王思儉

[摘要] 新的一輪課程改革已經實施三年，本次課程改革倡導以生為本，旨在通過對數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，完成立德樹人的根本任務。而“單元整體教學設計”作為推進課堂教學改革及落實核心素養(yǎng)的重要途徑，需要做好整體設計與整體統(tǒng)領下的后繼學習，形成單元內部的連貫、單元與單元的一致性、數學與生活的應用性、數學與其他學科之間的創(chuàng)新性，體現數學學習的一般觀點，以及研究問題的普適性。

[關鍵詞] 單元設計;核心素養(yǎng);概念課;數學思維

一、問題提出

目前課堂教學的實質改革仍然有限，教學方法仍然是“題型+方法”，這扼殺了學生的創(chuàng)造性思維。究其原因，主要受高考“唯分數”指揮棒的影響，以高考升學率為目標，以一本率為評價標準，將數學內容碎片化為知識點，采用“微專題”轟炸，再通過所謂“二級結論”進行“灌輸+記憶”的教學方式強加給學生，再總結“秒殺、妙解”等刷題“特技”，用來提高高考分數，這種模式不利于學生夯實基礎、提高能力，不利于發(fā)展數學核心素養(yǎng)，更不利于提高學習數學的興趣，增強數學學習的自信心，養(yǎng)成良好的數學學習習慣，發(fā)展自主學習的能力[1]等課程目標的實現。所以，課堂教學必須強調并落實“數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性”。[2]

鑒于此，課程改革強調“以具體整體性的知識單元為載體、從認知的聯系性出發(fā)進行設計并開展課堂教學”。[3]筆者應蘇州大學數學科學院和教師教育學院邀請，于2019年12月為蘇州大學2017級研究生和江蘇省優(yōu)秀數學骨干教師執(zhí)教了“導數在研究函數的應用”，旨在探究單元教學設計的新思路，落實新課標所倡導的“數學育人”。

二、基于單元設計理念的教學設計

（一）學情分析

教學對象是本校高二15班共31名學生，該班是本校與中國科學技術大學少年學院聯合創(chuàng)辦的首屆少年預備班，學生是從初二（或初一）直接選拔讀高中的，年齡都是14-16歲。他們思維活躍，思維水平較高，反應較快，接受能力、自主探究能力和理解能力較強，善于發(fā)現新問題，但數學語言表述不到位，特別是邏輯推理方面欠缺。選擇這節(jié)內容開設公開課，旨在引導學生利用已有的基本經驗和直觀想象，發(fā)現函數的單調性與導數的內在聯系、揭示導數與函數極值、最值之間的一致性，引導學生學會用數學思維分析事件。

（二）教材分析

導數在研究函數中的應用十分重要，人教版高中數學選擇性必修第二冊第84-97頁詳細闡述了函數的單調性與導數關系、利用導數求函數的單調區(qū)間、極大（小）值、最大（?。┲狄约皩嶋H應用。概念較多，特別是極值與最值的概念學生容易混淆。對于思維水平較高的學生，在正常學習之上應有新的教學思路。

（三）設計理念及教學目標

1.設計理念

數學概念教學一般包括：概念的引入、內涵和外延的明確、概念的應用。教學過程不能只讓學生被動接受、強加記憶、機械模仿和超量刷題，而是讓學生自主探究，通過動手操作、主動參與、智力參與、主體體驗、合作交流等方式，“再創(chuàng)造”自己的數學意義和數學經驗活動，使數學學習成為發(fā)展智力、提高一般科學研究能力的有效途徑。

基于單元設計理念的教學設計路線如圖1所示。

2.教學目標

（1）知識目標：用導數刻畫函數動態(tài)的單調遞增和單調遞減的概念，會用導數的方法研究函數的單調性、極值和最值。

（2）過程目標：體會數學符號語言描述數學對象的精確性、簡約性，初步體驗從運動中、從數形結合中發(fā)現導數的正負性與函數單調性的關系，體驗發(fā)現數學性質的樂趣。

（3）素養(yǎng)目標：培養(yǎng)學生學會觀察問題、提出問題和解決問題的能力，會用數學方法研究實際問題，創(chuàng)造性地解決問題，感悟數學的本質。

