歐紅霞 嚴虹
[摘? 要] 文章以“等差數(shù)列的前n項和”為例,分析如何有效地將閱讀材料融入高中數(shù)學教學,并談一談在閱讀材料指向下高中數(shù)學教學的思考,以期通過研究為其他閱讀材料融入高中數(shù)學教學提供啟示.
[關(guān)鍵詞] 閱讀材料;高中數(shù)學教學;案例研究;等差數(shù)列的前n項和
[?]引言
閱讀材料是教科書的重要組成部分,2019年版高中數(shù)學人教A版教材(以下簡稱“新教材”)設(shè)有“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”和“信息技術(shù)應(yīng)用”等閱讀材料欄目. 章建躍教授指出:“在高中數(shù)學教材中設(shè)置‘閱讀材料欄目,為學生提供豐富的具有思想性、實踐性、挑戰(zhàn)性的,反映數(shù)學本質(zhì)的選學材料,拓展學生的數(shù)學活動空間,發(fā)展學生‘做數(shù)學‘用數(shù)學的意識.”[1]《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《新課標》)指出:“要注重數(shù)學文化的滲透,注重信息技術(shù)與數(shù)學課程的深度融合;要不斷引領(lǐng)學生感悟數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值.”[2] 這些內(nèi)容可選擇閱讀材料作為載體來實現(xiàn).
但由于閱讀材料不是教材正文內(nèi)容,它常常被師生忽略,導致其教育教學功能未得到充分發(fā)揮,而且單獨講授教材中的閱讀材料是不可行的,所以考慮將閱讀材料融入教學,使得課堂教學更有品質(zhì). 那么,如何有效地將閱讀材料融入教學呢?邵光華教授指出:“使用新教材時需要特別關(guān)注新增內(nèi)容. 新教材注重數(shù)學文化的滲透,在題目背景設(shè)置和‘閱讀與思考板塊中都有所體現(xiàn),作為教師應(yīng)更深入地了解相關(guān)歷史和背景.”[3]因此,本研究結(jié)合新教材中一則新增的閱讀材料“中國古代數(shù)學家求數(shù)列和的方法”,并以“等差數(shù)列的前n項和”為例分析上述問題,最后談一談閱讀材料指向下高中數(shù)學教學的思考.
[?]“等差數(shù)列的前n項和”內(nèi)容的閱讀材料的文本分析
“等差數(shù)列的前n項和”內(nèi)容的閱讀材料的相關(guān)信息如表1所示:
該閱讀材料先對數(shù)列求和問題的發(fā)展歷程進行了簡單介紹,然后對劉徽如何發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列求和公式的過程進行了探討分析,最后在文末講述了沈括創(chuàng)造的“隙積術(shù)”以及分析了楊輝把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為求離散量的垛積問題[4].
等差數(shù)列的求和方法“倒序相加法”是歷史傳承下來的巧妙方法,學生往往覺得它“巧妙”但“想不到”. 而實際上,“倒序相加法”是在深入理解等差數(shù)列性質(zhì)的基礎(chǔ)上得到的. 教材編寫者為了使教師和學生意識到這一點,在教材中設(shè)置了上述閱讀材料.
[?]教學案例研究
閱讀材料“中國古代數(shù)學家求數(shù)列和的方法”不僅具有數(shù)學教育價值,而且有利于把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì),與《新課標》中的“把握數(shù)學本質(zhì),啟發(fā)思考,改進教學”這一理念是相吻合的. 此外,這則閱讀材料為教材中的“思考”(即如何避免分類討論)提供了豐富的數(shù)學文化背景(垛積術(shù)). 因此,將這樣的閱讀材料融入數(shù)學課堂教學,可以更好地發(fā)揮其探究和德育功能;同時,學生學習數(shù)學家的成果有利于理清數(shù)學思想方法的由來.基于此,設(shè)計如下案例.
(一)教學目標及教學重難點
1. 教學目標
(1)結(jié)合古代數(shù)學家求數(shù)列和的方法,通過猜想到證明,掌握等差數(shù)列的前n項和公式及推導方法,并能簡單應(yīng)用.
(2)親歷公式的探索發(fā)現(xiàn)過程,體驗探索的成功與快樂,滲透特殊到一般、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化等思想,積累基本活動經(jīng)驗,養(yǎng)成嚴謹?shù)乃季S習慣,發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理與數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng).
