摘 要:“長(zhǎng)時(shí)間思考”具有連貫性和條理性、嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性、策略性和關(guān)聯(lián)性,能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維,通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維,并有效地提升學(xué)生的思維品質(zhì)。促進(jìn)學(xué)生“長(zhǎng)時(shí)間思考”,可以從強(qiáng)化問(wèn)題設(shè)計(jì)、夯實(shí)交流互動(dòng)、做好回顧反思等方面著力。
關(guān)鍵詞:長(zhǎng)時(shí)間思考;思維品質(zhì);問(wèn)題設(shè)計(jì);交流互動(dòng);回顧反思
*本文系江蘇省蘇州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“核心內(nèi)容視角下小學(xué)數(shù)學(xué)育人價(jià)值及其實(shí)現(xiàn)研究”(編號(hào):2021/LX/02/272/11)的階段性研究成果。
鄭毓信教授在詮釋“深度學(xué)習(xí)”的含義時(shí),提到“應(yīng)特別重視長(zhǎng)時(shí)間的思考”,并指出,在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)特別強(qiáng)調(diào)這樣幾個(gè)方面:聯(lián)系的觀點(diǎn),變化的思想,總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)。它們都可被看成“長(zhǎng)時(shí)間思考”的表現(xiàn)。如何正確地認(rèn)識(shí)和理解“長(zhǎng)時(shí)間思考”,并在數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展“長(zhǎng)時(shí)間思考”呢?
一、“長(zhǎng)時(shí)間思考”的內(nèi)涵
著名數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎(jiǎng)獲得者廣中平佑在《創(chuàng)造之門(mén)》一書(shū)中寫(xiě)道:“我認(rèn)為思考問(wèn)題的態(tài)度有兩種:一種是花費(fèi)較短時(shí)間的即興思考型,一種是較長(zhǎng)時(shí)間的長(zhǎng)期思考型。所謂的思考能人,大概就是指能夠根據(jù)思考的對(duì)象自由自在分別使用這兩種類型的思考態(tài)度的人……沒(méi)有長(zhǎng)期思考型訓(xùn)練的人,是不會(huì)深刻思考問(wèn)題的……無(wú)論怎樣訓(xùn)練即興性思考,也不會(huì)掌握前面談過(guò)的智慧深度?!惫P者認(rèn)為,“長(zhǎng)時(shí)間思考”的內(nèi)涵主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。
(一)連貫性和條理性
嚴(yán)密的邏輯性是數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)特征之一,無(wú)論是數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答過(guò)程,還是數(shù)學(xué)知識(shí)之間關(guān)聯(lián)的建立過(guò)程,都是環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)的。而“長(zhǎng)時(shí)間思考”首先體現(xiàn)在解決一個(gè)問(wèn)題或一組問(wèn)題時(shí)持續(xù)不斷地思考,這其中必然包含思維的連貫性和條理性。比如,口算“25-9”時(shí),我們是這樣思考的:先看個(gè)位,5-9不夠減,向十位借“1”當(dāng)作個(gè)位的10,10和原來(lái)個(gè)位上的5合起來(lái)是15,15-9=6;再看十位,原來(lái)是“2”,被借走了“1”還?!?”;最后,十位上的1個(gè)十和個(gè)位上算出的6合起來(lái)是16??梢?jiàn),即使是這樣一道簡(jiǎn)單的口算題,解決時(shí)也會(huì)產(chǎn)生一條清晰的“思維鏈”,連接著“判斷—退位—相減—合成”這一系列的思考步驟。學(xué)生能夠連貫而有條理地經(jīng)歷這一完整的思考過(guò)程,就能正確地完成兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法。其后,再通過(guò)練習(xí)逐步簡(jiǎn)化其中的思考步驟,達(dá)到“自動(dòng)化水平”,慢慢地形成相應(yīng)的運(yùn)算能力。如果在這個(gè)過(guò)程中,學(xué)生的思維缺乏連貫性,就會(huì)顧此失彼、順序顛倒,最終得出錯(cuò)誤的答案。比如,有的學(xué)生在計(jì)算“15-9”這一步時(shí)錯(cuò)算成“4”;有的學(xué)生算完個(gè)位后忘記十位退位而錯(cuò)算成“26”,等等。思維不連貫或缺乏條理性的學(xué)生往往不能較好地掌握“退位減法”,甚至到高年級(jí)仍然不能正確、快速地運(yùn)算。
