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      一元三次方程的巧解模型構(gòu)造及其應(yīng)用

      2022-03-27 21:59:30姚張松程黎明
      關(guān)鍵詞:行列式數(shù)學(xué)教育

      姚張松 程黎明

      摘 要:2017年版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)課程核心素養(yǎng),包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等,針對(duì)當(dāng)前提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的迫切需求,思考中學(xué)生如何根據(jù)已經(jīng)具備的數(shù)學(xué)知識(shí)解決新問(wèn)題的過(guò)程是必要的.本文在中學(xué)生已經(jīng)具備求解一元二次方程,以及高中拓展的行列式知識(shí)的基礎(chǔ)上,利用換元的技巧,把特殊的一元三次方程轉(zhuǎn)換成一元二次方程,得出了一元三次方程的解法.通過(guò)詳細(xì)展示解決問(wèn)題中的思維過(guò)程,來(lái)體現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)教育價(jià)值,從而更好地達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)學(xué)教育目標(biāo).同時(shí),推廣研究結(jié)果,得出很多新的結(jié)論.

      關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)教育;一元三次方程;行列式

      中圖分類(lèi)號(hào):G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A?? 文章編號(hào):1008-0333(2022)04-0054-04

      華為總裁提到,是數(shù)學(xué)幫助華為獲得了制定5G標(biāo)準(zhǔn)的先機(jī).要注重?cái)?shù)學(xué)方法的突起.5G時(shí)代同時(shí)給數(shù)學(xué)教育提出了更高的要求,呼喚著數(shù)學(xué)教育應(yīng)該上一個(gè)更高的臺(tái)階.

      其實(shí),著名的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞提出:“現(xiàn)代探索法力求了解探索過(guò)程,特別是解題過(guò)程中典型有用的智力活動(dòng)”.數(shù)學(xué)教師如果能在教學(xué)中踐行這種智力活動(dòng)的過(guò)程,毫無(wú)疑問(wèn),這為學(xué)生將來(lái)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法打下扎實(shí)的基礎(chǔ),這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)是高質(zhì)量的數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué).

      下面,我們通過(guò)一個(gè)例子來(lái)展示問(wèn)題解決的智力活動(dòng)過(guò)程.中學(xué)生都會(huì)解一元二次方程,教師能不能幫助學(xué)生進(jìn)一步提高認(rèn)知?解一個(gè)一元三次方程.

      1 通過(guò)類(lèi)比得出解決問(wèn)題的思路“類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人”“用求根公式解一元二次方程”這是中學(xué)生的回答和做法.然而,我們現(xiàn)在可沒(méi)有現(xiàn)成的求一元三次方程的求根公式.讓我們回到求解一元二次方程的過(guò)程,或許能給我們帶來(lái)啟迪和靈感.

      一元二次方程的一般形式是x2+ax+b=0,當(dāng)a≠0時(shí),古人曾用過(guò)作變量代換:

      令x=y-a2,

      方程變?yōu)閥2=a2-4b4.

      即y=±a2-4b2.

      從而x=-a±a2-4b2.

      問(wèn)題獲得解決.

      這種解法揭示了一種思維過(guò)程,其模式如下:

      簡(jiǎn)化方程(變量代換)開(kāi)平方運(yùn)算(數(shù)學(xué)模型)問(wèn)題解決

      一元三次方程的一般形式是

      x3+ax2+bx+c=0.

      借用古人的做法,作變量代換:

      令x=y-a3,方程變?yōu)椋?/p>

      y3+(b-a23)y+c+227a3-13ab=0.

      由于a,b,c都是已知數(shù),所以我們可以把上述方程簡(jiǎn)化為:

      y3+py+q=0.(其中p,q為已知數(shù))①

      當(dāng)p=0或q=0時(shí),方程①很容易通過(guò)開(kāi)方運(yùn)算求解.以下討論均在p≠0且q≠0情形中進(jìn)行.

      現(xiàn)在的問(wèn)題是:在解一元二次方程的思維鏈的中間那一環(huán)斷裂,機(jī)械的照搬無(wú)濟(jì)于事,顯然,我們要尋求引進(jìn)或建立一種適用的數(shù)學(xué)模型.

      2 尋找熟悉的且類(lèi)似的模型

      “看看未知數(shù)!試想起一個(gè)具有相同或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題來(lái)”.

