朱潔芬

[摘? 要] “加法運(yùn)算律”是蘇教版四年級(jí)下冊(cè)集中學(xué)習(xí)運(yùn)算律的初始內(nèi)容。探究發(fā)現(xiàn)的課堂本該饒有興味，但教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)普遍感覺有些沉悶。脫離學(xué)生前概念是重要的原因之一?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，可以從學(xué)生前概念的分析和利用入手，通過(guò)優(yōu)先呈現(xiàn)簡(jiǎn)便計(jì)算、引入算式拼接、借助計(jì)算器輔助、巧設(shè)算導(dǎo)轉(zhuǎn)換等策略，對(duì)教材呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)任務(wù)進(jìn)行適度的創(chuàng)新設(shè)計(jì)，以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。

[關(guān)鍵詞] 創(chuàng)新;任務(wù)設(shè)計(jì);情感;前概念

“加法運(yùn)算律”是蘇教版四年級(jí)下冊(cè)集中學(xué)習(xí)運(yùn)算律的初始內(nèi)容。近期，筆者觀摩了一些教師的同題研究課，發(fā)現(xiàn)教師們都是按照教材中呈現(xiàn)的教學(xué)流程來(lái)組織探究和發(fā)現(xiàn)的過(guò)程的，即“解決一個(gè)實(shí)際問題—看到一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象—舉出更多例子—在眾多實(shí)例中抽象概括—用符號(hào)表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律”。教學(xué)思路很清晰，但課堂教學(xué)氣氛卻都很沉悶。之所以出現(xiàn)這樣的問題，筆者認(rèn)為，脫離學(xué)生的前擁理解是重要的原因之一。

美國(guó)當(dāng)代杰出心理學(xué)家布蘭思福特等學(xué)者，在《人是如何學(xué)習(xí)的：大腦、心理、經(jīng)驗(yàn)及學(xué)校（擴(kuò)展板）》中，將前擁理解稱為前概念。筆者嘗試從學(xué)生前概念分析和利用入手，適度創(chuàng)新教材學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)，從而加深學(xué)生的理解，喚醒學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)，努力讓沉悶的探究之旅激發(fā)出強(qiáng)大的情感力量。具體從以下幾個(gè)方面入手。

一、呈現(xiàn)簡(jiǎn)便計(jì)算，引發(fā)求變的需要

在新課引入部分，有些教師常常呈現(xiàn)一道多位數(shù)加法，要求學(xué)生用豎式計(jì)算并驗(yàn)算。集體評(píng)講時(shí)針對(duì)交換位置驗(yàn)算的方法提問：這是用什么方法驗(yàn)算的，這樣驗(yàn)算的依據(jù)是什么？一些學(xué)生雖然知道加法交換律，但他們與老師互動(dòng)的積極性并不高。

心理學(xué)研究表明，兒童早在八九歲時(shí)就已經(jīng)具備了理解加法交換律的心理。教材也很早就開始滲透這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。如蘇教版教材在一年級(jí)上冊(cè)“10以內(nèi)的加法和減法”單元中，在得數(shù)是6的加法計(jì)算中便開始滲透了。這對(duì)四年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，難以激發(fā)起求知的渴望，他們懶得與教師互動(dòng)也就在情理之中了。

如何避免老調(diào)重彈，引發(fā)學(xué)生對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)予以重新關(guān)注呢？筆者基于學(xué)生已有的運(yùn)算基礎(chǔ)，調(diào)整教材中任務(wù)安排的順序，嘗試先算后學(xué)，即將兩律學(xué)習(xí)之后安排的簡(jiǎn)便計(jì)算——（1）65+79+21，（2）78+（47+22）前置。筆者引導(dǎo)學(xué)生先觀察這些算式，思考自己怎樣算？特殊數(shù)據(jù)的強(qiáng)刺激，立即引發(fā)了不少學(xué)生樂于“湊整”的學(xué)習(xí)興致。有學(xué)生提出很想先算79+21或78+22。筆者接著追問：如果這樣算，原來(lái)的算式會(huì)發(fā)生哪些變化？這些變化能允許它們發(fā)生嗎？變化的依據(jù)又是什么呢？在此基礎(chǔ)上，揭示課題，讓學(xué)生明確弄懂這些問題需要學(xué)習(xí)加法運(yùn)算律。

這種簡(jiǎn)算前置、兩律同框且只想不算的任務(wù)設(shè)計(jì)，一經(jīng)呈現(xiàn)就點(diǎn)擊了學(xué)生較為感興趣的前概念——湊整，并讓學(xué)生對(duì)這種含有特殊數(shù)據(jù)的加法算式產(chǎn)生了轉(zhuǎn)化求變的需要。精心設(shè)計(jì)的提問，也引領(lǐng)學(xué)生對(duì)模糊的需要展開了初步的結(jié)構(gòu)化梳理：如，要改變的只是運(yùn)算對(duì)象的位置、運(yùn)算順序等，萬(wàn)萬(wàn)不能改變的是運(yùn)算的結(jié)果。進(jìn)而，由此引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)求變的核心——等值變形。

