芮金芳

【摘 要】尺規(guī)作圖是研究幾何問(wèn)題的一種重要方法。尺規(guī)作圖作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》“圖形與幾何”領(lǐng)域中新增的內(nèi)容，在小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的育人價(jià)值。研究者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，從三個(gè)維度闡述尺規(guī)作圖的育人價(jià)值，即借尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn)操作與想象的嫁接，借尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn)猜想與推理的融合，借尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn)思想與文化的浸潤(rùn)。

【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖；想象推理；文化浸潤(rùn)；育人價(jià)值

尺規(guī)作圖是研究幾何問(wèn)題的一種重要方法，它有著悠久的歷史，曾對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展產(chǎn)生了十分重要的影響。尺規(guī)作圖不是簡(jiǎn)單地應(yīng)用直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)幾何圖形，而是一種只使用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，并且只準(zhǔn)使用有限次來(lái)解決不同的平面幾何作圖問(wèn)題的直觀操作方法，又稱為初等幾何作圖或歐幾里得作圖。

尺規(guī)作圖作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）中的一個(gè)全新內(nèi)容，對(duì)教師的教和學(xué)生的學(xué)來(lái)說(shuō)具有一定的挑戰(zhàn)性。部分教師在尺規(guī)作圖教學(xué)上存在一些認(rèn)知上的誤區(qū)，比如，對(duì)尺規(guī)作圖的教學(xué)目標(biāo)把握不精準(zhǔn)，對(duì)尺規(guī)作圖的教學(xué)價(jià)值認(rèn)識(shí)不夠，對(duì)尺規(guī)作圖教學(xué)的展開(kāi)方式模糊不清。他們往往急于讓學(xué)生掌握作圖的方法，忽略對(duì)知識(shí)承載的育人價(jià)值的領(lǐng)悟和數(shù)學(xué)思想方法的滲透。因此，明晰新課標(biāo)中對(duì)尺規(guī)作圖教學(xué)的新要求，凸顯課程內(nèi)容豐富的育人價(jià)值，對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具有重要意義。

一、借尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn)操作與想象的嫁接

新課標(biāo)在“圖形與幾何”領(lǐng)域明確提出從第二學(xué)段（3～4年級(jí)）開(kāi)始將尺規(guī)作圖內(nèi)容引進(jìn)課程學(xué)習(xí)范疇，具體分布情況見(jiàn)表1。

尺規(guī)作圖是典型的“做中學(xué)”“創(chuàng)中學(xué)”學(xué)習(xí)樣態(tài)。作圖過(guò)程中的兩大作圖工具功能各不相同，直尺的主要功能是連接兩點(diǎn)之間的線段，或經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)畫(huà)直線和射線；圓規(guī)的主要功能是畫(huà)圓或畫(huà)弧，也可以截取等長(zhǎng)的線段。這種由學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作的學(xué)習(xí)過(guò)程，將原本數(shù)學(xué)上抽象、乏味的符號(hào)知識(shí)轉(zhuǎn)換成直觀的、能夠讓學(xué)生具身參與的操作知識(shí)，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，利用幾何直觀把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、幾何直觀及動(dòng)手操作能力。如在教學(xué)用尺規(guī)作圖畫(huà)一個(gè)三角形時(shí)，教師可以提供一組線段（如圖1），提出核心問(wèn)題：“你能不能借助尺規(guī)工具，用給定的三條線段畫(huà)一個(gè)三角形？”

學(xué)生利用尺規(guī)工具在多次試畫(huà)過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)確定任意一條線段為三角形底邊時(shí)，就確定了三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，但在畫(huà)三角形另外兩條邊時(shí)，會(huì)出現(xiàn)無(wú)法相交的情況（如圖2），于是，學(xué)生會(huì)將思考聚焦到“如何確定三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)”這一關(guān)鍵問(wèn)題上來(lái)。

學(xué)生再次動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，從不同角度嘗試探究，試圖找到確定三角形第三個(gè)頂點(diǎn)的作圖方法。教師及時(shí)展示兩種典型方法：一是多次調(diào)整兩條邊的位置，找到它們相交的點(diǎn)，也就是三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)（如圖3）；二是先用圓規(guī)量出線段a的長(zhǎng)度，以底邊線段c的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一條弧，用同樣的方法量出線段b的長(zhǎng)度，以底邊線段c的另一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)再畫(huà)一條弧，兩條弧相交于一點(diǎn)，再用直尺把這個(gè)交點(diǎn)和線段c的兩個(gè)端點(diǎn)分別相連，就畫(huà)成了一個(gè)三角形（如圖4）［2］。

