安宏

[摘 ?要] 在數(shù)學學科核心素養(yǎng)的六個要素中，與學生關(guān)系最密切、學生最熟悉，同時又有著較大培養(yǎng)空間的要素是數(shù)學運算. 在核心素養(yǎng)培育的背景下，數(shù)學運算也包含著關(guān)鍵能力的培養(yǎng)要求，因此在培育學生的數(shù)學運算素養(yǎng)時，教師應當有更多的理解、更多的實踐，以及更多的反思. 數(shù)學運算中的邏輯關(guān)系可以幫助學生深化數(shù)學知識理解、建構(gòu)數(shù)學知識體系、形成數(shù)學運用能力;高中數(shù)學視野下的數(shù)學運算所蘊含的組合、推理等思維，反映著集合之間的映射，反映著函數(shù)所蘊含的對應法則.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學;核心素養(yǎng);數(shù)學運算

當核心素養(yǎng)的概念被正式提出后，高中數(shù)學教學就一直面臨著一個基本的任務，那就是如何讓核心素養(yǎng)落地. 在數(shù)學這門具體的學科中，需要培養(yǎng)的是核心素養(yǎng)的下屬概念，也就是數(shù)學學科核心素養(yǎng). 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》以六大數(shù)學學科核心素養(yǎng)要素為主題，明確了數(shù)學學科核心素養(yǎng)的組成部分，這些要素分別是數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析，并且新課標強調(diào)數(shù)學學科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力. 那么在具體的教學過程中，這些核心素養(yǎng)要素如何能夠得到有效的培養(yǎng)呢？筆者以為這與具體的核心素養(yǎng)要素有關(guān). 比如，要培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，那就應當給學生提供一些形象的事例讓學生去完成抽象. 相比較而言，在數(shù)學學科核心素養(yǎng)的六個要素中，與學生關(guān)系最密切、學生最熟悉，同時又有著較大培養(yǎng)空間的要素是數(shù)學運算. 可以說從學生開始接觸數(shù)學學科的那天開始，數(shù)學運算就已經(jīng)正式走入了學生的思維，義務教育階段的數(shù)學學習，很大程度上就是數(shù)學運算的學習;到了高中學段，數(shù)學運算被賦予了更多的內(nèi)涵，尤其是在核心素養(yǎng)培育的背景下，數(shù)學運算也包含著關(guān)鍵能力的培養(yǎng)要求，因此在培育學生的數(shù)學運算素養(yǎng)時，教師應當有更多的理解、更多的實踐，以及更多的反思.

數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)價值

對于高中學生而言，在數(shù)學學習的過程中培育數(shù)學運算素養(yǎng)有著什么樣的意義和價值呢？弄清楚這個問題，是數(shù)學運算素養(yǎng)得以培育的基礎(chǔ). 需要指出的是，數(shù)學運算不同于數(shù)學計算，不只是簡單的加減乘除或者其他的算式算法，在高中數(shù)學的知識體系里，數(shù)學運算能幫助學生尋找數(shù)學概念之間的聯(lián)系、發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，因此可以說培養(yǎng)數(shù)學運算能力是提升學生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵. 在課堂教學中，教師應著力培養(yǎng)和提高學生的數(shù)學運算能力，使他們熟練掌握運算技巧，并以此夯實基礎(chǔ). 具體地說，數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)價值主要有如下兩個方面：

一是數(shù)學運算中的邏輯關(guān)系可以幫助學生深化數(shù)學知識理解、建構(gòu)數(shù)學知識體系、形成數(shù)學運用能力. 形成這一理解意味著認識到了數(shù)學運算所具有的工具性作用，事實上，很多數(shù)學概念之間的聯(lián)系都可以在數(shù)學運算的過程中得以體現(xiàn)，學生也總能夠通過數(shù)學運算去發(fā)現(xiàn)這些聯(lián)系，并且建立起規(guī)律性的認識. 只不過在日常的教學中，教師與學生往往追求的都是數(shù)學運算的結(jié)果而不是過程，導致數(shù)學運算的過程所具有的營養(yǎng)價值也就流失了.

二是高中數(shù)學視野下的數(shù)學運算所蘊含的組合、推理等思維，反映著集合之間的映射，反映著函數(shù)所蘊含的對應法則. 認識到這一點，也就意味著認識到了數(shù)學運算所具有的功能性作用. 從高中數(shù)學知識體系的角度來看，假如沒有數(shù)學運算，那么作為最重要的函數(shù)知識及其思想，就很難支撐起整個高中數(shù)學知識體系的大廈. 從這個角度來看，任何一個數(shù)學知識的教學，都可以培育學生的數(shù)學運算素養(yǎng).

認識到以上兩個方面，在具體的教學過程中，教師也就有了有效的施力點，從而可以讓數(shù)學運算素養(yǎng)落地得到真正的保證.

數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑

更加精細的研究表明，數(shù)學核心素養(yǎng)中的數(shù)學運算素養(yǎng)主要包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設(shè)計運算程序、求得運算結(jié)果，因此具體的數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)就可以從以上幾個方面進行.