二、引入算式拼接，發(fā)掘發(fā)現(xiàn)的動(dòng)力

在規(guī)律發(fā)現(xiàn)部分，教師一般都是根據(jù)教材的編排，呈現(xiàn)一個(gè)學(xué)生跳繩、踢毽子的問題情境：28個(gè)男生跳繩，17個(gè)女生跳繩，23個(gè)女生踢毽子。教師先針對(duì)不同的運(yùn)算律，提出不同的問題;然后讓學(xué)生列出不同的加法算式，由得數(shù)相同得到一個(gè)等式;最后讓學(xué)生舉例寫出幾個(gè)這樣的等式，觀察比較有什么發(fā)現(xiàn)，并用自己喜歡的方法把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來(lái)。這樣一個(gè)特別契合合情推理的過(guò)程，學(xué)生的思維似乎總是不能深度介入，缺少主動(dòng)發(fā)現(xiàn)的動(dòng)力。

上述問題的歸因，一般認(rèn)為是加法運(yùn)算律太簡(jiǎn)單。不過(guò)，根據(jù)筆者對(duì)諸多課堂的觀察，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)加法兩律的學(xué)習(xí)并沒有我們想象的那么順利。即便對(duì)于加法交換律也是如此。經(jīng)過(guò)大量舉例和比較之后，不少學(xué)生并不能用自己的語(yǔ)言概括加法交換律的具體內(nèi)容。于是，筆者曾和工作室的老師在新課學(xué)習(xí)之前，對(duì)學(xué)生兩律理解的情況進(jìn)行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)下面這些比較有代表性的問題（圖1來(lái)源于如東縣袁莊鎮(zhèn)先民小學(xué)黃曉利老師，圖2和圖3來(lái)源于如東縣洋口鎮(zhèn)洋口小學(xué)于晶晶老師，圖4來(lái)源于如東縣教師發(fā)展中心何銀華老師）：

上面三位老師的調(diào)研結(jié)果來(lái)自不同的班級(jí)、學(xué)校和地區(qū)。表面上看，設(shè)計(jì)的題目不盡相同，學(xué)生的答案也不太一致，但我們還是能發(fā)現(xiàn)一些共同的問題。比如，雖然加法交換律早就開始滲透，并經(jīng)歷了較長(zhǎng)時(shí)間的潛在應(yīng)用，但是不少學(xué)生并沒有建立起清晰完整的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知，更多的是一種基于得數(shù)相等的籠統(tǒng)知覺，如圖1和圖2;有的學(xué)生甚至受制于名稱的負(fù)遷移，導(dǎo)致理解性錯(cuò)誤，如圖3。

對(duì)于加法結(jié)合律來(lái)說(shuō)，除了跟交換律一樣稍稍建立起得數(shù)相等的知覺外，其他更是沒有感覺，理想化的等式幾乎不能自然出現(xiàn)。有些學(xué)生甚至受到交換律的影響，提出的是交換括號(hào)的位置和不變，如圖4。

看來(lái)，加法運(yùn)算律的前概念水平并沒有我們預(yù)期的那么高。完全脫離學(xué)生前概念的任務(wù)設(shè)計(jì)，一般只能引發(fā)表象化操作，學(xué)生的思維無(wú)法真正被卷入。

我們嘗試進(jìn)行了以下探索：暫緩例題的呈現(xiàn)，引入一批算式拼接任務(wù)。先出示下面一批算式：（1）17+18;（2）18+17;（3）63+21;（4）21+63;（5）12+63;（6）（30+40）+60;（7）30+（40+60）;（8）（16+25）+15;（9）16+（25+15）;（10）16+（25+51）。讓學(xué)生快速判斷哪些算式可能是相等的？哪些算式可能會(huì)被誤認(rèn)為是相等的？在師生一起討論確認(rèn)后，寫出所有等式，同時(shí)保留一些可能關(guān)聯(lián)學(xué)生前概念理解的不等式，如63+21≠12+63，（16+25）+15≠16+（25+51）。接著，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)等式進(jìn)行分類，思考哪一類體現(xiàn)了運(yùn)算對(duì)象的交換，哪一類體現(xiàn)了運(yùn)算順序的改變，初步歸納自己發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律。最后，讓學(xué)生再關(guān)注上面的不等式，討論先前錯(cuò)誤想法出現(xiàn)的緣由。對(duì)于加法結(jié)合律來(lái)說(shuō)，如果出現(xiàn)了圖4那樣的歸納，可以追問：括號(hào)位置改變，實(shí)際上改變的是什么？引導(dǎo)學(xué)生由對(duì)前概念的反思，走向歸納的自我完善或修正。

