公理化定義矩陣行列式的性質推導

趙姣珍，許道云

(1.貴陽人文科技學院 大數據與信息工程學院，貴州 貴陽 550025；2.貴州大學 計算機科學與技術學院，貴州 貴陽 550025)

矩陣的行列式值是矩陣的一個不變量，它是代數中一個重要的基礎概念，對矩陣各種性質研究以及矩陣在其他領域中的應用，幾乎都與行列式相關。本文考慮的矩陣均指n階方陣，給定一個n階矩陣，可用列向量表示為

通常，矩陣的行列式定義以如下公式給出[1]：

(1)

其中，π是集合{1,2,…,n}上的一個置換。置換π可以被分解為對換的乘積，π的奇偶性由它被分解為最少對換個數的奇偶性決定，此與序列(π(1),π(2),…,π(n))的逆序數(記為τ(π))的奇偶性一致。式(1)中的求和則是取遍{1,2,…,n}上的所有置換。

從式(1)可以找到二階和三階行列式的計算規(guī)律，并用于計算。但對于四階以上的n階行列式，利用式(1)作為計算公式是不現實的。實際計算時，主要是基于行列式的性質不斷地降階，或化為特殊矩陣，或按性質進行計算。

一般，有關行列式的性質是由式(1)推導，部分性質推導較為復雜?；诠砘x的行列式，從公理形式出發(fā)進行推導，在邏輯思路、推導過程、簡潔性等方面都有其優(yōu)點。

文獻[2]中以矩陣的列向量(A1,A2,…,An)作為變量，引入行列式函數，以公理形式給出了行列式定義。

本文基于公理本身，討論了公理的等價性和獨立性，從公理化定義行列式出發(fā)，直接導出行列式常見的基本性質和普通定義計算式(1)，并給出相關重要性質的推導。

1 行列式的公理化定義及等價公理

定義[2]設矩陣A=(A1,A2,…,An)，考慮一個實數函數det(A1,A2,…,An)，如果函數滿足如下公理條件，則稱det(A1,A2,…,An)為矩陣A的行列式。

公理1對于任意固定的(1≤k≤n),以Ak為變量，其余列不變的情況下誘導出的函數detk(Ak)具有齊次線性性質。即，對于任意常數a，b，detk(aAk+bBk)=adetk(Ak)+bdetk(Bk)。

公理2若存在相鄰兩列相等，其值為0。即，如果存在某個1≤k

公理3對于單位矩陣U=(U1,U2,…,Un)，det(U1,U2,…,Un)=1。其中Uk為第k個單位向量。

首先，可由公理條件直接推出如下基本性質：

性質1如果矩陣中有一列全為0，則行列式為0。

事實上，如果矩陣A的第k列全為0，由公理1中的齊次性，有detk(0)=detk(0·0)=0·detk(0)=0。

性質2將矩陣中一列的c倍加到相鄰一列后，則行列式不變。

假設由矩陣中的第k+1列的c倍加到第k列，則新矩陣的第k列為Ak+cAk+1。由公理2，detk(Ak+1)=0。再由公理1,有detk(Ak+cAk+1)=detk(Ak)+c·detk(Ak+1)=detk(Ak)。

性質3將矩陣中相鄰兩列互換后，行列式改變符號。

證明設A=(A1,…,Ak,Ak+1,…,An)，兩列互換后得到矩陣A′=(A1,…,Ak+1,Ak,…,An)。

將矩陣A中第k列加到第k+1列，得到B=(A1,…,Ak,Ak+Ak+1,…,An)；將矩陣B中第k+1列的(-1)倍加到第k列，得到C=(A1,…,(-1)Ak+1,Ak+Ak+1,…,An)；將矩陣C中第k列加到第k+1列，得到D=(A1,…,(-1)Ak+1,Ak,…,An)。

由性質2以及公理1中的齊次性質，有

det(A1,…,Ak,Ak+1,…,An)

=det(A1,…,Ak,Ak+Ak+1,…,An)

=det(A1,…,(-1)Ak+1,Ak+Ak+1,…,An)

