姚張松 程黎明
摘 要:2017年版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)課程核心素養(yǎng),包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等,針對(duì)當(dāng)前提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的迫切需求,思考中學(xué)生如何根據(jù)已經(jīng)具備的數(shù)學(xué)知識(shí)解決新問(wèn)題的過(guò)程是必要的.本文在中學(xué)生已經(jīng)具備求解一元二次方程,以及高中拓展的行列式知識(shí)的基礎(chǔ)上,利用換元的技巧,把特殊的一元三次方程轉(zhuǎn)換成一元二次方程,得出了一元三次方程的解法.通過(guò)詳細(xì)展示解決問(wèn)題中的思維過(guò)程,來(lái)體現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)教育價(jià)值,從而更好地達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)學(xué)教育目標(biāo).同時(shí),推廣研究結(jié)果,得出很多新的結(jié)論.
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)教育;一元三次方程;行列式
中圖分類(lèi)號(hào):G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A?? 文章編號(hào):1008-0333(2022)04-0054-04
華為總裁提到,是數(shù)學(xué)幫助華為獲得了制定5G標(biāo)準(zhǔn)的先機(jī).要注重?cái)?shù)學(xué)方法的突起.5G時(shí)代同時(shí)給數(shù)學(xué)教育提出了更高的要求,呼喚著數(shù)學(xué)教育應(yīng)該上一個(gè)更高的臺(tái)階.
其實(shí),著名的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞提出:“現(xiàn)代探索法力求了解探索過(guò)程,特別是解題過(guò)程中典型有用的智力活動(dòng)”.數(shù)學(xué)教師如果能在教學(xué)中踐行這種智力活動(dòng)的過(guò)程,毫無(wú)疑問(wèn),這為學(xué)生將來(lái)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法打下扎實(shí)的基礎(chǔ),這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)是高質(zhì)量的數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué).
下面,我們通過(guò)一個(gè)例子來(lái)展示問(wèn)題解決的智力活動(dòng)過(guò)程.中學(xué)生都會(huì)解一元二次方程,教師能不能幫助學(xué)生進(jìn)一步提高認(rèn)知?解一個(gè)一元三次方程.
1 通過(guò)類(lèi)比得出解決問(wèn)題的思路“類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人”“用求根公式解一元二次方程”這是中學(xué)生的回答和做法.然而,我們現(xiàn)在可沒(méi)有現(xiàn)成的求一元三次方程的求根公式.讓我們回到求解一元二次方程的過(guò)程,或許能給我們帶來(lái)啟迪和靈感.
一元二次方程的一般形式是x2+ax+b=0,當(dāng)a≠0時(shí),古人曾用過(guò)作變量代換:
令x=y-a2,
方程變?yōu)閥2=a2-4b4.
即y=±a2-4b2.
從而x=-a±a2-4b2.
問(wèn)題獲得解決.
這種解法揭示了一種思維過(guò)程,其模式如下:
簡(jiǎn)化方程(變量代換)開(kāi)平方運(yùn)算(數(shù)學(xué)模型)問(wèn)題解決
一元三次方程的一般形式是
x3+ax2+bx+c=0.
借用古人的做法,作變量代換:
令x=y-a3,方程變?yōu)椋?/p>
y3+(b-a23)y+c+227a3-13ab=0.
由于a,b,c都是已知數(shù),所以我們可以把上述方程簡(jiǎn)化為:
y3+py+q=0.(其中p,q為已知數(shù))①
當(dāng)p=0或q=0時(shí),方程①很容易通過(guò)開(kāi)方運(yùn)算求解.以下討論均在p≠0且q≠0情形中進(jìn)行.
現(xiàn)在的問(wèn)題是:在解一元二次方程的思維鏈的中間那一環(huán)斷裂,機(jī)械的照搬無(wú)濟(jì)于事,顯然,我們要尋求引進(jìn)或建立一種適用的數(shù)學(xué)模型.
2 尋找熟悉的且類(lèi)似的模型
“看看未知數(shù)!試想起一個(gè)具有相同或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題來(lái)”.