（四）教學過程

在新課程改革中，根據數學知識的“生長”規(guī)律，學生的認知現狀和發(fā)展需求，整體把握教學要求，單元設計教學內容與教學方法。這樣的教學，注重知識之間的聯系，有利于知識的結構化、系統(tǒng)化，避免了知識碎片化、孤立化;有利于數學理解，養(yǎng)成“聯系知識”的習慣;遷移知識和方法，促進知識的鞏固;助力數學應用，促進數學學科素養(yǎng)的培育。

1.創(chuàng)設基本經驗 關聯數學的整體性

學生學習數學是從學習數學概念開始的，數學概念是學生認識數學、理解數學和應用數學的源泉，可見，數學概念教學十分重要，是學生建構數學認知體系，完善數學知識的框架，提升數學素養(yǎng)的起點。為此，在概念課的教學中，情境創(chuàng)設尤為重要，學生基本活動經驗更加珍貴，以舊引新是情境創(chuàng)設常用的方式，根據本節(jié)課的教學內容，筆者設計了以下基本活動經驗。

師：下列函數：（1）f（x）=2x+1，g（x）=2x+1;

（2）f（x）=x2-2x-1;（3）f（x）=;（4）f（x）=

x3+x;（5）f（x）=sinx（x （-π，π））。用什么方法研究下列各函數的單調性？

生（齊）：畫圖或者定義法。

師：利用數形結合思想或者定義法是解決問題基本方法，當然也會有其他方法。

[設計意圖]利用常見函數圖像、單調性與函數導數正負號進行比較，引導學生在已有的基本活動經驗的基礎上探索新的研究策略，培養(yǎng)學生發(fā)現問題的能力。

當聽到學生小聲議論“還會有什么新的方法呢”“導數法可以嗎”時，筆者順勢引導學生思考下面的問題。

師：上述幾個函數的單調性與其導數有什么關系？就這個方面你們能提出新的問題嗎？

生（齊）：如果f '（x）>0，則f（x）單調遞增;如果f '（x）<0，則f（x）單調遞減。

師：不規(guī)范，指定區(qū)間I必須連續(xù)，如（3）中的反比例函數，雖有f '（x）<0，但不能說它是單調遞減的;而（5）的正弦函數在指定區(qū)間上導函數正負交替出現。

[設計意圖]對不同類型的典型實例進行屬性分析、比較、綜合，概括出它們的共同屬性得到本質特征，為抽象導數與單調性的關系做好準備。

2.重構概念內涵 理順邏輯的連貫性

美國心理學家布魯納指出：“教學過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動，思維永遠是從問題開始的?！盵4]因此，在組織教學活動中，讓學生認識到數學概念不是憑空產生的，也不是孤立的，它是在原有基礎上不斷發(fā)展而來的，具有一定的結構性和連貫性。數學概念也可以有其他的表達形式，如函數的單調性在必修一中已經學習，那么利用導數的幾何意義和極限思想進一步研究函數的單調性，有助于學生理順新舊表達方式邏輯的連貫性。鑒于此，筆者提出了以下問題。

師：怎樣利用導數來刻畫函數的單調性？

生1：利用函數單調性定義和導數定義進行研究。

師：很好！你們能建立“函數的單調性”與“導函數的正負性”之間關系嗎？

生2：根據函數單調性定義，已知f（x）的定義域為D，對于給定區(qū)間I=（a，b），ID，x1，x2? I，x1

生10：從前面討論第（2）（5）的函數中，我發(fā)現函數取到最大值或最小值時，導函數為0，于是，要求函數在定義域內的最大值或最小值時只要解出f '（x）=0的x值，將其代入f（x）表達式即可。

生11：不一定，對于f（x）=x3，f '（0）=0，但f（x）在R上單調遞增，因此沒有最值。

而f（x）=x+的導函數為f '（x）=1-，

有f '（±1）=0，代入求得函數值f （1）=2，f （-1）=

2，這與利用基本不等式求出的結果f（x）≥2或f（x）≤

2是一致的，即最大值為2，最小值為-2。

生12：這是對勾函數，f '（x）=1-，當f '（x）=

1->0，即x>1或x<-1，因此，單調遞增區(qū)間為

（-∞，-1），（1，+∞），同理，單調遞減區(qū)間為（-1，0），（0，1），結合圖像可得，既無最大值，也無最小值，值域是（-∞，-2]∪[2，+∞）。

師：關于最值的分析是正確的。當x>0時，在x=1附近的函數值沒有比2更小的，于是就把f（1）=2作為f（x）的極小值;同理f（-1）=-2作為f（x）的極大值。

極值反映的是函數在某一點附近的局部性質，而不是函數在整個定義域內的性質，也就是說，如果x0是函數y=f（x）的極大（?。┲迭c，那么在x=x0附近找不到比f（x0）更大（?。┑闹?。

