陳駿 盛曉君

［摘? 要］ 隨著課改的不斷深入，數(shù)學(xué)教育愈發(fā)強(qiáng)調(diào)其德育功能. 文章以“雪花曲線的探究”為例，分別從理性、人文、人格和責(zé)任四個維度分析數(shù)學(xué)學(xué)科德育內(nèi)涵的具體呈現(xiàn)形式，并通過課堂各環(huán)節(jié)的德育滲透，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，有效實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值.

［關(guān)鍵詞］ 學(xué)科德育；高中數(shù)學(xué)；雪花曲線；分形幾何

黨的十八大將立德樹人作為教育根本任務(wù)以來，學(xué)科德育成為一線教師關(guān)注的熱點(diǎn)，課堂教學(xué)成為落實(shí)該任務(wù)的基本形式. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中明確指出：“數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能……在學(xué)生形成正確人生觀、價值觀、世界觀等方面發(fā)揮獨(dú)特作用.”［1］可見，高中數(shù)學(xué)課堂不僅承載著知識的傳遞功能，其學(xué)科德育對學(xué)生的潤澤和滲透作用同樣值得重視. 本文以一節(jié)“雪花曲線的探究”課為例，具體呈現(xiàn)學(xué)科德育在課堂教學(xué)中的蘊(yùn)藏形式.

[?]數(shù)學(xué)學(xué)科德育內(nèi)涵

學(xué)科德育是指教師在日常學(xué)科教學(xué)過程中融合德育，以學(xué)科為抓手凸顯育人價值. 而數(shù)學(xué)學(xué)科德育特指數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行德育滲透，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值. 有學(xué)者認(rèn)為［2］，數(shù)學(xué)學(xué)科德育內(nèi)涵主要有理性、人文、人格和責(zé)任四部分（見表1）.

[?]數(shù)學(xué)學(xué)科德育教學(xué)實(shí)踐

本文以“雪花曲線的探究”為例，將時事熱點(diǎn)作為課程的引入情境，用數(shù)學(xué)文化構(gòu)建例題背景，以課外閱讀的方式采編史料，通過課堂實(shí)驗(yàn)、合作交流、匯報(bào)演講等教學(xué)活動，設(shè)計(jì)有效的問題串和多元化的作業(yè)等方法，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科德育在課堂中的滲透，力求在教學(xué)各環(huán)節(jié)較為自然地埋設(shè)“德育點(diǎn)”，通過關(guān)注學(xué)生言行表現(xiàn)對課堂德育效果進(jìn)行感知，通過理性、人文、人格和責(zé)任四部分對本節(jié)課的數(shù)學(xué)學(xué)科德育實(shí)踐進(jìn)行分析.

1. 教學(xué)分析

（1）教學(xué)內(nèi)容分析

在《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊（2020年滬教版）》第四章“數(shù)列”第二節(jié)等比數(shù)列中，教材以“科克雪花曲線”為例引入等比數(shù)列，章末復(fù)習(xí)又以求“雪花曲線”的周長和面積的拓展題形成首尾呼應(yīng)，章節(jié)中還呈現(xiàn)了關(guān)于“謝爾賓斯基三角形”和“謝爾賓斯基正方形”的練習(xí)題. 滬教版二期課改教材曾專門將“雪花曲線”作為數(shù)列的章末拓展閱讀. 新舊教材都把“雪花曲線”納入其中，旨在通過學(xué)生對“雪花曲線”的探索與研究，培養(yǎng)他們應(yīng)用數(shù)列知識解決實(shí)際問題的能力，同時也是對數(shù)學(xué)分支——分形幾何的初探和引導(dǎo). 本課將以“雪花曲線”的探究為明線，數(shù)列的綜合應(yīng)用為暗線，分形幾何的介紹為延伸，揭示事物的本質(zhì)規(guī)律，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，滲透數(shù)學(xué)的學(xué)科德育.

（2）學(xué)情分析

知識方面，學(xué)生已完成等差數(shù)列、等比數(shù)列的學(xué)習(xí)，會求解一般數(shù)列的通項(xiàng)公式，能初步應(yīng)用數(shù)列知識解決一些問題；能力方面，高二學(xué)生有通過相互討論去分析和解決問題的能力；情感方面，借助對雪花的感性認(rèn)識，激發(fā)學(xué)生利用數(shù)列知識探究“雪花曲線”的興趣.