      解方程①等價(jià)于我們尋找y3+py+q因式分解式.它至少有一個(gè)一次因式y(tǒng)+α,于是y=-α是①的一個(gè)根,求出①的一個(gè)根后,剩余兩個(gè)根也就好求了,這提示我們所尋求的數(shù)學(xué)模型因具有兩種不同的計(jì)算方法,一種算出①式的左邊,一種算出

      ①的因式分解式,我們自然想到行列式的算法,它既有對(duì)角線算法,又有行列式性質(zhì)算法,且兩種算法等價(jià).

      ①是一個(gè)一元三次方程,我們自然選擇三階行列式,三階行列式用對(duì)角線法計(jì)算,有六項(xiàng),三正項(xiàng),三負(fù)項(xiàng).每項(xiàng)由不同行不同列的三個(gè)數(shù)相乘得到.先看主對(duì)角線上的三個(gè)數(shù),因?yàn)棰俚淖筮吶雾?xiàng)前面的系數(shù)是1,所以主對(duì)角線上三個(gè)元素取y可以滿足上述條件,當(dāng)然,三項(xiàng)乘積為y3有各種取法,例如:1,y,y2;1,1,y3等,但為了各行各列之和有公因式可以提取,我們只能選擇y,y,y這種,其余六個(gè)數(shù)我們可以通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定.

      設(shè)D(y)=ya1a2a3ya4a5a6y,則

      D(y)=y3-(a2a5+a1a3+a4a6)y+a1a4a5+a2a3a6.

      D(y)與方程①的左邊已經(jīng)非常接近了.要使

      D(y)有公因式可以提取,要么各行元素之和

      相等,要么各列元素之和相等,為此,六個(gè)常數(shù)元素中任取三個(gè)或三個(gè)以上的元素都將破壞這個(gè)條件.六個(gè)元素的配置只能是兩種可能,第一種:

      D(y)=ya1a1a1ya1a1a1y=y3-3a21y+2a31,

      D(y)=(y+2a1)(y-a1)2,

      三根為:y1=-2a1,y2=y3=a1.

      D(y),a1應(yīng)是可求的已知,否則構(gòu)造不出模型,而后一個(gè)等式又表明a1是三次方程的根,它又是不可求的未知,a1的雙重身份明顯違背了同一律,說(shuō)明這樣的模型是不存在的.所以六個(gè)數(shù)相等雖然簡(jiǎn)單但不能這樣取.

      第二種,假設(shè)六個(gè)數(shù)中有兩個(gè)任取,例如a1,a2任取,a3,a4,a5,a6等于a1或a2,在保證有公因式可提的條件下,D(y)有下列兩種形式:

      當(dāng)各列元素之和相等時(shí),

      D1(y)=ya1a2a1ya1a2a2y

      或D2(y)=ya1a2a2ya1a1a2y,

      當(dāng)各行元素之和相等時(shí)

      D3(y)=ya1a2a1ya2a2a1y

      或D4(y)=ya1a2a2ya1a1a2y.

      這四種情形的行列式有兩種結(jié)果,第一、三情形的行列式為:

      D(y)=y3-(a21+a22+a1a2)y+a21a2+a1a22

      =(y+a1+a2)(y-a1)(y-a2),

      第二、四情形的行列式為:

      D(y)=y3-3a1a2y+a31+a32=(y+a1+a2)[y2-(a1+a2)y

      +a21-a1a2+a22],

      D1(y)=D3(y),按性質(zhì)計(jì)算得到的因式分解式表明,a1,a2,-a1-a2是方程①的三個(gè)根,而與前面情形一樣,a1,a2違背了同一律,說(shuō)明這樣的數(shù)學(xué)模型是不存在的.

      3 調(diào)整模型,解決問(wèn)題

      由于D2(y)=D4(y),我們只需討論D2(y).

      D2(y)按兩種計(jì)算方法相等,即有:

      y3-3a1a2y+a31+a32

      =(y+a1+a2)[y2-(a1+a2)y

      +a21-a1a2+a22].

      為了求出a1,a2,比較①的左邊與y3-3a1a2y+a31+a32,可得

      -3a1a2=p,a31+a32=q.

      進(jìn)而可得a31a32=-p327,a31+a32=q.