[設計意圖]通過對已知函數圖像的觀察，培養(yǎng)學生發(fā)現問題、提出問題的能力，繼而引出函數極值和極值點的概念。

師：如果f（x0）=0，那么f（x）在x=x0處一定有極值嗎？又怎樣判斷極大（?。┲?？

[設計意圖]鼓勵學生自主選擇問題鞏固有關概念，引導學生學會從特殊實例中總結歸納一般情況，培養(yǎng)學生獨立思考、合作交流的能力。

學生分組討論、爭辯交流，教師巡回觀察指導，時而參與交流，學生智力參與，教師給予點評，并做關鍵的提示與強調。

一學生小組發(fā)問：函數f（x）=x2-2x-1在x=1處導數為0，極小值為2，以前將其叫作最小值，這兩者有區(qū)別嗎？

此時，筆者首先表揚該生敢于提出新問題的精神，其次給出函數最值的概念。

師：最大（?。┲凳侵冈谡麄€給定區(qū)間內所有函數值都與f（x0）比較，沒有比f（x0）再大（?。┑牧耍@時f（x0）就是最大（?。┲怠Ｒ虼藢τ诙魏瘮翟趯ΨQ軸處既是極大（?。┲?，也是最大（?。┲?。

追問：你們能再找一個函數極值就是相應最值嗎？

此時，課堂上又一次引起熱烈討論，大家紛紛舉例，并加以驗證或者否定。

師：這些都是在整個定義域內的極值與最值的關系，一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數y=f（x）的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。

[設計意圖]通過學生自主探究，并提出問題，激發(fā)學生的聯想、比較、分析、概括、抽象等高水平數學思維，而且還在方法論上給予“強抽象”的體驗。

4.體驗問題模型 體驗數學的實用性

培養(yǎng)學生觀察問題、發(fā)現問題、提出問題和解決問題能力，是新課程改革的重要目標之一，問題意識、質疑能力也是重要的學科素養(yǎng)。數學學習尤其要有較強的主動性和積極性，絕不能人云亦云，要有自己的獨立思考。因此，在教學過程中，要鼓勵學生大膽質疑、提出問題，培養(yǎng)學生的理性精神和創(chuàng)新精神。學生習慣于解決給定的問題，對于開放性問題往往束手無策，這樣不利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。教學時，訓練學生的逆向思維，引導研究問題的模型，這樣讓學生體驗數學的實用性，因此，筆者設計了如下問題。

師：求函數f（x）=x2（3-x）的單調區(qū)間，并指出單調性。

學生自主求解交流，教師察看點撥。

追問1：你們能提出新的問題嗎？

生（齊）：根據極值的定義，得極大值f（2）=4;得極小值 f（0）=0。

生13：還可以求函數在區(qū)間[1，4]上的最大值4，最小值16。

師：很好！你們已經掌握了求函數單調區(qū)間、極值和最值的方法。

追問2：你們能根據這個函數式構造一個具體的實例（數學模型）嗎？可以分組討論。

生14：當0

（1）我們是按照怎樣的路徑探究導數在研究函數中的應用的？

（2）獲得導數概念的過程與獲得用導數刻畫函數單調性的過程有怎樣的異同？

（3）利用導數研究函數的極值與利用導數求函數的最值有怎樣的異同？

（4）你利用導數還能探究函數哪些性質？

[設計意圖]從結構化、聯系性等視角歸納總結本課的學習內容，進一步認識導數在研究函數中的內容、過程和方法，突出導數與函數之間的內在關聯，滲透逆向思維的觀點，強調利用導數解決生活中的實際問題，體現更高的函數應用的觀點和更本質的數學思維模式。