（3）教學(xué)目標(biāo)

①通過計(jì)算“雪花曲線”的周長和面積，鞏固數(shù)列與極限的有關(guān)知識，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

②經(jīng)歷動手作圖、合作研究的過程，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題，得出科學(xué)結(jié)論的數(shù)學(xué)探究能力.

③了解分形幾何的歷史與發(fā)展，欣賞分形藝術(shù)，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值.

（4）教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：對“雪花曲線”的周長無限大而面積有限的認(rèn)識；了解分形幾何.

教學(xué)難點(diǎn)：求解“雪花曲線”的周長與面積的通項(xiàng)公式.

（5）教學(xué)準(zhǔn)備

①課堂學(xué)習(xí)單；

②安排學(xué)生志愿者提前搜索有關(guān)分形幾何的資料，并交予教師修改、審核后制成PPT備用.

2. 教學(xué)過程

（1）環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

情境1：

師：是否存在一種曲線，它的長度可以繞地球好幾圈，卻能畫在一張小小的郵票上？答案如何，學(xué)習(xí)完本節(jié)課就可以揭曉！

情境2：

師：2022年北京冬奧會成功舉辦，成為全球上首個“雙奧之城”. 在2月4日的開幕式上，一朵小小的雪花成為貫穿開幕式始終的線索，所有參賽國家和地區(qū)名字的雪花引導(dǎo)牌最后組成一個美麗的大雪花. 在全球處于疫情的艱難時刻，總導(dǎo)演張藝謀力圖運(yùn)用藝術(shù)感染力和文化共通性，體現(xiàn)人類團(tuán)結(jié)，一起走向未來.

設(shè)計(jì)意圖：情境1通過一個看似不可能發(fā)生的事情引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，情境2以近期發(fā)生的時事新聞?wù){(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并為探究“雪花曲線”埋下伏筆.

德育點(diǎn)：從理性維度來說，情境1啟發(fā)學(xué)生打破思維定式，追求實(shí)事求是的品質(zhì)；情境2呈現(xiàn)了2022年北京冬奧會開幕式視頻，展現(xiàn)了震撼人心的美，從人文維度來說，賦予學(xué)生民族自豪感.

（2）環(huán)節(jié)2：手動作圖，自主探索

師：小小的雪花到底蘊(yùn)藏著多大的秘密，我們今天不妨來一探究竟！

1904年瑞典數(shù)學(xué)家科赫第一次用數(shù)學(xué)的方法描述了一種曲線，外形酷似一片雪花，所以我們稱它為“雪花曲線”或“科赫曲線”. 下面我們也用數(shù)學(xué)的方法嘗試制作一片“雪花”. 請同學(xué)們進(jìn)行小組合作，在紙上完成以下操作：

第一步，將圖2-①的正三角形的每邊三等分，并以中間的一條線段為底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②；

第二步，將圖2-②的每邊三等分，重復(fù)上述的作圖方法，得到圖2-③；

第三步，按上述方法無限多次繼續(xù)做下去，得到的曲線將會呈什么形狀？

設(shè)計(jì)意圖：合理設(shè)計(jì)操作探究活動，可以有效調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與的積極性.讓學(xué)生帶著對雪花的感性認(rèn)識轉(zhuǎn)而理性地研究“雪花曲線”，通過操作探究活動，獲得寶貴的活動體驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

德育點(diǎn)：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，受行為主義影響較深的傳統(tǒng)教學(xué)觀念長期存在，教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)出了相對固化的特征，這也就導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)總體上比較枯燥乏味，教學(xué)效果也較為一般，學(xué)生一旦面對一些相對抽象的內(nèi)容，基本上都會出現(xiàn)難以理解與掌握的現(xiàn)象［3］. 數(shù)學(xué)史的融入是數(shù)學(xué)教學(xué)體現(xiàn)人文性的有力抓手.從數(shù)學(xué)德育的責(zé)任維度來說，通過“雪花曲線”歷史故事的引入，滲透多元文化，拓展學(xué)生的文化視野.

師：通過自己動手，大家都作出了“雪花曲線”. 但是我們發(fā)現(xiàn)，隨著生長次數(shù)的增加，小三角形越來越多，作圖也越來越困難.下面我們借助軟件，看看把“雪花曲線”的局部不斷放大后會是什么樣子.