      我們發(fā)現(xiàn)a31,a32是一元二次方程z2-qz-p327=0的兩個(gè)根,然后在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)a31,a32開(kāi)立方根,可分別得到三個(gè)a(i)1,a(i)2(i=1,2,3),再根據(jù)a1a2=-p3適當(dāng)配對(duì),得到①的根-a1-a2.至此,我們解決了任何一個(gè)一元三次方程的求根問(wèn)題,其思維模式如下:

      簡(jiǎn)化方程(變量代換)

      引進(jìn)三階行列式作數(shù)學(xué)模型問(wèn)題解決

      下面根據(jù)我們思維的過(guò)程與結(jié)果求解一個(gè)一元三次方程:例1 解方程y3-3y+1=0.

      解析 這里p=-3,q=1,于是a1a2=1,a31+a32=1.

      即有a31a32=1,a31+a32=1.

      解一元二次方程z2-z+1=0,得

      a31=12+32i=cosπ3+isinπ3,

      a32=12-32i=cos5π3+isin5π3.

      對(duì)a31,a32開(kāi)立方,各得到三個(gè)值,為了方便起見(jiàn),分別記為a(i)1,a(i)2.即:

      a(1)1=cosπ9+isinπ9,a(2)1=cos7π9+isin7π9,a(3)1=cos13π9+isin13π9,

      a(1)2=cos5π9+isin5π9,a(2)2=cos11π9+isin11π9,a(3)2=cos17π9+isin17π9.

      因?yàn)閍1a2=1,

      而a(1)1a(3)2=a(2)1a(2)2=a(3)1a(1)2=1,

      所以-(a(1)1+a(3)2)=2cos8π9,

      -(a(2)1+a(2)2)=2cos2π9,

      -(a(3)1+a(1)2)=2cos4π9.

      所以方程的三個(gè)根為:

      2cos2sπ9(s=1,2,3).

      4 回顧解決過(guò)程,整理解題思路

      檢查問(wèn)題解決的每一步是否對(duì)是回顧不可缺少的步驟,另外,通過(guò)驗(yàn)根可以更有力地說(shuō)明你的思維方向、過(guò)程、結(jié)果的正確:

      y3-3y+1

      =8(cos2sπ9)3-6cos2sπ9+1

      =2[4(cos2sπ9)3-3cos2sπ9]+1=2cos2sπ3+1

      =2×(-12)+1

      =0.

      在解①的過(guò)程中,我們完全可以導(dǎo)出①的求根公式,讓學(xué)生記住公式就行了,然而,我們沒(méi)有這么做,因?yàn)椤皟H僅靠記憶不足以產(chǎn)生好念頭”,我們希望學(xué)生理解、掌握、運(yùn)用解決問(wèn)題的方法和策略,并能在今后遇到新的問(wèn)題時(shí)利用它們披荊斬棘,所向披靡.

      對(duì)于例題,利用韋達(dá)定理可知:

      cos2π9+cos4π9+cos8π9=0,

      cos2π9cos4π9+cos4π9cos8π9+cos8π9cos2π9

      =-34,

      cos2π9cos4π9cos8π9

      =-18.

      由y3-3y+1=Π3s=1(y-2cos2sπ9), 令y取不同的數(shù),可以得到更多的三角恒等式.

      在教師的引導(dǎo)下,讓學(xué)生親身參與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的全過(guò)程,這將會(huì)極大激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性,掌握科學(xué)的探索方法會(huì)讓他們受益終身.當(dāng)然,教師要具備引導(dǎo)的能力,對(duì)教師本身也提出了更高的要求,“尋找一個(gè)好問(wèn)題,最好是從前未見(jiàn)過(guò)的”,在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上,啟發(fā)、幫助學(xué)生“跳一跳把桃子摘下來(lái)”,這才是高水平、高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教學(xué),讓我們一起來(lái)努力實(shí)踐之.

      參考文獻(xiàn):

      [1]

      中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018.

      [2] G·波利亞.怎樣解題[M].北京:科學(xué)出版社,1984.

      [3] 祁平.基于探究的數(shù)學(xué)教學(xué)的哲學(xué)思索[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2014,53(08):22-28.

      [4] 劉來(lái)福,王尚志,張貽慈.呼喚應(yīng)用意識(shí) 提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)——評(píng)介第一屆北京市高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽復(fù)賽試題[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào),1998(05):40-42.

      [責(zé)任編輯:李 璟]

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