并制作動(dòng)態(tài)圖形化課件,探索更加完善的GeoGebra動(dòng)態(tài)圖形化方法輔助大學(xué)數(shù)學(xué)類課程教學(xué)的使用策略,激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和探索欲,讓大學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)。建設(shè)高等數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)圖形化教學(xué)資源庫(kù),這無疑具有重要的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值。
3 基于Geogebra構(gòu)建高等數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)圖形化教學(xué)資源庫(kù)
目前,我們教學(xué)團(tuán)隊(duì)已經(jīng)設(shè)計(jì)制作了近百個(gè)高等數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)圖形化輔助教學(xué)課件,包括各種函數(shù)圖形、數(shù)列極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、黎曼積分、泰勒公式、偏導(dǎo)數(shù)、球坐標(biāo)微元等。
下面僅舉一例加以演示:“曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)曲面”。
旋轉(zhuǎn)曲面[5]是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn),涉及立體圖形、動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)過程,普通教學(xué)設(shè)計(jì)往往是靜態(tài)圖形:在平面上從某個(gè)角度看到的三維效果,很難體現(xiàn)真正的幾何直觀,學(xué)生想象不出具體圖形和旋轉(zhuǎn)過程,就很難深入地理解和掌握該知識(shí)點(diǎn)。而Geogebra恰恰擅長(zhǎng)于此,動(dòng)動(dòng)鼠標(biāo)就可以交互式地從不同角度、放大或縮小地觀看立體圖形,拉動(dòng)滑動(dòng)條觀察旋轉(zhuǎn)曲面動(dòng)態(tài)生成的旋轉(zhuǎn)過程。
定義1[5]一條平面曲線Γ繞其平面上一條定直線l旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面,稱為旋轉(zhuǎn)曲面。該定直線稱為l旋轉(zhuǎn)軸,曲線Γ稱為母線。
定義2[5]母線上任一點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的軌跡,稱為緯圓;以旋轉(zhuǎn)軸l為邊界的半平面于旋轉(zhuǎn)曲面的交線,稱為經(jīng)線。
曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)曲面。不妨考慮yOz面上的曲線C:f(y,z)=0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)曲面。
圖1是《高等數(shù)學(xué)》同濟(jì)七版旋轉(zhuǎn)曲面的配圖,該圖只是從正面視角看到的最終的旋轉(zhuǎn)曲面,無法看到旋轉(zhuǎn)曲面生成的旋轉(zhuǎn)過程(點(diǎn)和曲面的旋轉(zhuǎn)軌跡),只能靠文字?jǐn)⑹鲎寣W(xué)生自行想象;另外,在平面上只從一個(gè)視角憑感覺(不是基于嚴(yán)格坐標(biāo)系統(tǒng))展示立體圖形,立體感也有所欠缺。
下面用Geogebra開發(fā)旋轉(zhuǎn)曲面的動(dòng)態(tài)圖形化課件,可以彌補(bǔ)上述所有缺陷,極大地提升教學(xué)效果。Geogebra是基于坐標(biāo)系統(tǒng),通過指令可以方便地繪制嚴(yán)格精確的二維/三維圖形,再輔以滑動(dòng)條、鼠標(biāo)操作等,可以動(dòng)態(tài)地、多視角地展示圖形。主要制作步驟如下:
(1)首先要選擇一條適合演示本問題的已知表達(dá)式的曲線,這里選擇一條yOz面上的半支雙曲線,用空間參數(shù)方程表示為:
參數(shù)a,b決定雙曲線的形狀,適合定義成Geogebra中的滑動(dòng)條,滑動(dòng)它們就能改變雙曲線的形狀。
要繪制該雙曲線,需要用參數(shù)形式的(空間)「曲線」指令,其基本語(yǔ)法為:
曲線(x(t),y(t),z(t),參變量t,t起始值,t終止值)。
其中,x(t),y(t),z(t)分別為曲線的參數(shù)方程分量。
在曲線上任取一點(diǎn),適合用描點(diǎn)指令,基本語(yǔ)法:描點(diǎn)(幾何對(duì)象)。這樣繪制的點(diǎn),用鼠標(biāo)拖動(dòng)可以在幾何對(duì)象上隨意移動(dòng)。打開Geogebra 3D繪圖區(qū),依次在輸入框輸入如下指令并回車:
(2)繪制點(diǎn)M0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周的軌跡。為了展示動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)過程,增加滑動(dòng)條θ,滑動(dòng)控制旋轉(zhuǎn)到角度θ。
Geogebra繪圖按極坐標(biāo)更容易實(shí)現(xiàn),點(diǎn)M0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)點(diǎn)M,易知旋轉(zhuǎn)半徑為y0,又旋轉(zhuǎn)角度為-θ,故M點(diǎn)的極坐標(biāo)寫法為:
其中,y(M0),z(M0)表示點(diǎn)M0的y值和z值。Geogebra有同名的函數(shù):x(P),y(P),z(P)可以分別提取點(diǎn)P的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)、z坐標(biāo)。
繪制從點(diǎn)M0到點(diǎn)M的軌跡,這是一段圓弧。繼續(xù)用Geogebra(空間)「曲線」指令來繪制。這里實(shí)際上就是讓點(diǎn)M0繞旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)t度,讓t作為參變量從0變化到θ。為了增加視覺效果,將旋轉(zhuǎn)中心(0,0,z0)點(diǎn)繪制出來,并連線位于邊界的兩條半徑。
依次在輸入框輸入如下指令并回車:
(3)繪制旋轉(zhuǎn)曲面的軌跡。整條曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面。同樣為了展示動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)過程,使用前面的滑動(dòng)條θ,滑動(dòng)控制旋轉(zhuǎn)到角度θ。共用一個(gè)θ的好處是,拖動(dòng)滑動(dòng)條θ時(shí),曲線C旋轉(zhuǎn)的曲面軌跡與點(diǎn)M0旋轉(zhuǎn)的圓周軌跡會(huì)一起跟著變化。