教師利用幾何畫板縮小一個曲線與另一個不變的曲線進(jìn)行對比，讓學(xué)生初步感受分形結(jié)構(gòu)的自相似性，如圖3所示.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生動手作圖，熟悉曲線的迭代作圖法，對曲線的無限生長有一個初步印象；再利用計(jì)算機(jī)技術(shù)，增加迭代次數(shù)，讓學(xué)生觀察放縮后的“雪花曲線”，發(fā)現(xiàn)曲線局部間的相似特征，從而對曲線的自相似性有一個初步的“形”的認(rèn)識.

德育點(diǎn)：有效探究活動的設(shè)計(jì)是促進(jìn)學(xué)生主動思考的平臺，學(xué)生先動手，再通過計(jì)算機(jī)進(jìn)行多次迭代，從理性維度出發(fā)，鼓勵學(xué)生運(yùn)用已知的方法或結(jié)論類比未知的問題；從人格維度來說，哪怕學(xué)生在作圖時遇到了困難，也能讓他們在事物的曲折發(fā)展中認(rèn)識挫折的價值.

（3）環(huán)節(jié)3：定量分析，合作研究

師：“雪花曲線”其實(shí)蘊(yùn)藏著一些非常奇特的性質(zhì).剛才大家都體驗(yàn)了“雪花曲線”的生成過程，觀察你們作出的圖形，查看“雪花曲線”有什么特點(diǎn).

生1：“雪花曲線”是一條連續(xù)的折線.

生2：曲線到處長滿了“角”.

生3：當(dāng)?shù)螖?shù)越來越多時，“角”的個數(shù)也越來越多，并且“角”越來越小.

生4：曲線向外生長得越來越慢.

師：大家從“形”的方面對“雪花曲線”有了初步認(rèn)識.接下來，我們不妨從“數(shù)”的方面來定量研究“雪花曲線”. 同學(xué)們覺得我們可以研究哪些方面？

生5：可以研究“雪花曲線”的邊長和邊數(shù).

生6：還有“角”的個數(shù).

生7：周長和面積.

師：非常好！同學(xué)們已經(jīng)具備了用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的能力.

設(shè)計(jì)意圖：教師提出問題啟發(fā)學(xué)生觀察“雪花曲線”的形狀，發(fā)現(xiàn)它是一個與我們平時研究的多邊形不同的平面多邊形，引導(dǎo)他們從邊長、邊數(shù)、周長、面積等方面提出問題.

德育點(diǎn)：從人格維度來說，通過師生問答，營造良好的課堂氛圍，借助合作學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生尊重他人的思想意識，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容布置合作學(xué)習(xí)任務(wù)，促使學(xué)生在合作完成學(xué)習(xí)任務(wù)的過程中，傾聽他人意見，相互學(xué)習(xí)優(yōu)點(diǎn)，并對比分析自身不足，逐漸提升自我.

師：方便起見，我們統(tǒng)一數(shù)據(jù)：設(shè)原正三角形的邊長為a，周長為L，面積為S，不妨把每一次作圖變化的過程叫做“生長”，則經(jīng)過第n次生長后曲線的周長為L，面積為S.請同學(xué)們嘗試填寫表2.（文中展示的是已經(jīng)填寫好的表格）

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)歷互相交流、合作探究的過程后歸納出曲線生長的一般規(guī)律，抽象成數(shù)列模型后求得通項(xiàng)公式，最終得到所研究對象的結(jié)果，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的同時收獲成就感和自信心.值得注意的是，面積公式的推導(dǎo)具有一定的難度，需要教師的提示和輔助.

德育點(diǎn)：從理性維度來說，學(xué)生運(yùn)用由特殊到一般的方法，推理曲線生長前后的數(shù)量關(guān)系，嘗試多角度思考問題，訓(xùn)練嚴(yán)密的思維；從人格維度來說，學(xué)生在探究中學(xué)會傾聽和交流，這是對學(xué)生意志力、個性品質(zhì)等的培養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會對自己的學(xué)習(xí)進(jìn)行審視和反思.

（4）環(huán)節(jié)4：歸納結(jié)論，探源揭秘

師：當(dāng)n趨于無窮大，即生長無限次時，“雪花曲線”的周長和面積有何性質(zhì)？

生8：L=

nL，顯然極限不存在.

生9：S=

S

-

n

S=S，極限存在.

師（追問）：這個結(jié)果說明了什么？

生10：“雪花曲線”的周長是無窮大的，但面積是有限的.