三、教學啟示

數學學習是有意義的建構學習，是在質疑、探究、交流、合作中完成的。因此，數學教師的任務，就是組織具有一定思維含量的數學素材，引發(fā)學生的深度思考，展現思維過程，指導交流、合作和思維碰撞，產生思維火花，完成數學知識的意義建構。所以，在數學課堂教學中，教師應該有意識地讓學生表達自己的想法，讓學生的嘴動起來，話多起來，學會合作探究，學會經驗積累，學會交流分享。由此可見，教師對新課標、新教材、新高考的深刻把握和精準設計尤為重要，研究新教法，綜合利用單元教學進行嘗試，讓課堂教學更加精彩。

1.把學生帶回經驗中

數學概念是概括的、抽象的，無論是概念的形成還是概念的同化，都需要以學生的基本活動經驗為生長點，以學生頭腦中已有的具體內容、直觀想象的圖形為依托，“借助經驗事實使概念易于理解”[5]。在新課標背景下的新教材中，許多概念，尤其是基本概念與現實生活息息相關，因此在課堂教學中應該通過情境創(chuàng)設，如實際問題導入、以舊引新等，喚起學生學習的熱情，使學生身處現實情境，親身體驗，在感性認識的基礎上，借助觀察、分析、歸納、抽象等思維活動，如給出五個基本初等函數，讓學生指出單調區(qū)間、畫圖、求出導數，引導學生觀察函數圖像，感性認識導數值對單調性的影響。又如通過復習函數單調性概念，打通單調性與導數的關系，慢慢走向精確概念。也就是“對常識內容進行精細化”[6]，在概念化的過程中學習新的概念，解決一系列問題（習題）。

2.把學生帶入探究中

數學家哈爾莫斯說：“問題是數學的心臟。”概念教學的一個重要的方面就是用問題將學生帶入探究之中，讓學生在發(fā)現問題、提出問題、解決問題的過程中智力參與、主動建構，理解數學知識的本質，體會科學研究的一般方法。如導數與單調性關系，學生發(fā)現“單調遞增函數的導數大于零，單調遞減的導數小于零”，學生嘗試從兩個方面去探究，一是依據單調性定義和導數定義，二是通過割線斜率演變到切線斜率，使得問題更加直觀化。新授課的概念教學中的問題化包括兩個方面：一是概念建構過程的問題化，將知識的發(fā)生發(fā)展過程轉化為一系列帶有探究性問題，如進而學生又提出“導數大于零的函數一定單調遞增”，從而引起學生小組之間大討論，進而得出正確結論;二是形式材料的問題化，把形式的、抽象的數學知識轉化為蘊含本質、貼近實際的適合學生探究的問題，如學生通過二次函數和正弦函數的最值問題，大膽提出利用導數研究函數的最值，因勢利導地探究出“極值與最值的概念”，揭示極值是局部問題，而最值是整體性問題。

3.把學生帶入思辨中

數學學習中的思辨既是一種思維活動，也是一種實踐操作行為。思辨的對象可以是數學知識、數學素材、數學思想方法，也可以是數學學習過程中的成功與失敗，可以是群體思辨，也可以是自行思辨。如學生討論“導數為零的點是否為極值點”，又如讓學生舉例說明等等。教師引導學生思辨，不僅是思辨學習的結果，還有思辨學習的過程、學習的方法、學習的習慣，如求三次函數的單調區(qū)間，緊接著追問求函數的極值，然后又設計一個逆向應用和開放性問題，即由函數式來建構現實生活中的數學模型，于是學生在積極的合作、交流、討論、思辨情境下，得出兩種實際情境。這就是讓學生在思辨中回顧知識發(fā)生的過程，強化對數學知識的理解，領悟其中的思想方法，獲得科學研究的一般認識，發(fā)展質疑、批判的理性精神。既凸顯新課標理念——立德樹人，又體現新教材的編寫意圖——以生為本，同時也落實新高考的評價精神——人文思維、創(chuàng)新思維和創(chuàng)造思維。

[參考文獻]

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020：12.

[2][3]章建躍.核心素養(yǎng)立意的高中數學課程教材教法研究[M].上海：華東師范大學出版社，2021.

[4][5]涂榮豹，寧連華，等.中學數學教學案例研究[M].北京：北京師范大學出版社，2017.

[6]涂榮豹.數學教學認識論[M].南京：南京師范大學出版社，2003.