這樣將簡(jiǎn)單仿寫調(diào)整為算式拼接，且兩律對(duì)照，正反對(duì)比，學(xué)生頭腦中的前概念得以發(fā)掘、對(duì)接，厘清、深化，兩律結(jié)構(gòu)得以充分彰顯，組合式、層次化的任務(wù)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生理解水平逐步提升，增強(qiáng)了探究發(fā)現(xiàn)的主動(dòng)性和踴躍表達(dá)的信心。

三、借助計(jì)算器輔助，激揚(yáng)驗(yàn)證的熱情

在學(xué)生得到初步猜想后，教師一般都非常重視讓學(xué)生想方設(shè)法去驗(yàn)證這個(gè)猜想。不難發(fā)現(xiàn)的是，學(xué)生首先想到的似乎還是老一套——列出更多的等式，通過(guò)口算或筆算去驗(yàn)證。在學(xué)生體驗(yàn)到這樣的例子有很多，永遠(yuǎn)也算不完之后，教師開始努力發(fā)揮引導(dǎo)作用，如：讓學(xué)生聯(lián)系更多的實(shí)際問題情境，回到一年級(jí)加法學(xué)習(xí)時(shí)的“數(shù)數(shù)”活動(dòng)，回到二年級(jí)學(xué)過(guò)的線段圖、長(zhǎng)方形圖等等，誘導(dǎo)學(xué)生竭盡所能用不同的方法去驗(yàn)證。盡管方法眾多，學(xué)生也大體能應(yīng)對(duì)，但他們似乎不明白為什么要如此大動(dòng)干戈。

教師心里清楚，這是通過(guò)解釋的方法彌補(bǔ)不完全歸納法的不足，這種任務(wù)極有價(jià)值。在此引入例題中的跳繩情境，是一個(gè)好時(shí)機(jī)。不過(guò)，筆者認(rèn)為，上述驗(yàn)證任務(wù)并非都適合此時(shí)引入。比如，“數(shù)數(shù)”無(wú)疑是一個(gè)好活動(dòng)，它事關(guān)加法交換律的本源性證明，但它似乎與一年級(jí)“單位數(shù)的加法”，即20以內(nèi)數(shù)的加法學(xué)習(xí)更匹配。而現(xiàn)在學(xué)生已升至四年級(jí)，認(rèn)數(shù)的范圍早已從20以內(nèi)拓展到含億級(jí)的多位數(shù)水平，加法運(yùn)算也從一位數(shù)加法拓展到多位數(shù)加法，運(yùn)算結(jié)構(gòu)已從“單一性概念結(jié)構(gòu)”拓展到“多單位概念結(jié)構(gòu)”。面對(duì)已能熟練操作多單位加法的學(xué)生，仍然讓他們?cè)袤w驗(yàn)一把“數(shù)數(shù)”，而且還煞有介事地從A數(shù)到B，再?gòu)腂數(shù)到A，總覺得非常矯情。筆者曾在教學(xué)中嘗試過(guò)，四年級(jí)學(xué)生完全沒有興趣。因?yàn)樵撊蝿?wù)與學(xué)生當(dāng)下的前概念水平并不匹配。

仔細(xì)研究蘇教版教材，可以發(fā)現(xiàn)有更合適的切入點(diǎn)，那就是在該單元的前兩個(gè)單元，學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了“用計(jì)算器計(jì)算”。不妨讓學(xué)生把已經(jīng)塵封在家里的計(jì)算器帶來(lái)學(xué)習(xí)“運(yùn)算律”——事實(shí)上也本該如此。教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)，用上計(jì)算器以后，在舉例驗(yàn)證的環(huán)節(jié)，學(xué)生變得更積極主動(dòng)，也更大膽了，他們顯然不滿足于常見的兩三位數(shù)的例子，很自然地就想到了剛剛學(xué)過(guò)的大數(shù)……接著，到了全班匯總的時(shí)候，他們發(fā)現(xiàn)，問題來(lái)了：有的例子位數(shù)多了，交流很不方便;有的例子數(shù)太大了，超過(guò)了感覺的范圍，是否真的相等又開始懷疑起來(lái)……例證個(gè)數(shù)的無(wú)限性，疊加數(shù)感的超驗(yàn)性，讓他們切實(shí)感受到了計(jì)算乃至計(jì)算工具的局限性。

原有思維模式即將崩潰的時(shí)刻，才是貌不驚人的線段或長(zhǎng)方形組合圖呈現(xiàn)的好時(shí)機(jī)。不少學(xué)生瞬間能從龐大的數(shù)據(jù)世界中醒悟，主動(dòng)聯(lián)想起“部分”“整體”等前概念，體驗(yàn)用前概念解釋的輕松愉快。驗(yàn)證新視角的自主建立和深度認(rèn)同，讓后續(xù)加法結(jié)合律的驗(yàn)證變得更為自主、理性和高效。