=det(A1,…,(-1)Ak+1,Ak,…,An)

=(-1)·det(A1,A2,…,Ak+1,Ak,…,An)

性質1～3完全由公理本身得到。很顯然：①性質1和性質2可以導出公理2；②性質1和性質3也可以導出公理2。換言之，分別以性質1和性質2取代公理2，以性質1和性質3取代公理2，可以得到行列式函數的另外兩個等價公理定義。

請注意：公理定義中公理1和公理3是本質的。

2 行列式的其他性質

下面的性質表明：公理2、性質2和性質3中的“相鄰”條件可以去掉。

性質4將矩陣中不同兩列互換后，行列式改變符號。

證明指定兩個不同列號i,j(i

因此，一共作了奇數次相鄰列互換。由性質3，det(A)=(-1)det(C)。即：矩陣中不同兩列互換后，則行列式改變符號。

類似證明：

性質5如果矩陣中有兩列相等，則行列式為0。

性質6將矩陣中任一列的c倍加到另一列后，行列式不變。

證明任意指定兩個不同列號i,j(i

由性質4，det(A)=(-1)det(B); 由性質2，det(B)=det(C)。再由性質4，det(C)=(-1)·det(D)。所以，det(A)=det(D)。即：矩陣中任一列的c倍加到另一列后，行列式不變。

(4,6,5,7)(9)，其輪換的長度分別為：3，1，4，1。通常，略去單點輪換后簡單地表示為π=(1,2,8)(4,6,5,7)，未出現的元素表示自己映射到自己。長度為2的輪換稱為對換。

可以驗證：一個長度為k的輪換可以表示成k-1個對換的復合，且為最小對換個數：

(2)

假定將一個置換π分解為輪換積形式時，其輪換的長度序列為l1,l2,…,lm，則一個置換π可以表示為(l1-1)+(l2-1)+…+(lm-1)個對換的復合。記

τ#(π)=(l1-1)+(l2-1)+…+(lm-1)

它記錄了置換π表示為對換的個數。

可以證明：

1)τ#(π)是置換π表示為對換時的最小對換個數。因此，這個數是唯一的，以其奇偶性定義置換π的奇偶性。

2)τ#(π)的奇偶性與整數序列(π(1),π(2),…,π(n))的逆序數τ(π)的奇偶性一致。

事實上，單位置換對應的逆序數為0。相鄰元素作對換后，逆序數的改變相差1。一般對換使用后，逆序數的改變相差一個奇數。

有了上面的討論，由性質4，我們有：

性質7給定A=(A1,A2,…,An)，以及列號集{1,2,…,n}上的一個置換π，有如下關系：

det(Aπ(1),Aπ(2),…,Aπ(n))=(-1)τ(π)det(A)

(3)

特別，由公理3，對于單位矩陣U=(U1,U2,…,Un)，我們有

det(Uπ(1),Uπ(2),…,Uπ(n))=(-1)τ(π)

(4)

其中，τ(π)為整數序列(π(1),π(2),…,π(n))的逆序數。

矩陣行列式有一條重要性質：矩陣A的行列式與其轉置AT的行列式相等。我們現在來看一下這條性質如何從公理出發(fā)得到。

首先，我們注意到：對于單位矩陣U,U=UT。從而，det(UT)=det(U)=1。

(5)

將公理1應用到式(5)中，從第1個列向量開始，依次展開：

(6)

由性質5，矩陣中有兩列相等時，行列式為0。因此，式(6)完全展開后得到

其中，求和是取遍{1,2,…,n}上所有置換。

為了看清楚這一點，讀者可以n=3推導式(7)。

由式(4),我們有

(8)

同樣，對于

A=(A1,A2,…,An)

行列式展開后得到

我們知道：{1,2,…,n}的所有置換π，在復合運算下構成對稱群Sn，對于任一個置換π，逆元π-1與π一一對應，并且τ#(π-1)=τ#(π)。從而，(-1)τ(π-1)=(-1)τ#(π-1)=(-1)τ#(π)=(-1)τ(π)。