師：通過剛才的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)：隨著“雪花曲線”生長次數(shù)的不斷增加，其周長不斷增加至無窮，而它的面積雖然也在不斷增加，但永遠(yuǎn)不可能超過S.這是一個多么奇妙的現(xiàn)象.“雪花曲線”這個圖形，它具有有限的面積，而具有無限的周長. 也就是說，存在一條無限長的曲線，圍成了一個有限面積的區(qū)域.

師：現(xiàn)在來看，是否存在一種曲線，它的長度可以繞地球好幾圈，卻能畫在一張小小的郵票上？

學(xué)生異口同聲：是！

師：這種現(xiàn)象最初被人們認(rèn)為是十分怪異和荒誕的，但隨著人們不斷探索與研究，逐漸認(rèn)識到了它的科學(xué)價值，并形成了一個新的數(shù)學(xué)分支——分形幾何. 客觀自然界中許多事物，具有自相似的結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時間、空間等方面具有統(tǒng)計(jì)意義上的相似性，適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)依然不變，比如各國的海岸線、天上的云朵、身上的血管等.

設(shè)計(jì)意圖：通過師生問答、合作討論，引導(dǎo)學(xué)生回顧并解決情境中的問題，教師帶領(lǐng)學(xué)生對“雪花曲線”從“形”的感性認(rèn)識，通過“量”的計(jì)算過渡，上升到“質(zhì)”的理性認(rèn)識，突破本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn).

德育點(diǎn)：從人文維度上來說，一朵小小的雪花蘊(yùn)含著如此神奇的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物思想和動態(tài)的數(shù)學(xué)信念. 學(xué)生通過探索發(fā)現(xiàn)了事物的本質(zhì)，揭示了現(xiàn)象背后的真理，感受到了數(shù)學(xué)學(xué)科的實(shí)用性和科學(xué)性，以此提醒自己用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.

（5）環(huán)節(jié)5：分形拓展，教學(xué)相長

師：下面我們有請幾位同學(xué)，給大家介紹一下分形幾何的相關(guān)知識！

A同學(xué)介紹分形幾何的發(fā)展史：

英國的海岸線有多長？

分形之父

B同學(xué)介紹各種自然界中存在的分形案例和用數(shù)學(xué)方式構(gòu)造的分形案例：

“大自然的幾何學(xué)”

C同學(xué)從分形幾何的應(yīng)用角度，展示分形藝術(shù)——曼德勃羅集.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)拓展課具有一定的開放性，教師讓學(xué)生見識一些課本上學(xué)不到的知識——數(shù)學(xué)文化. 學(xué)生通常樂于接收這類知識，參與展示的學(xué)生積極性較高，觀看的學(xué)生也是興趣盎然，教師亦有教學(xué)相長之感. 此環(huán)節(jié)可以大大提高學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的參與度和積極性.

德育點(diǎn)：此處的德育有多個維度，數(shù)學(xué)史的融入幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)人文的內(nèi)涵，是滲透多元文化的良好契機(jī)；通過展示，學(xué)生的視野得到拓寬，感受多彩的自然現(xiàn)象與奇妙的數(shù)學(xué)世界的聯(lián)系，對數(shù)學(xué)之美有一個重新的認(rèn)識，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的人文價值；展示者前期對資料的收集整理，可以培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識和科學(xué)態(tài)度，課內(nèi)的登臺亮相可以鍛煉他們的表達(dá)能力，同時有助于提升他們的文化自信.

（6）環(huán)節(jié)6：課堂小結(jié)，作業(yè)布置

課堂小結(jié)：

①“雪花曲線”有哪些特征？

②本節(jié)課你用到了哪些數(shù)學(xué)思想？

③談?wù)劮中螏缀谓o你留下的印象.

作業(yè)布置：

思考題：上網(wǎng)查閱有關(guān)“謝爾賓斯基海綿”的資料. 請你從數(shù)學(xué)的角度解釋：為什么它被稱為“有皮沒肉”的結(jié)構(gòu)體？另外，這樣的分形結(jié)構(gòu)體有何實(shí)際意義？

設(shè)計(jì)意圖：通過課堂小結(jié)和作業(yè)布置，以問題驅(qū)動的方式讓學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，明確本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和重難點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生歸納概括的能力.