在兩種不同作圖方法的比較辨析中，學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)，如果把第一種作圖方法中不斷調(diào)整兩條邊位置所形成的零散的點(diǎn)連起來(lái)，恰好就是第二種作圖方法中兩條弧形成的軌跡（如圖5）。學(xué)生在不斷嘗試、思考、調(diào)整、想象、交流中，總結(jié)出兩種作圖方法之間的共同點(diǎn)，由此確定三角形第三個(gè)頂點(diǎn)的位置。學(xué)生完整經(jīng)歷“不斷嘗試—實(shí)驗(yàn)操作—多次調(diào)整—大膽想象—建構(gòu)方法”的學(xué)習(xí)過(guò)程，逐步體會(huì)構(gòu)造三角形的關(guān)鍵步驟，即通過(guò)兩弧交點(diǎn)來(lái)確定三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)。在有形的實(shí)驗(yàn)操作和無(wú)形的思考想象中，學(xué)生豐富了對(duì)三角形基本特征的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，在深度思考解決幾何問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生感悟到尺規(guī)作圖的獨(dú)特價(jià)值和意義，發(fā)展了直觀洞察力和空間想象力。

二、借尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn)猜想與推理的融合

數(shù)學(xué)是一門(mén)培養(yǎng)思維能力的學(xué)科。史寧中教授指出，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界（“三會(huì)”）是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程育人價(jià)值的最終目標(biāo)。其中會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)質(zhì)就是推理。推理意識(shí)是小學(xué)階段發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵詞之一，對(duì)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要作用。

在實(shí)際教學(xué)中，很多教師會(huì)把尺規(guī)作圖的教學(xué)目標(biāo)定位在學(xué)生是否理解、掌握作圖的方法上，往往忽視作圖中幾何推理的重要價(jià)值，致使學(xué)生出現(xiàn)知其作法，而不明其理的情況。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考如何用尺規(guī)工具作圖。首先，要明確作圖對(duì)象是什么，作圖的關(guān)鍵點(diǎn)在哪里，能初步想象出通過(guò)尺規(guī)工具畫(huà)的草圖；然后，要厘清尺規(guī)作圖的具體步驟和操作方法；最后，將作圖的過(guò)程有條理地表達(dá)出來(lái)，同時(shí)思考這樣的作圖方法是否正確，得出的結(jié)論是否合理，抽象概括出的一般化規(guī)律是否適用解決一類(lèi)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這樣的作圖學(xué)習(xí)是一個(gè)觀察、想象、操作、推理、驗(yàn)證、反思的全過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有助于培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)和探索性思維。

如在教學(xué)用尺規(guī)作圖探索三角形三邊關(guān)系時(shí)，教師可以突破以往提供小棒等材料，讓學(xué)生動(dòng)手操作圍一圍、量一量、算一算方法的限制，引入尺規(guī)工具作為實(shí)驗(yàn)探索工具，提供一組結(jié)構(gòu)化的實(shí)驗(yàn)材料，根據(jù)三角形的圖形特征引導(dǎo)學(xué)生先提出實(shí)驗(yàn)猜想，再借助尺規(guī)工具進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

問(wèn)題 下面哪三條線段能?chē)梢粋€(gè)三角形？用尺規(guī)工具畫(huà)一畫(huà)（如圖6）。

教師呈現(xiàn)四組典型的實(shí)驗(yàn)資源（如圖7），基于“能?chē)伞焙汀安荒車(chē)伞眱蓚€(gè)維度，讓學(xué)生思考“究竟怎樣的三條線段才能?chē)梢粋€(gè)三角形”。學(xué)生作圖并交流。

學(xué)生依據(jù)實(shí)驗(yàn)資源，在完整的作圖實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，從初步感知“兩條線段的長(zhǎng)度和小于或等于第三條線段時(shí)，不能?chē)扇切巍钡桨l(fā)現(xiàn)“延長(zhǎng)兩條短邊，使它們的弧能產(chǎn)生交點(diǎn)，就能?chē)扇切巍?，充分?jīng)歷了想象、作圖、思考、驗(yàn)證、說(shuō)理的學(xué)習(xí)過(guò)程。通過(guò)“眼見(jiàn)為實(shí)”的具象實(shí)驗(yàn)操作，到無(wú)限延長(zhǎng)的直觀想象，再到有根有據(jù)的推理思考，學(xué)生對(duì)三角形三邊關(guān)系的認(rèn)識(shí)更加全面、清晰、深刻。在尺規(guī)作圖的圖像語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的三重轉(zhuǎn)換下，學(xué)生根據(jù)幾何直觀、幾何解釋深入理解了幾何推理的過(guò)程。這種先直觀、后推理的方式，讓學(xué)生以作圖作為認(rèn)知載體，從“法”與“理”兩個(gè)維度展開(kāi)思辨，真正達(dá)到通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思考的目的，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維和推理意識(shí)，使學(xué)生形成數(shù)學(xué)思考與遷移的能力。