解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的每一步之間都是密切關(guān)聯(lián)的,這就要求學(xué)生能夠連續(xù)不斷地接著往下想,遵循嚴(yán)格的順序,講究邏輯的起點(diǎn)、過(guò)程和結(jié)果(前因后果)進(jìn)行“有序思考”。
(二)嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性
學(xué)生初學(xué)小數(shù)知識(shí)時(shí),常常會(huì)認(rèn)為“小數(shù)都比整數(shù)小”。類似這樣的錯(cuò)誤判斷在其他一些數(shù)學(xué)知識(shí)的初學(xué)過(guò)程中也頻頻發(fā)生,如“一個(gè)數(shù)的因數(shù)都比這個(gè)數(shù)小”“兩個(gè)數(shù)的積一定比這兩個(gè)數(shù)大”等。這也是“即興型思考”給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)的障礙之一,即“用案例完全取代類的分析”:學(xué)生往往只以一個(gè)例子或少數(shù)例子得出數(shù)學(xué)結(jié)論?!伴L(zhǎng)時(shí)間思考”則與之相反,需要“聰明人下笨功夫”,用不同的例子、從不同的角度不斷分析同一個(gè)問(wèn)題,經(jīng)歷從特殊到一般的概括過(guò)程。這個(gè)思考過(guò)程伴隨著很強(qiáng)的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性,需考慮所有情形,包括各種特例、非常規(guī)情況等。這種思考方式是由數(shù)學(xué)研究對(duì)象的特殊性,以及“數(shù)學(xué)思維是揭示事物之間抽象的形式結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系的”這些本質(zhì)特征決定的。
(三)策略性和關(guān)聯(lián)性
首先,“長(zhǎng)時(shí)間思考”體現(xiàn)為元認(rèn)知調(diào)控之下的策略性思考。也就是說(shuō),個(gè)體能夠?qū)ψ陨碓诋?dāng)下所從事的思維活動(dòng)具有清醒的自我意識(shí)和自我分析(評(píng)估),并能及時(shí)作出必要的調(diào)整,包括糾正可能的錯(cuò)誤,以使思維活動(dòng)更有效地往正確的方向開(kāi)展。比如,分析問(wèn)題時(shí)思考“是否充分利用了所有條件”“是否有遺漏的條件”,尋求方法時(shí)思考“是否解答過(guò)類似的問(wèn)題”“如果換一種思路想會(huì)怎樣”,完成解答后思考“答案是否完全符合題意”“這樣的解答方法是否最佳”。顯然,這樣的自我思維監(jiān)控優(yōu)于一般思維,體現(xiàn)為一種具有策略性的優(yōu)化思維形式。
其次,“長(zhǎng)時(shí)間思考”還體現(xiàn)為一種具有關(guān)聯(lián)性的“再認(rèn)識(shí)”思維形式。在結(jié)束了一個(gè)階段的學(xué)習(xí)以后,對(duì)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容與全部的學(xué)習(xí)過(guò)程作出總結(jié)和“再認(rèn)識(shí)”,從而不斷優(yōu)化認(rèn)識(shí)。這是“長(zhǎng)時(shí)間思考”的另一重要意義。不斷的優(yōu)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)的研究總是謀求用統(tǒng)一的理論概括零碎的事實(shí),這樣既便于簡(jiǎn)化研究,又能洞察到事物或現(xiàn)象的本質(zhì)。在這個(gè)“再認(rèn)識(shí)”的過(guò)程中,個(gè)體超越各部分內(nèi)容并從總體上開(kāi)展進(jìn)一步分析,特別是充分揭示各相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系,進(jìn)行更高層次的抽象概括,并形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。
綜上可見(jiàn),“長(zhǎng)時(shí)間思考”是一種更為理性而可控的、高層次的思維方式。而且,它具有超越數(shù)學(xué)學(xué)科的普遍意義,適用于任何學(xué)習(xí)與研究活動(dòng)。
二、“長(zhǎng)時(shí)間思考”的價(jià)值
對(duì)于學(xué)生而言,“長(zhǎng)時(shí)間思考”的最大價(jià)值在于:學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維,通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維,不斷提升思維品質(zhì)。