德育點(diǎn)：教師設(shè)計(jì)多元化數(shù)學(xué)作業(yè)，試圖從理性維度和責(zé)任維度，讓學(xué)生在掌握課堂知識的基礎(chǔ)上學(xué)會遷移應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)的文化價值和應(yīng)用價值.

[?]數(shù)學(xué)學(xué)科德育實(shí)踐反思

學(xué)科德育是一個不斷探索、逐步推進(jìn)的過程，若以數(shù)學(xué)學(xué)科德育視角再次審視本節(jié)課，課堂從理性維度訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)密的思維，從人文維度培養(yǎng)學(xué)生動態(tài)的數(shù)學(xué)信念，從人格維度鍛煉學(xué)生遭遇挫折時應(yīng)具備的意志力，從責(zé)任維度提升學(xué)生的文化自信.

1. 求真設(shè)計(jì)，落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

基于學(xué)科德育的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，在教學(xué)過程中應(yīng)充分挖掘發(fā)展核心素養(yǎng)的機(jī)會和載體，基于真實(shí)的情境設(shè)計(jì)，訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)密的思維，在培養(yǎng)學(xué)生知識和能力的同時，注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)情感的發(fā)展.例如，在探究“雪花曲線”周長與面積的過程中，教師通過設(shè)置“問題串”引導(dǎo)學(xué)生觀察曲線生長前后的邊長、邊數(shù)、周長、面積的變化，并將數(shù)據(jù)填表做進(jìn)一步分析，發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)；在根據(jù)遞推公式求解通項(xiàng)公式的教學(xué)中，通過歸納分析、累加求和，滲透邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；在通過極限結(jié)論解釋曲線生長變化的本質(zhì)規(guī)律時，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)模型的結(jié)論返回到實(shí)際問題中去，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.

2. 崇善構(gòu)建，凸顯“學(xué)生中心”課堂

數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑，都是由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、探索、研究，因?yàn)檫@樣理解更深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系. 新課改強(qiáng)調(diào)“以人為本”的學(xué)生觀，主張將課堂還給學(xué)生. 教師在課堂上要給予學(xué)生足夠的自主探究、獨(dú)立思考的機(jī)會和時間，讓學(xué)生在自主探究、合作交流的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

本節(jié)課在體現(xiàn)學(xué)科德育的同時堅(jiān)持以“學(xué)生為中心”的教學(xué)原則，創(chuàng)造機(jī)會與平臺，讓學(xué)生合作、交流、展示、聆聽、提升、構(gòu)建，通過學(xué)生自行動手，形成對“雪花曲線”的直觀感受；通過小組合作填表，生成對“雪花曲線”的理性認(rèn)識；在解決問題與困難的過程中培養(yǎng)學(xué)生動態(tài)的數(shù)學(xué)信念，鍛煉學(xué)生的意志力；在師生、生生的互動中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科德育價值，落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和必備品格.

3. 唯美滲透，蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化價值

數(shù)學(xué)家羅素指出，“數(shù)學(xué)不但擁有真理，而且也擁有至高無上的美”.“雪花曲線”帶來的視覺沖擊吸引著學(xué)生去探索數(shù)學(xué)的奇異之美；數(shù)學(xué)文化的滲透讓學(xué)生對分形幾何概念的產(chǎn)生背景、發(fā)展過程以及數(shù)學(xué)家運(yùn)用的思想方法有了一定的了解，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度欣賞數(shù)學(xué)的統(tǒng)一之美；通過對“雪花曲線”通項(xiàng)公式的挖掘及極限的計(jì)算，感受數(shù)學(xué)的抽象之美……課堂教學(xué)不僅完成知識傳遞，更培養(yǎng)學(xué)生的審美能力與文化自信，滲透了數(shù)學(xué)德育的功效，傳遞著數(shù)學(xué)文化的情感溫度，以人性化的數(shù)學(xué)將“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”［4］，讓“理性”的數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出“感性”之美.

參考文獻(xiàn)：

［1］? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］? 栗小妮. HPM視角下數(shù)學(xué)學(xué)科德育的案例研究［D］. 上海：華東師范大學(xué)，2020.

［3］? 汪曉勤. 數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育［J］. 教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2014（01）：8-14.

［4］? 張奠宙，馬岷興，陳雙雙，胡慶玲.數(shù)學(xué)學(xué)科德育——新視角·新案例［M］. 北京：高等教育出版社，2007.