例如，“用‘二分法’求方程的近似解”這一知識的教學中，如果先分析學生的認知基礎(chǔ)，就會發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學生都認為方程是應當求精確解的，求近似解有什么意義呢？這時教師可以向?qū)W生提供一些方程，如lnx+2x-6=0. 當學生看到這個方程后，自然會發(fā)現(xiàn)用一般的方法無法求出方程的精確解. 在這種情況下，教師先不要把“二分法”介紹給學生，而是讓學生通過自主學習和合作學習進行探究.

教學實踐表明，在這個環(huán)節(jié)盡管絕大多數(shù)學生并不能一下就找到解方程的方法，但是他們會自然而然地形成一種解題思路，那就是用具體數(shù)取代未知數(shù)，這時學生進行的數(shù)學運算過程就是：先估計一個x的值，然后去計算lnx，6-2x的值分別是多少;如果lnx和6-2x的值差距較大，那么學生就會判斷應當將估計的x的值增大或者減小，這時有可能出現(xiàn)的情況是增大或者減小得太多，反而使得結(jié)果偏差更大，那么學生就會相應地修正自己的猜想，直到最終得到一個相對精確的結(jié)果.

經(jīng)歷了這樣一個過程學生就會發(fā)現(xiàn)，原來對于一些特殊的方程而言，求其近似值是有意義的. 更重要的是，在這樣的學習過程中，學生通過自己的摸索，實際上已經(jīng)初步接觸了“二分法”的運用本質(zhì). 因為在這樣的過程中，學生的思維在逐步完善：從估計開始，再去判斷，然后通過計算進行比較. 這體現(xiàn)出了數(shù)學運算的一些基本環(huán)節(jié)（實際上也體現(xiàn)出了數(shù)學運算與數(shù)學計算的區(qū)別）.

在學生有了這一認知基礎(chǔ)后，教師就可以向?qū)W生介紹“二分法”了. “二分法”的運用當然是從函數(shù)切入的，由于學生已經(jīng)知道了函數(shù)與方程的關(guān)系，自然也就知道了求方程lnx+2x-6=0的解實際上就是求函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點——當然這需要約定區(qū)間，比如在區(qū)間（2，3）內(nèi). 在這個環(huán)節(jié)，教師可以借助于計算器提高教學效率，也可以讓學生更快地驗證自己的猜想.

總之，經(jīng)歷這樣一個過程，學生可以迅速地掌握“二分法”. 而作為求函數(shù)近似值最基本的方法之一，學生對“二分法”的理解與運用，體現(xiàn)出了數(shù)學運算在高中數(shù)學教學中的價值. 這時教師有必要引導學生進行反思. 反思就是比較，比較的對象就是自己在初步探索時所經(jīng)歷的猜想、判斷、計算等過程，與掌握了“二分法”后進行計算的過程. 將這兩個過程進行比較，學生會發(fā)現(xiàn)在運用“二分法”時，由于區(qū)間明確，因此可以先從x=處判定方程的結(jié)果，不僅能提高計算效率，而且能保證結(jié)果更加準確.

數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)展望

在上面的例子中，學生能夠建立一個比較完整且具體的數(shù)學運算過程，經(jīng)歷這個過程，不僅能夠培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力，而且學生對數(shù)學運算的理解也會更加深刻. 這實際上就是從實際運用與理論理解兩個角度幫助學生建立起了對數(shù)學運算的認識. 相對于學生原有的認識而言，此時的認識無論是從廣度還是從深度來看，都有明顯的突破. 相應的，在這個過程中，學生所形成的數(shù)學運算能力也更容易上升為數(shù)學運算素養(yǎng)，從而奠定數(shù)學學科核心素養(yǎng)培育的基礎(chǔ).

數(shù)學運算來自運算技能同思維能力的結(jié)合，十分重要，有著極廣的應用范圍，所以更應該重視數(shù)學運算的學習. 在高中數(shù)學教學中展望數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)，筆者以為數(shù)學運算的價值還有待進一步挖掘，無論是教師還是學生，都需要進一步深化對數(shù)學運算素養(yǎng)的認識. 如同本文章開始所強調(diào)的那樣，首先要突破的一點認識就是不能把數(shù)學運算當作數(shù)學計算：計算只是運算的一部分，其所用的只是計算法則;而數(shù)學運算往往面臨著更加復雜的情境，面對著更多的不確定性，當學生在建構(gòu)數(shù)學概念以及尋求數(shù)學概念之間的聯(lián)系時，往往正是借助于數(shù)學運算來解決問題的. 因此更多地重視數(shù)學運算的這種價值，并且培養(yǎng)起學生熟練掌握數(shù)學運算技巧的能力，對于促進學生提升數(shù)學學習能力與品質(zhì)來說，將是一件非常有意義的事情.

綜上所述，高中數(shù)學教學要充分認識并且努力發(fā)掘數(shù)學運算的價值，要努力使其成為數(shù)學學科核心素養(yǎng)培育的有機組成部分.