改寫式(9)中系數項中的乘積順序。行、列下標自然順序調整有如下關系：

aπ(1),1aπ(2),2…aπ(n),ndet(Uπ(1),Uπ(2),…,Uπ(n))

=a1,π-1(1)a2,π-1(2)…an,π-1(n)det(Uπ-1(1),Uπ-1(2),…,

Uπ-1(n))

(10)

因為

aπ(1),1aπ(2),2…aπ(n),ndet(Uπ(1),Uπ(2),…,Uπ(n))

=(-1)τ(π)a1,π-1(1)a2,π-1(2)…an,π-1(n)det(U1,U2,…,Un)

=(-1)τ(π)+τ(π-1)a1,π-1(1)a2,π-1(2)…an,π-1(n)·

det(Uπ-1(1),Uπ-1(2),…,Uπ-1(n))

=a1,π-1(1)a2,π-1(2)…an,π-1(n)det(Uπ-1(1),Uπ-1(2),…,Uπ-1(n))

因此，我們有

det(Uπ(1),Uπ(2),…,Uπ(n))

det(Uπ-1(1),Uπ-1(2),…,Uπ-1(n))

(11)

當求和取遍所有置換時，有如下關系：

Uπ-1(2),…,Uπ-1(n))

Uπ(2),…,Uπ(n))

Uπ(2),…,Uπ(n))

=det(AT)

(12)

由此，有如下性質：

性質8矩陣A的行列式與其轉置AT的行列式相等。即，det(AT)=det(A)。

有了性質8，行列式公理定義中，由“列向量”改為“行向量”作變量定義行列式函數同樣有上述平行性質。因此，有關“列”的性質，對“行”同樣成立。

同時，由式(11)及公理3，我們可以得到通常行列式的定義公式：

det(Uπ(1),Uπ(2),…,Uπ(n))

det(U1,U2,…,Un)

(13)

其中，求和是取遍{1,2,…,n}的所有置換π，一共有n!項。

由于是對全體置換求和，我們有

(14)

在上述推導過程中，我們得到如下2個有用公式：

(15)

(16)

注意：式(15)中，等式左端矩陣部分是取A的轉置AT，右端求和系數項中的乘積是以行標為自然順序；而在式(16)中，等式左端矩陣部分是取A，右端求和系數項中的乘積是以列標為自然順序。

用公理方法，可以自然地推出著名的Laplace定理：矩陣乘積(矩陣乘)的行列式等于矩陣行列式的乘積(實數乘)。即，det(AB)=det(A)det(B)。

設有兩個同階方陣A和B，其矩陣乘法AB形式可以表示為

(17)

仿式(15)(16)，我們有

det(Aπ(1),Aπ(2),…,Aπ(n))

det(Aπ-1(1),Aπ-1(2),…,Aπ-1(n))

det(A1,A2,…,An)

=det(A1,A2,…,An)·

=det(A1,A2,…,An)·

=det(A1,A2,…,An)·det(B1,B2,…,Bn)

=det(A)·det(B)

其中

是依據求和取遍{1,2,…,n}的所有置換。

3 高階行列式降階與行列式的分解

我們知道：高階行列式的計算主要是通過降階。

由公理得到的一些主要性質(如：行(列)互換行列式變號，一行(列)的c倍加到另行(列)行列式不變)，以及如下的降階原理可以計算n階行列式。

對于n階矩陣A=(A1,…,An)，可以表示成如下形式：

(18)

如果A中第1行全為0，則det(A)=0，否則至少有一個不為0。于是，通過適當的列互換，以及第1(行)列的某個倍數加到另一(行)列，矩陣可化為如下形式：

(19)

其中，矩陣B=(B2,…,Bn)為n-1階方陣。對于形如式(19)的矩陣，利用已經由公理推導出的行列式

可以推導出：det(A)=adet(B)。

我們現在觀察n階矩陣A的行列式分解為它的n-1階子矩陣的行列式之間的關系：

對于式(18)表示的矩陣A，記A[i,j]為在矩陣A中刪去第i行、第j列后得到的n-1階子矩陣。

展開如下公式：

=a1,1det(A[1,1])+

=a1,1det(A[1,1])+…

我們有

(20)