(一)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維
數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察與實(shí)驗(yàn)、比較與分類、分析與綜合、抽象與概括、歸納與演繹、類比與猜想等數(shù)學(xué)活動(dòng),發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界?!伴L(zhǎng)時(shí)間思考”能夠有效地幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí),掌握數(shù)學(xué)技能,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),感悟數(shù)學(xué)思想與方法,學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維。
(二)通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維
學(xué)會(huì)思維,不是指想得更快,而是要從自然狀態(tài)的思考走向愿意思考、善于思考。它具體表現(xiàn)為:(1)能認(rèn)識(shí)并體驗(yàn)數(shù)學(xué)思考的基本方法,如歸納、類比、猜想與論證等;(2)能根據(jù)已有的事實(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)推測(cè)和解釋,養(yǎng)成“推理有據(jù)”“論述有理”的習(xí)慣;(3)能理解他人的思考方式和推理過(guò)程,并能與他人溝通;(4)能反思自己的思考過(guò)程,通過(guò)解決問(wèn)題的活動(dòng),發(fā)展探索精神和創(chuàng)新意識(shí)。
(三)提升思維品質(zhì)
“長(zhǎng)時(shí)間思考”所具有的連貫性和條理性、嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性、策略性和關(guān)聯(lián)性,實(shí)質(zhì)上就能有效地促進(jìn)思維品質(zhì)的提升。雖然這一過(guò)程“不容易”,但通過(guò)潛移默化、日積月累,就會(huì)逐漸成為一種自覺(jué)的思維習(xí)慣和思維方式,學(xué)生的思維也將因此走向深入和深刻。
三、促進(jìn)“長(zhǎng)時(shí)間思考”的教學(xué)策略
促進(jìn)學(xué)生“長(zhǎng)時(shí)間思考”,要從“思考如何發(fā)生”“思考如何持續(xù)”“思考如何深入”和“思考如何延伸”這幾個(gè)方面入手,設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程中的“思考點(diǎn)”,串接學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“思考鏈”。
(一)強(qiáng)化問(wèn)題設(shè)計(jì)
思考隨時(shí)都在發(fā)生,但只有真正的數(shù)學(xué)問(wèn)題才能引發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“長(zhǎng)時(shí)間思考”。怎樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題才稱得上“真正的數(shù)學(xué)問(wèn)題”?章建躍博士認(rèn)為,“真正的數(shù)學(xué)問(wèn)題”應(yīng)該滿足一些基本條件,如反映數(shù)學(xué)本質(zhì),與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān),不糾纏于細(xì)枝末節(jié),體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系性,解題方法自然、多樣,具有發(fā)展性,表述形式簡(jiǎn)潔、流暢且好懂,等等。
例如,《角的初步認(rèn)識(shí)》一課,教師設(shè)計(jì)了這樣的問(wèn)題:如何畫(huà)出一個(gè)和已知角同樣大小的角?這個(gè)問(wèn)題看似只是在引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展動(dòng)手操作,其實(shí)隱含著帶動(dòng)學(xué)生“長(zhǎng)時(shí)間思考”的“思考鏈”:學(xué)生首先要通過(guò)觀察形成已知角的大小的初步表象,然后要選擇手邊的一些工具(學(xué)具)將這個(gè)角的大小表示出來(lái),接著要借用這種“表示”畫(huà)出一個(gè)大小相同的角,畫(huà)完后還要想辦法將自己畫(huà)出的角與已知角進(jìn)行比對(duì)。在這樣的過(guò)程中,學(xué)生經(jīng)歷了觀察、判斷、想象、比較和反思等活動(dòng),“看角—比角—畫(huà)角—再比角”的操作活動(dòng)體現(xiàn)出嚴(yán)密的思維邏輯。
(二)夯實(shí)交流互動(dòng)