解方程①等價(jià)于我們尋找y3+py+q因式分解式.它至少有一個(gè)一次因式y(tǒng)+α,于是y=-α是①的一個(gè)根,求出①的一個(gè)根后,剩余兩個(gè)根也就好求了,這提示我們所尋求的數(shù)學(xué)模型因具有兩種不同的計(jì)算方法,一種算出①式的左邊,一種算出
①的因式分解式,我們自然想到行列式的算法,它既有對(duì)角線算法,又有行列式性質(zhì)算法,且兩種算法等價(jià).
①是一個(gè)一元三次方程,我們自然選擇三階行列式,三階行列式用對(duì)角線法計(jì)算,有六項(xiàng),三正項(xiàng),三負(fù)項(xiàng).每項(xiàng)由不同行不同列的三個(gè)數(shù)相乘得到.先看主對(duì)角線上的三個(gè)數(shù),因?yàn)棰俚淖筮吶雾?xiàng)前面的系數(shù)是1,所以主對(duì)角線上三個(gè)元素取y可以滿足上述條件,當(dāng)然,三項(xiàng)乘積為y3有各種取法,例如:1,y,y2;1,1,y3等,但為了各行各列之和有公因式可以提取,我們只能選擇y,y,y這種,其余六個(gè)數(shù)我們可以通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定.
設(shè)D(y)=ya1a2a3ya4a5a6y,則
D(y)=y3-(a2a5+a1a3+a4a6)y+a1a4a5+a2a3a6.
D(y)與方程①的左邊已經(jīng)非常接近了.要使
D(y)有公因式可以提取,要么各行元素之和
相等,要么各列元素之和相等,為此,六個(gè)常數(shù)元素中任取三個(gè)或三個(gè)以上的元素都將破壞這個(gè)條件.六個(gè)元素的配置只能是兩種可能,第一種:
D(y)=ya1a1a1ya1a1a1y=y3-3a21y+2a31,
D(y)=(y+2a1)(y-a1)2,
三根為:y1=-2a1,y2=y3=a1.
D(y),a1應(yīng)是可求的已知,否則構(gòu)造不出模型,而后一個(gè)等式又表明a1是三次方程的根,它又是不可求的未知,a1的雙重身份明顯違背了同一律,說(shuō)明這樣的模型是不存在的.所以六個(gè)數(shù)相等雖然簡(jiǎn)單但不能這樣取.
第二種,假設(shè)六個(gè)數(shù)中有兩個(gè)任取,例如a1,a2任取,a3,a4,a5,a6等于a1或a2,在保證有公因式可提的條件下,D(y)有下列兩種形式:
當(dāng)各列元素之和相等時(shí),
D1(y)=ya1a2a1ya1a2a2y
或D2(y)=ya1a2a2ya1a1a2y,
當(dāng)各行元素之和相等時(shí)
D3(y)=ya1a2a1ya2a2a1y
或D4(y)=ya1a2a2ya1a1a2y.
這四種情形的行列式有兩種結(jié)果,第一、三情形的行列式為:
D(y)=y3-(a21+a22+a1a2)y+a21a2+a1a22
=(y+a1+a2)(y-a1)(y-a2),
第二、四情形的行列式為:
D(y)=y3-3a1a2y+a31+a32=(y+a1+a2)[y2-(a1+a2)y
+a21-a1a2+a22],
D1(y)=D3(y),按性質(zhì)計(jì)算得到的因式分解式表明,a1,a2,-a1-a2是方程①的三個(gè)根,而與前面情形一樣,a1,a2違背了同一律,說(shuō)明這樣的數(shù)學(xué)模型是不存在的.
3 調(diào)整模型,解決問(wèn)題
由于D2(y)=D4(y),我們只需討論D2(y).
D2(y)按兩種計(jì)算方法相等,即有:
y3-3a1a2y+a31+a32
=(y+a1+a2)[y2-(a1+a2)y
+a21-a1a2+a22].
