在“正態(tài)分布”教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化之美

范世祥

【關(guān)鍵詞】正態(tài)分布；教學(xué)價(jià)值；數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)美

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2022）91-0070-02

正態(tài)分布是概率論中重要的連續(xù)型概率模型。然而在高中階段，受學(xué)生知識(shí)水平的限制，正態(tài)分布的許多結(jié)論無法嚴(yán)格證明或直接計(jì)算，在教學(xué)中教師往往一帶而過。為挖掘該課題的內(nèi)在教學(xué)價(jià)值，筆者深入研究教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，得出了以下認(rèn)識(shí)與思考。

“正態(tài)分布”是“隨機(jī)變量及其分布”的最后一節(jié)，安排在隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的均值與方差之后。從本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來看，重點(diǎn)是正態(tài)分布的概念及性質(zhì)，難點(diǎn)是正態(tài)分布概念的形成與理解，尤其是正態(tài)分布密度函數(shù)解析式。從正態(tài)分布在數(shù)學(xué)中的地位以及正態(tài)分布的發(fā)展歷史來看，本節(jié)內(nèi)容包含了巨大的應(yīng)用價(jià)值與文化價(jià)值。因此，筆者認(rèn)為本節(jié)課定位于數(shù)學(xué)文化課與研究課比較適宜。教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過對正態(tài)分布相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)與課后研究，了解正態(tài)分布的發(fā)展歷程，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要性及其廣泛的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的博大精深與數(shù)學(xué)的美，培養(yǎng)學(xué)生的研究能力，提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)。

1.對此引入方式

筆者綜合了各版本教材“正態(tài)分布”這部分內(nèi)容的引入方式，發(fā)現(xiàn)大體可以分成兩種。第一種是從具體實(shí)例出發(fā)，描述誤差數(shù)據(jù)的分布引入，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)誤差隨機(jī)變量的取值無法一一列舉；第二種是借助計(jì)算機(jī)模擬，以高爾頓釘板的演示引入，在問題的引導(dǎo)下，學(xué)生利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理——從頻率分布直方圖到頻率分布折線圖再到總體密度曲線引出正態(tài)分布的密度曲線，從離散型到連續(xù)型過渡，使學(xué)生歷經(jīng)形成對正態(tài)分布最直觀最初步的認(rèn)識(shí)。

無論哪種引入方式，都突出了對數(shù)據(jù)的分析與處理，其目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。兩種引入方式對數(shù)據(jù)分析從育人的價(jià)值上做了引領(lǐng)，并將其落實(shí)到三個(gè)方面：一是提升學(xué)生主動(dòng)獲取信息、定量分析的意識(shí)和能力；二是形成通過數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)事物的思維品質(zhì)；三是積累基于數(shù)據(jù)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.優(yōu)化內(nèi)容生成

本節(jié)課的內(nèi)容主要分為兩個(gè)部分，第一部分是正態(tài)分布概念的形成，第二部分是正態(tài)曲線的性質(zhì)探究及應(yīng)用。對于第二部分，從正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式出發(fā)，結(jié)合數(shù)學(xué)軟件等工具，學(xué)生不難獲得正態(tài)曲線的特點(diǎn)并能利用[3σ]原則解決相關(guān)問題。

正態(tài)分布的概念有三個(gè)層面，第一是直觀層面，鐘形曲線就是或近似地是正態(tài)曲線；第二個(gè)層面是從實(shí)例的特征理解怎樣的隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布；第三個(gè)層面是正態(tài)分布密度函數(shù)[φμ，σ（x）]= [12πσe- （x-μ）22σ2]，[x∈（-∞，+∞）]的獲得，這一層面恰恰是學(xué)生感到最為困惑的。如何讓學(xué)生更清晰、準(zhǔn)確地理解正態(tài)分布的概念，筆者認(rèn)為可以嘗試以下三個(gè)步驟的教學(xué)。

第一，演示高爾頓釘板試驗(yàn)，借助數(shù)據(jù)分析作圖首先可以使學(xué)生得到第一層面中對“鐘形曲線”的認(rèn)識(shí)；再通過分析高爾頓釘板試驗(yàn)結(jié)果以及其他實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生得到第二個(gè)層面中對“眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和”的理解，并從實(shí)例中數(shù)據(jù)的均值與離散程度明確均值[μ]與標(biāo)準(zhǔn)差[σ]是正態(tài)分布中最重要的兩個(gè)參數(shù)，為第三個(gè)層面的突破做準(zhǔn)備。

第二，結(jié)合正態(tài)曲線圖象在x軸上方以及其對稱性引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想密度函數(shù)解析式的大致形式。

第三，教材以小貼士的方式提出了棣莫弗利用[n！]的近似公式得到正態(tài)分布。教師可以展示[n！]的近似公式，即斯特林（Stirling）公式：[n！≈2πn（ne）n]。學(xué)生在了解這些背景后就不會(huì)對[φμ，σ（x）]解析式的出現(xiàn)感到困惑與茫然了。

3.感悟數(shù)學(xué)之美

當(dāng)正態(tài)分布密度函數(shù)[φμ，σ（x）=12πσe-（x-μ）22σ2]，[x∈（-∞，+∞）]很自然地一步步被呈現(xiàn)出來，學(xué)生可以從中感受到數(shù)學(xué)家們探索知識(shí)的過程，還可以欣賞這個(gè)解析式內(nèi)在的數(shù)學(xué)美，這個(gè)式子完美地包含了數(shù)學(xué)中美麗的“五朵金花”：圓周率[π]、自然對數(shù)的底數(shù)[e]、最小質(zhì)數(shù)的算術(shù)平方根[2]、均值[μ]、標(biāo)準(zhǔn)差[σ]。

本節(jié)課從結(jié)構(gòu)上是“一條線索”——隨機(jī)誤差試驗(yàn)的探究；從內(nèi)容上有“兩個(gè)部分”——正態(tài)分布的概念、正態(tài)曲線的性質(zhì)與應(yīng)用；在正態(tài)分布概念的認(rèn)識(shí)上有“三個(gè)層面”——圖形、特征、密度函數(shù)；貫穿教材及正態(tài)分布發(fā)展史有“三個(gè)人物”——高爾頓、棣莫弗、高斯；最后盛開的是“五朵金花”——[π ， e ， 2 ， μ ， σ]。筆者認(rèn)為，正確地理解和把握以上內(nèi)容，對于這節(jié)課的教與學(xué)是十分必要的。

高中數(shù)學(xué)教師用書上建議本節(jié)課以一課時(shí)完成，在一個(gè)課時(shí)內(nèi)完成這樣的教學(xué)任務(wù)，使得學(xué)生既掌握正態(tài)分布的相關(guān)知識(shí)又能感受到其中所蘊(yùn)含的豐富文化歷史背景還是比較困難的。如何利用好這節(jié)課的文化價(jià)值？筆者認(rèn)為可以布置研究性學(xué)習(xí)的任務(wù)，先讓學(xué)生搜集正態(tài)分布的起源、發(fā)展、應(yīng)用等相關(guān)數(shù)學(xué)素材，再分組合作寫成研究報(bào)告，最后選擇一些出色的小組在課堂上給全班同學(xué)做展示。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。筆者認(rèn)為這節(jié)課的價(jià)值在高考之外，教師認(rèn)真對待這節(jié)課，可以開拓學(xué)生的視野，對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升有著很多益處，同時(shí)也可促進(jìn)教師自身的專業(yè)發(fā)展。

（作者單位：江蘇省太倉高級(jí)中學(xué)）