1.適時(shí)而恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)
教師的組織和引導(dǎo)是學(xué)生思考得以持續(xù)和深入的關(guān)鍵?!伴L(zhǎng)時(shí)間思考”,就需要更多地關(guān)注“結(jié)果是怎么來(lái)的?”“是否還有其他方法?”“從這個(gè)結(jié)果出發(fā)還能聯(lián)想到什么?”這些問(wèn)題。適時(shí)而恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)下的交流互動(dòng),則是有效解決這些問(wèn)題的“法寶”。
例如,教學(xué)“積的變化規(guī)律”,學(xué)生對(duì)于“一個(gè)乘數(shù)不變,另一個(gè)乘數(shù)乘幾,積也乘幾”這個(gè)猜想深信不疑——學(xué)生具備一定的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn),因而對(duì)這一運(yùn)算規(guī)律有著強(qiáng)烈的直覺(jué)判斷。這時(shí),教師引導(dǎo)學(xué)生討論:這條規(guī)律真的成立嗎?你能用舉例或畫(huà)圖的方法驗(yàn)證嗎?學(xué)生或舉出具體的計(jì)算的例子,或結(jié)合實(shí)際情境中的問(wèn)題加以說(shuō)明,或畫(huà)圖示意。這個(gè)“既知其然,也知其所以然”的交流過(guò)程,引導(dǎo)學(xué)生“反芻”思維過(guò)程:(1)強(qiáng)調(diào)全面的分析,如要求更多的實(shí)例、更多的理由,加強(qiáng)比較等;(2)更好地認(rèn)識(shí)和處理特殊與一般之間的關(guān)系;(3)學(xué)會(huì)“客觀地研究”,從而切實(shí)避免主觀情感的影響。得出“積的變化規(guī)律”后,教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生討論:由這條規(guī)律,你還能想到什么?學(xué)生的思維空間再一次被打開(kāi),產(chǎn)生了更多的猜想:一個(gè)乘數(shù)不變,另一個(gè)乘數(shù)除以幾,積也除以幾;兩個(gè)乘數(shù)都乘上一個(gè)數(shù),積就乘上它們乘的這兩個(gè)數(shù);一個(gè)乘數(shù)乘幾,另一個(gè)乘數(shù)除以相同的數(shù),積不變……
2.深度的對(duì)話
戴維·伯姆認(rèn)為,思維這一現(xiàn)象從其根本上說(shuō),是集體性的而非個(gè)體性的。聚焦“長(zhǎng)時(shí)間思考”的深度對(duì)話中,學(xué)生都能積極參與思考、傾聽(tīng)、表達(dá)。
比如,《質(zhì)數(shù)和合數(shù)》一課,教師請(qǐng)學(xué)生挑選3個(gè)自然數(shù)并寫(xiě)出它們的所有因數(shù),然后根據(jù)學(xué)生自主探索的結(jié)果,展開(kāi)對(duì)話。教師提問(wèn):“自然數(shù)根據(jù)因數(shù)的多少可以分成幾類?”學(xué)生回答:“可以分成兩類,只有2個(gè)因數(shù)的是一類,有3個(gè)或3個(gè)以上因數(shù)的是一類。”教師追問(wèn):“有沒(méi)有在這兩類以外的自然數(shù)呢?”學(xué)生思考后回答:“還有0和1這兩個(gè)自然數(shù),0沒(méi)有因數(shù),1只有1個(gè)因數(shù)?!苯處熡忠鲈掝}:“2、3、5、7等數(shù),只有1和它本身兩個(gè)因數(shù),像這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)(或素?cái)?shù));4、8、9、12、21、36等數(shù),除了1和它本身還有別的因數(shù),像這樣的數(shù)叫作合數(shù)。你們說(shuō),1是質(zhì)數(shù)嗎?是合數(shù)嗎?為什么?”學(xué)生回答:“因?yàn)?只有一個(gè)因數(shù),所以它既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)?!绷硪晃粚W(xué)生補(bǔ)充道:“我們討論因數(shù)和倍數(shù)時(shí)就沒(méi)有包含0這個(gè)自然數(shù),所以0也既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)?!苯處熢賳?wèn):“現(xiàn)在再請(qǐng)你們回答剛才的問(wèn)題——自然數(shù)根據(jù)因數(shù)的多少可以分成幾類,你們會(huì)怎樣回答呢?”學(xué)生回答:“分為四類——0不考慮;1只有1個(gè)因數(shù),它既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù);只有2個(gè)因數(shù)的是質(zhì)數(shù);有3個(gè)或3個(gè)以上因數(shù)的是合數(shù)。”
正所謂“理越辯越明”,古希臘哲學(xué)家蘇格拉底創(chuàng)立的“產(chǎn)婆術(shù)”,就是在他與學(xué)生對(duì)話的過(guò)程中,通過(guò)問(wèn)答甚至辯論的方式來(lái)揭露學(xué)生認(rèn)識(shí)中的矛盾,逐步引導(dǎo)學(xué)生自己得出正確答案。