Geogebra用「曲面」指令繪制空間曲面,共有三種語(yǔ)法,這里適合選用:曲面(曲線,旋轉(zhuǎn)的角度,旋轉(zhuǎn)軸)。本例就是將曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)角度θ,于是,在輸入框輸入指令并回車:
曲面(C,θ,z軸)
這就完成了“曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)曲面”整個(gè)動(dòng)態(tài)圖形化課件的制作,結(jié)果如圖2所示:
若用鼠標(biāo)緩慢拖到滑動(dòng)條θ從0°到360°變化,則點(diǎn)M0的旋轉(zhuǎn)軌跡(藍(lán)色虛線及紅色M點(diǎn))以及曲線C的旋轉(zhuǎn)軌跡(紅色曲面),都將跟著動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn);若用滑動(dòng)M0點(diǎn),則藍(lán)色虛線及紅色M點(diǎn)將在曲面上滑動(dòng),真正體現(xiàn)任意一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)軌跡與整條曲線的旋轉(zhuǎn)軌跡的關(guān)聯(lián)性。同樣地,若想切換不同視角觀看當(dāng)前圖形,按住并移動(dòng)鼠標(biāo)就可以實(shí)現(xiàn)。
另外,位于Geogebra窗口左側(cè)的代數(shù)區(qū),自動(dòng)列出了所有幾何對(duì)象的指令代碼,它們是與幾何對(duì)象相關(guān)聯(lián)的,鼠標(biāo)點(diǎn)擊相應(yīng)的藍(lán)點(diǎn),可以切換是否在圖形中顯示該幾何對(duì)象。這非常便于突出演示部分概念和相應(yīng)幾何對(duì)象。
本課件是以半支雙曲線作為旋轉(zhuǎn)曲面的母線,該曲線可以換成其他曲線方程,其他都無需改動(dòng),就能動(dòng)態(tài)化演示各種不同的旋轉(zhuǎn)曲面。比如將母線換成半圓則旋轉(zhuǎn)出球面,換成半橢圓則旋轉(zhuǎn)出橢球面,換成異面直線則也旋轉(zhuǎn)出單葉雙曲面……這些我們均已實(shí)現(xiàn)。
上述設(shè)計(jì)制作的“曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)曲面”動(dòng)態(tài)圖形化課件,保存為.ggb文件,大小只有28k.在課堂上,只要電腦里裝有Geogebra軟件,就可以打開并現(xiàn)場(chǎng)動(dòng)態(tài)化地給學(xué)生演示。借助GGBPlayer插件甚至可以將.ggb文件嵌入PPT中,在PPT全屏放映狀態(tài)下用鼠標(biāo)動(dòng)態(tài)操作,而且不需要電腦里安裝有Geogebra軟件。具體嵌入使用方法,可參閱“GGBPlayer功能特點(diǎn)”。
4 結(jié)論與展望
通過基于GeoGebra的高等數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)圖形化輔助教學(xué)課件的設(shè)計(jì),并將其應(yīng)用到實(shí)際的大學(xué)教學(xué)中來,在線下課堂、線上教學(xué)都受到了學(xué)生的廣泛好評(píng)。利用GeoGebra進(jìn)行輔助教學(xué)相比于傳統(tǒng)的教學(xué)方式,GeoGebra環(huán)境下的教學(xué)更清晰,可視化效果更好,將GeoGebra軟件應(yīng)用于教學(xué)中,不僅能使概念的形成過程清晰可視化,讓學(xué)生更好地接受吸收,也使得學(xué)生在課堂上不再只是單純地傾聽者,而是參與到對(duì)未知知識(shí)的探索之中,從而使得學(xué)生更加積極主動(dòng)地參與對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)中去,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的探索求知精神以及創(chuàng)新思維,同時(shí)也增加了課堂的活躍性與趣味性,有助于提高教學(xué)效果。因此將GeoGebra使用到數(shù)學(xué)教學(xué)上,是非常具有實(shí)用價(jià)值的,能夠?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)課堂帶來更好的教學(xué)效果。
我們教學(xué)團(tuán)隊(duì)基于GeoGebra的高等數(shù)學(xué)課程動(dòng)態(tài)圖形化教學(xué)資源建設(shè)為突破口,致力于更新傳統(tǒng)數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)理念與方法,注重知識(shí)概念的動(dòng)態(tài)交互圖形演示,能夠大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和教師的教學(xué)效果。因此,應(yīng)當(dāng)大力提倡應(yīng)用現(xiàn)代教育技術(shù)促進(jìn)教學(xué)改革,注重信息技術(shù)在課堂教學(xué)中的應(yīng)用,并在課堂教學(xué)中注意利用其展現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容,以增大課堂教學(xué)信息量,激發(fā)學(xué)生興趣。
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[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第七版 下冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2014.
[6]GB123.GGBPlayer功能特點(diǎn),https://www.ggb123.cn/ggbplayer2/.
基金項(xiàng)目:本文是黑龍江省高等教育教學(xué)改革一般研究項(xiàng)目“基于Geogebra的高校數(shù)學(xué)類課程動(dòng)態(tài)圖形教學(xué)資源建設(shè)與研究”(SJGY20200353)資助階段性成果
作者簡(jiǎn)介:張敬信(1982—?),男,河北保定人,基礎(chǔ)數(shù)學(xué)博士,基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院副教授,哈爾濱商業(yè)大學(xué),研究方向:大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)模型、數(shù)據(jù)挖掘等。