一般地，對于固定的i，有如下分解計算公式：

(21)

對于式(20),對于2≤i≤n,由兩行相同行列式為0，我們有

(22)

由此導出一條重要性質：如果行列式det(A)≠0，對于第1個n維單位向量U1，線性方程組

x1A1+…+xnAn=U1

有解，其中解x(1)的分量

(23)

一般地，類似方法可得到：如果行列式det(A)≠0，對于第k個n維單位向量Uk，線性方程組

x1A1+…+xnAn=Uk

有解，其中解x(k)的分量計算公式為

(24)

請注意：在det(A)≠0條件下，文中線性方程組解的存在性完全由公理及行列式性質獨立推出,并非由det(A)≠0條件按如下路徑得到：A1,…,An線性無關，由A1,…,An構成Rn空間的生成系，再由生成系生成B(如文獻[2])。由生成系生成B要用到線性方程組的解，從邏輯上講，這里出現一個循環(huán)推導問題。

將式(23)(24)組合在一個公式中，得到

由此，矩陣A的逆矩陣

ci,j=(-1)i+jdet(A[i,j])

(25)

這就是可逆矩陣的逆矩陣計算公式(方法)——代數余子式方法。

4 線性方程組解的存在性及解的表示

行列式之所以重要，最主要的原因之一是它提供了求解線性方程組的一般方法：克萊姆(Cramer)法則。

公理化定義的行列式很容易導出克萊姆法則，這體現了公理化方法的優(yōu)點。

給定一組n維列向量A1,…,Am，稱A1,…,Am線性相關，指：存在其中一個列向量Ak，Ak可以表示由其余列向量的線性組合表示。如果不是線性相關，則稱為線性無關(或線性獨立)。

線性相關等價于：存在一組不全為0的數α1,…,αm，使得α1A1+…+αmAm=0。線性無關等價于：對任意一組數α1,…,αm，如果α1A1+…+αmAm=0，則α1=…=αm=0。

在討論線性方程組解的存在性與系數矩陣的行列式之間的關系之前，從邏輯上講，我們應該先考慮行列式與列向量線性相關性質之間的關系，而不是從線性方程組解的性質討論這一關系。

關于向量組的線性相關性質，容易驗證：①在一個向量組中，如果存在部分向量構成的子向量組線性相關，則該向量線性相關；②對一組n維列向量A1,…,Am，B1,…,Bm是由A1,…,Am在同一位置(如第1位置)插入0后得到n+1維向量組，則A1,…,Am與B1,…,Bm的線性相關性一致。

由第3節(jié)得到的性質，我們可以得到如下性質：

性質9對于矩陣A=(A1,…,An)，如果det(A1,…,An)=0，并且A第1列都不全為0，則通過如下操作：

1)調整行的順序使(1,1)位置元素不為0；

2)將第1列的某個倍數加到第2,…,n列某一列，得到矩陣

其中det(B2,…,Bn)=0。

請注意：第一類操作只可能改變行列式符號，第二類操作不改變行列式值，因此

性質9就是通常將一個矩陣劃為三角矩陣的方法：行列式值只改變符號。對于行列式為0的原始矩陣，每一步操作后所得到矩陣的行列式仍為0，并且A1,…,An與B1,…,Bn的線性相關性一致。

請注意：對于一階矩陣，當其行列式為0時，該矩陣只能為零矩陣。

由上述討論，矩陣A=(A1,…,An)中，A1,…,An的線性相關性可以由A的行列式值是否為0判定。

性質10對于矩陣A=(A1,…,An)，向量組A1,…,An的線性相關性當且僅當det(A)=0。

證明如果A1,…,An線性相關，則存在一個列向量Ak，Ak=α1A1+…+αk-1Ak-1+αk+1Ak+1…+αnAn,則由性質6及性質1，det(A1,…,Ak,…,An)=det(A1,…,0,…,An)=0。