(三)做好回顧反思
思維的發(fā)展不可能僅僅通過(guò)反復(fù)的實(shí)踐與經(jīng)驗(yàn)的簡(jiǎn)單積累得以實(shí)現(xiàn),而主要表現(xiàn)為由較低層次上升到更高的層次,這就是反思的價(jià)值所在?,F(xiàn)實(shí)中,很多學(xué)生往往樂(lè)于解題而疏于反思。促進(jìn)學(xué)生“長(zhǎng)時(shí)間思考”,就要引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)所解決的問(wèn)題本身、解決問(wèn)題的過(guò)程、解決問(wèn)題的結(jié)果進(jìn)行反思:“解決的是什么問(wèn)題?”“是如何解決問(wèn)題的?”“是怎樣收集信息、處理信息的?”“為什么這樣加工信息?”“分析時(shí)是從哪里入手的?”“解決問(wèn)題的思路為什么是這樣的?”……通過(guò)這樣的反思,將解決問(wèn)題的方法提升為策略,進(jìn)而更自覺(jué)地回望思維方法與過(guò)程、學(xué)習(xí)路徑與進(jìn)程,從而有效地調(diào)控自己的學(xué)習(xí),發(fā)展元認(rèn)知。而在一個(gè)階段學(xué)習(xí)之后的反思,能讓看似零散的數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來(lái),建立起知識(shí)之間的聯(lián)系,形成認(rèn)知結(jié)構(gòu),使得學(xué)生能從更高的結(jié)構(gòu)視角反觀所學(xué)知識(shí),提綱挈領(lǐng),全面把握。這樣,不僅有利于舊知的鞏固,也有利于新的認(rèn)識(shí)的生發(fā)。
例如,《表面涂色的正方體》一課,教師這樣引導(dǎo)學(xué)生反思:“今天發(fā)現(xiàn)的規(guī)律和以前學(xué)過(guò)的知識(shí)有什么聯(lián)系?”“除了規(guī)律以外,這節(jié)課上你還有哪些收獲?”“表面涂色的正方體的問(wèn)題解決了,你有沒(méi)有產(chǎn)生新問(wèn)題呢?”第一個(gè)問(wèn)題,將表面涂色的正方體的規(guī)律與學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的正方體的特征關(guān)聯(lián),揭示現(xiàn)象背后的本質(zhì),實(shí)現(xiàn)單元學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體貫通。第二個(gè)問(wèn)題,將學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)從知識(shí)層面轉(zhuǎn)向方法層面,引導(dǎo)學(xué)生提煉、概括探索數(shù)學(xué)規(guī)律的一般方法,讓學(xué)生在探索規(guī)律的過(guò)程中學(xué)會(huì)探索規(guī)律。第三個(gè)問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生提出新問(wèn)題,并由此感受到問(wèn)題的解決會(huì)帶來(lái)新問(wèn)題的產(chǎn)生。三次不同層次的反思引導(dǎo),打通了學(xué)生的“任督二脈”,學(xué)生會(huì)在課后興致勃勃地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法研究自己提出的“表面涂色的長(zhǎng)方體”問(wèn)題,進(jìn)一步延伸“長(zhǎng)時(shí)間思考”。
在思維中學(xué)會(huì)思維,比思維本身更具意義。布魯納曾指出:我們應(yīng)當(dāng)盡可能使學(xué)生牢固地掌握學(xué)科內(nèi)容;我們還應(yīng)當(dāng)盡可能使學(xué)生成為自主而自動(dòng)的思想家。這樣的學(xué)生,在正式學(xué)校教育結(jié)束之后,將會(huì)獨(dú)立地向前邁進(jìn)。數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)當(dāng)很好地處理學(xué)生思考的快與慢、多與少、熱鬧與安靜以及獨(dú)立思考與合作學(xué)習(xí)、積極交流之間的關(guān)系,努力引導(dǎo)學(xué)生“長(zhǎng)時(shí)間思考”。
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[6]章建躍.發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量 為學(xué)生謀取長(zhǎng)期利益[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2013(2).
(仲秋月,江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東延路實(shí)驗(yàn)學(xué)校,郵編:215021)