三、借尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn)思想與文化的浸潤(rùn)

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類(lèi)文明的重要組成部分。尺規(guī)作圖由于其鮮明的歷史背景，決定了背后蘊(yùn)藏著豐富的文化要素。重申尺規(guī)作圖的文化價(jià)值，顯得尤為重要。

1.邏輯探源：從數(shù)學(xué)高觀點(diǎn)視角分析

尺規(guī)作圖與圖形運(yùn)動(dòng)有著密切的關(guān)聯(lián)。從邏輯上看，尺規(guī)作圖作為圖形變換的一種手段是成立的。以“作一條與給定線段長(zhǎng)度相等的線段”為例，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中要求學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)先用刻度尺測(cè)量給定線段的長(zhǎng)度，再根據(jù)長(zhǎng)度用刻度尺畫(huà)出等長(zhǎng)的線段。很顯然，這樣的作圖方法嚴(yán)格意義上是“兩條線段的長(zhǎng)度近似相等”，與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性不吻合。新課標(biāo)中提出用尺規(guī)畫(huà)一條線段（A′B′），使它的長(zhǎng)度和已知線段（AB）相等。具體作圖過(guò)程可以歸納如下。

第一步：畫(huà)點(diǎn)A′，用無(wú)刻度尺畫(huà)一條以A′為端點(diǎn)的射線。

第二步：把圓規(guī)張開(kāi)，使得兩腳之間量出的長(zhǎng)度等于線段AB。

第三步：以射線的端點(diǎn)A′為圓心，以已截取的線段AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線于一點(diǎn)，標(biāo)出點(diǎn)B′。這樣，與線段AB等長(zhǎng)的線段A′B′就完成了（如圖8）。

這個(gè)作圖過(guò)程體現(xiàn)了線段的兩種“運(yùn)動(dòng)”，其中，第二步用圓規(guī)在射線上截取與線段AB等長(zhǎng)的線段，可以看作是平移；第三步用圓規(guī)在射線上畫(huà)弧的過(guò)程，其實(shí)質(zhì)是旋轉(zhuǎn)變換。這些作圖方法為學(xué)生進(jìn)入初中后，深入學(xué)習(xí)幾何圖形的性質(zhì)、定理及運(yùn)用提供了重要的思想基礎(chǔ)。這也體現(xiàn)了新課標(biāo)中課程內(nèi)容的一致性和結(jié)構(gòu)性。

2.文化探源：從數(shù)學(xué)審美視角分析

數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明既是審美的過(guò)程，也是塑造美的過(guò)程。在小學(xué)階段新增尺規(guī)作圖內(nèi)容，不僅體現(xiàn)課程內(nèi)容的整體性、結(jié)構(gòu)性和連貫性，凸顯其內(nèi)在精美的數(shù)學(xué)思維，即思維的變通性、直覺(jué)性和概括性，還能引領(lǐng)學(xué)生感受尺規(guī)作圖中數(shù)學(xué)思想方法的統(tǒng)一美、作圖形式的結(jié)構(gòu)美、嚴(yán)密推理的嚴(yán)謹(jǐn)美、作圖痕跡的簡(jiǎn)潔美、細(xì)致操作的精準(zhǔn)美、圖形轉(zhuǎn)換的和諧美、多樣表達(dá)的創(chuàng)造美，彰顯數(shù)學(xué)獨(dú)有的文化魅力，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)品格。

小學(xué)階段引入尺規(guī)作圖對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、空間想象、推理意識(shí)具有重要的價(jià)值。因此，教師在教學(xué)中不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)尺規(guī)作圖的方法，實(shí)現(xiàn)從直觀認(rèn)識(shí)到抽象推理的蛻變，形成初步的推理思辨能力，而且要讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)方法的精妙，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的深遠(yuǎn)，在浩瀚的數(shù)學(xué)歷史長(zhǎng)河中，感受數(shù)學(xué)先輩的精神智慧，了解數(shù)學(xué)發(fā)展的實(shí)踐創(chuàng)造，形成良好的數(shù)學(xué)審美直覺(jué)，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，真正發(fā)揮小學(xué)數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖教學(xué)的育人功能。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022．

［2］孫曉天，張丹.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）課例式解讀小學(xué)數(shù)學(xué)［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2022.

（責(zé)任編輯：羅小熒）