反之，如果det(A)=0，如果A中有一列向量全為0，則A1,…,An中含有零向量，從而線性相關。否則，取定A1，其中至少有一個非零分量。按性質9，從A可以得到一個形式如下的矩陣：

其中det(B)=det(B2,…,Bn)=0，且A1,…,An與B1,…,Bn的線性相關性一致。

對B重復上述操作(至多n-1次)，可以在某一步上得到C=(Ck,…,Cn)(1

利用性質10，我們得到如下行列式與線性方程解之間的關系。

性質11對于線性方程x1A1+…+xnAn=B，我們有：

1)如果對于任意一個n維列向量B，方程有解，則det(A1,…,An)≠0。

2)如果det(A1,…,An)≠0，則對于任意給定的一個n維列向量B，方程有解。從而，如果存在某個n維列向量B，方程無解，則det(A1,…,An)=0。

證明1) 假定對于任意的n維列向量B，方程有解，分別取B為單位向量U1,…,Un，記方程x1A1+…+xnAn=Ui的解為Bi，則(A1,…,An)(B1,…,Bn)=(U1,…,Un)。因此

det((A1,…,An)(B1,…,Bn))

=det(U1,…,Un)=1

由Laplace定理：

det((A1,…,An)(B1,…,Bn))

=det(A1,…,An)det(B1,…,Bn)

從而，det(A1,…,An)≠0。

而解x*的分量由如下公式計算：

可以驗證

=det(A1,…,Ak-1,B,Ak+1,…,An)

從而

這就是Cramer法則對解向量的分量的計算公式。

反過來，如果det(A1,…,An)≠0，且方程x1A1+…+xnAn=B有解(請注意，這里先假設有解)，則解向量中分量xj可以表示為

這就是著名的Cramer法則。

Cramer法則的推導：由x1A1+…+xnAn=B，以第1列為例：將B替換A1，計算行列式det(B,A2,…,An)。由性質6，從第2列至第n列，分別以第k列的-xk倍加到第1列(行列式不變)，最后使用公理1得

det(B,A2,…,An)

=det(x1A1+x2A2+…+xnAn,A2,…,An)

=det(x1A1+x3A3+…+xnAn,A2,…,An)

…

=det(x1A1,A2,…,An)

=x1det(A1,A2,…,An)

5 結語

在行列式的公理定義中，三條公理是相互獨立的。原因是：公理1只考慮矩陣中任一列上的齊次線性性質；公理2是考慮矩陣中兩列比較，不涉及運算；公理3是界定行列式函數的“初始”邊界值，以單位矩陣U的行列式為1作為“種子值”。因此，由其中任意兩個公理不能導出第三條公理。

其次，根據第1節(jié)中的討論，行列式的公理定義中的公理2有兩種替換方式。

對于公理3，可修改det(U1,U2,…,Un)的初始值。如：定義一個函數F(A)=F(A1,…,An)滿足公理1和公理2，修改公理3為F(U)=F(U1,…,Un)=c≠0,則可以證明：F(A1,…,An)=c·det(A1,…,An)。

更進一步，我們可以將F(A)=F(A1,…,An)的取值不是定義在實數集上，而是定義于一個域上(或者一個抽象空間上)，通過適當規(guī)定公理，可以將矩陣的性質映射到相應空間上。同樣，可以修改公理，研究滿足公理的函數的相關性質。

有關行列式的定義方式，還可以用Valiant給出的圖論方法引入，相關定義請參見文獻[3-4]。對于高階稀疏矩陣行列式的計算，有時以圖的方式引入的定義更有效。對于MacMahon主定理、Cayley-Hamilton定理、矩陣樹定理、特征多項式定理等的證明，圖論方法引入行列式體現了新的思路。詳細介紹請參閱文獻[5-10]。

a1,π(1)a2,π(2)…an,π(n)，其求和是對集合J={1，2，…,n}上所有置換求和，即在對稱群Sn中取每個元素作用于列標號集J。我們知道：對于定義在J上的任意一個(有限)群G,都對應產生Sn的一個子群。或者說，G同構于Sn的一個子群。