為了求出a1,a2,比較①的左邊與y3-3a1a2y+a31+a32,可得
-3a1a2=p,a31+a32=q.
進(jìn)而可得a31a32=-p327,a31+a32=q.
我們發(fā)現(xiàn)a31,a32是一元二次方程z2-qz-p327=0的兩個(gè)根,然后在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)a31,a32開(kāi)立方根,可分別得到三個(gè)a(i)1,a(i)2(i=1,2,3),再根據(jù)a1a2=-p3適當(dāng)配對(duì),得到①的根-a1-a2.至此,我們解決了任何一個(gè)一元三次方程的求根問(wèn)題,其思維模式如下:
簡(jiǎn)化方程(變量代換)
引進(jìn)三階行列式作數(shù)學(xué)模型問(wèn)題解決
下面根據(jù)我們思維的過(guò)程與結(jié)果求解一個(gè)一元三次方程:例1 解方程y3-3y+1=0.
解析 這里p=-3,q=1,于是a1a2=1,a31+a32=1.
即有a31a32=1,a31+a32=1.
解一元二次方程z2-z+1=0,得
a31=12+32i=cosπ3+isinπ3,
a32=12-32i=cos5π3+isin5π3.
對(duì)a31,a32開(kāi)立方,各得到三個(gè)值,為了方便起見(jiàn),分別記為a(i)1,a(i)2.即:
a(1)1=cosπ9+isinπ9,a(2)1=cos7π9+isin7π9,a(3)1=cos13π9+isin13π9,
a(1)2=cos5π9+isin5π9,a(2)2=cos11π9+isin11π9,a(3)2=cos17π9+isin17π9.
因?yàn)閍1a2=1,
而a(1)1a(3)2=a(2)1a(2)2=a(3)1a(1)2=1,
所以-(a(1)1+a(3)2)=2cos8π9,
-(a(2)1+a(2)2)=2cos2π9,
-(a(3)1+a(1)2)=2cos4π9.
所以方程的三個(gè)根為:
2cos2sπ9(s=1,2,3).
4 回顧解決過(guò)程,整理解題思路
檢查問(wèn)題解決的每一步是否對(duì)是回顧不可缺少的步驟,另外,通過(guò)驗(yàn)根可以更有力地說(shuō)明你的思維方向、過(guò)程、結(jié)果的正確:
y3-3y+1
=8(cos2sπ9)3-6cos2sπ9+1
=2[4(cos2sπ9)3-3cos2sπ9]+1=2cos2sπ3+1
=2×(-12)+1
=0.
在解①的過(guò)程中,我們完全可以導(dǎo)出①的求根公式,讓學(xué)生記住公式就行了,然而,我們沒(méi)有這么做,因?yàn)椤皟H僅靠記憶不足以產(chǎn)生好念頭”,我們希望學(xué)生理解、掌握、運(yùn)用解決問(wèn)題的方法和策略,并能在今后遇到新的問(wèn)題時(shí)利用它們披荊斬棘,所向披靡.
對(duì)于例題,利用韋達(dá)定理可知:
cos2π9+cos4π9+cos8π9=0,
cos2π9cos4π9+cos4π9cos8π9+cos8π9cos2π9
=-34,
cos2π9cos4π9cos8π9
=-18.
由y3-3y+1=Π3s=1(y-2cos2sπ9), 令y取不同的數(shù),可以得到更多的三角恒等式.
在教師的引導(dǎo)下,讓學(xué)生親身參與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的全過(guò)程,這將會(huì)極大激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性,掌握科學(xué)的探索方法會(huì)讓他們受益終身.當(dāng)然,教師要具備引導(dǎo)的能力,對(duì)教師本身也提出了更高的要求,“尋找一個(gè)好問(wèn)題,最好是從前未見(jiàn)過(guò)的”,在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上,啟發(fā)、幫助學(xué)生“跳一跳把桃子摘下來(lái)”,這才是高水平、高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教學(xué),讓我們一起來(lái)努力實(shí)踐之.
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