四、巧設(shè)算導(dǎo)轉(zhuǎn)換，體驗(yàn)應(yīng)用的樂趣

在鞏固應(yīng)用時(shí)，教師一般會(huì)根據(jù)教材的編排，出示“練一練”中的一些等式，如82+8=8+82，（84+68）+32=84+（68+32），75+（47+25）=（75+25）+47，讓學(xué)生判斷應(yīng)用了什么運(yùn)算律。練習(xí)的目標(biāo)從兩律的單獨(dú)使用，到綜合使用，不少涉及數(shù)據(jù)“湊整”，但視角單一，學(xué)生興致不濃。

這些等式實(shí)際上是舉例驗(yàn)證的重復(fù)。可能還隱藏著比較大的隱患。有專家曾在學(xué)生完成此類任務(wù)后，立即對(duì)學(xué)生進(jìn)行了訪談，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)對(duì)加法結(jié)合律的理解，然后出示18+29+35，提問：如果用結(jié)合律還可以怎樣算？結(jié)果有學(xué)生遲疑良久，認(rèn)為這里不能用結(jié)合律，給出的理由是沒有兩個(gè)數(shù)可以“湊整”?？梢?，對(duì)學(xué)生曾經(jīng)樂見的“湊整”也不能過(guò)度強(qiáng)化。否則，不僅削弱學(xué)習(xí)興致，而且會(huì)引發(fā)與運(yùn)算律應(yīng)用的前提條件錯(cuò)誤捆綁的風(fēng)險(xiǎn)，但這往往并沒有得到有效的關(guān)注和修正。

我們決定還是回到課始的兩道簡(jiǎn)便計(jì)算題：（1）65+79+21;（2）78+（47+22），先思考原先那些求變的想法，是否可以進(jìn)行;再讓學(xué)生實(shí)際算一算，想想分別應(yīng)用了哪些運(yùn)算律，初步體會(huì)運(yùn)算律的價(jià)值;然后，出示“練一練”中的等式——當(dāng)然要稍做補(bǔ)充，如47+（30+8）=（47+30）+8，一方面打破“湊整”引發(fā)的負(fù)面認(rèn)知，另一方面增加新的應(yīng)用視角，為學(xué)生回望已學(xué)的各種運(yùn)算形式，感悟運(yùn)算律更為本質(zhì)的應(yīng)用做準(zhǔn)備。

此外，運(yùn)算律作為一種規(guī)律探究，不僅要著眼其外顯形式的把握，更要抵近其內(nèi)在關(guān)系的理解。最新研究表明，由于兒童心理發(fā)展和教材編排等因素，四年級(jí)兒童對(duì)等號(hào)的認(rèn)識(shí)仍停留于“指示計(jì)算”的水平，為了強(qiáng)化對(duì)運(yùn)算律背景中等號(hào)的深層次理解，不妨設(shè)計(jì)如下算導(dǎo)轉(zhuǎn)換類選擇題：

1. 如果△+82=157，那么82+△=（? ）。選項(xiàng)：A. 75;B. 157;C. 無(wú)法確定。

2.如果330+（△+〇）=560，那么（330+△）+〇=（? ）。選項(xiàng)：A. 560;B. 230;C. 無(wú)法確定。

這樣由算到導(dǎo)，由等值變形拓展到等式變形，讓學(xué)生看到不必具體知道△和〇是多少，就可以推導(dǎo)出結(jié)果，從而體驗(yàn)關(guān)系推導(dǎo)的樂趣。

在后續(xù)學(xué)習(xí)中，還可以將推導(dǎo)的思路延伸到加法的口算、筆算等運(yùn)算中，通過(guò)溯源性推導(dǎo)，探尋已學(xué)算法的底層邏輯，感悟不同算法背后共通的靈動(dòng)與美妙：記住加法表，反復(fù)運(yùn)用運(yùn)算律。

總之，無(wú)論哪個(gè)版本的教材都只能提供一種大體的教學(xué)思路，教材所編排的學(xué)習(xí)任務(wù)，需要合理選擇和創(chuàng)造性使用。隨著兒童學(xué)、心理學(xué)研究的深度推進(jìn)，學(xué)習(xí)任務(wù)的創(chuàng)新設(shè)計(jì)，更需要我們一線教師的積極參與，重視傾聽學(xué)生的聲音，尤其要傾聽當(dāng)下這一方、這一班乃至這一個(gè)學(xué)生的想法。站在學(xué)生的角度，對(duì)前概念進(jìn)行科學(xué)分析和有效利用，以此激發(fā)學(xué)生自主成長(zhǎng)的力量。