(3)通過應(yīng)用等差數(shù)列的前n項和公式解決良馬和駑馬15日所行里數(shù)問題,體會“倒序相加法”誕生的曲折過程,感受數(shù)學家的探索精神和創(chuàng)新意識.
2. 教學重難點
教學重點:等差數(shù)列的前n項和公式.
教學難點:等差數(shù)列的前n項和公式的推導.
(二)教學過程
基于上述對閱讀材料“中國古代數(shù)學家求數(shù)列和的方法”的文本分析,以及對教學目標和教學重難點的制定,設(shè)計了如下教學流程(如圖1所示):
1. 創(chuàng)設(shè)情境,導入新課
【問題情境】
我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽(圖2)在《九章算術(shù)》注文中的“盈不足”章給出的第19問是一個等差數(shù)列問題:“今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊,齊去長安三千里(里是我國市制長度單位,1里=500 m).良馬初日行一百九十三里,日增十三里.駑馬初日行九十七里,日減半里. 良馬先至齊,復還迎駑馬.”
注:原問為“幾何日相逢及各行幾何?”
【教師活動】
創(chuàng)設(shè)情境,設(shè)置引導性問題并讓學生先計算良馬15日所行里數(shù):
(1)記良馬15日所行里數(shù)為S,請學生列式計算S;
(2)待大部分學生解答完成后,給出劉徽的計算方法為S=193×15+(1+14)××13,學生對比劉徽的計算方法后產(chǎn)生困惑.
【學生活動】
(1)列式計算:
S=193+(193+13)+(193+13×2)+(193+13×3)+…+(193+13×14)=[][15個193]+13×(1+2+3+…+14)=15×193+13×105=4260.
(2)發(fā)現(xiàn)1+2+3+…+14與相等,通過計算可驗證,但大部分學生對于二者能聯(lián)系起來是存在困惑的.
設(shè)計意圖:借助劉徽求等差數(shù)列的求和方法創(chuàng)設(shè)情境,學生不僅能學到古代數(shù)學家求數(shù)列和的思想方法,而且通過計算并對比數(shù)學家的計算方法后產(chǎn)生困惑,從而激發(fā)學生探索知識的興趣.
2. 探究歸納,初獲猜想
南宋的數(shù)學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題”.例如,求圖3“圭垛”中的格點個數(shù)總和,楊輝認為雖然圭垛的形狀與三角形相似,但要用梯形的面積公式計算,即S==28.
【教師活動】
(1)介紹數(shù)學家楊輝的成就并展示“圭垛”圖片,結(jié)合圖形分析的結(jié)構(gòu),引導學生從“形”的角度理解上述情境中的1+2+3+…+14=(1+14)×.
(2)結(jié)合兩位數(shù)學家的計算方法,引導學生猜想S=1+2+3+…+(n-1)+n=?
【學生活動】
(1)結(jié)合梯形面積公式,從“形”的角度進行分析,消除困惑.
(2)通過分析兩位數(shù)學家的計算方法,將S看成是上底為1,下底為n,高為n的梯形,并結(jié)合梯形面積公式猜想得到S=.
設(shè)計意圖:借助楊輝處理“圭垛”中的格點總數(shù)問題完成:①從“形”的角度,幫助學生理解情境中的困惑——1+2+3+…+14=(1+14)×;②為猜想得出S=1+2+3+…+(n-1)+n=奠定基礎(chǔ):引導學生對兩個特殊的等差數(shù)列求和結(jié)果進行分析、比較和歸納,從特殊到一般,猜想出上述一般結(jié)果,培養(yǎng)學生合作交流的意識以及合情推理和運算的能力;③為后續(xù)借助梯形面積公式的形象記憶等差數(shù)列前n項和的兩個公式做好鋪墊.
3. 演繹推理,證明猜想
問題1:數(shù)學講究嚴謹,大膽猜想得出的結(jié)論還需要細致證明,剛才的猜想正確嗎?又該如何證明?
【教師活動】
(1)引導、啟發(fā)學生用分析法來貫通思路,要證S=,即證2S=n(1+n)(提示:2S可看成2個S相加,n(1+n)可看成n個(1+n)相加),讓學生完成證明.
(2)引導學生思考以下兩個問題:
①證明過程會用到等差數(shù)列的哪條性質(zhì)?
②證明過程有何特點?(注:教師巡視,觀察是否有學生想到將第二個S寫成S=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1.若沒有,教師要對學生的證明過程進行適當引導,讓學生感受到“倒序”后的計算簡潔、直觀.)
【學生活動】
(1)通過獨立思考、合作交流、討論推演,給出證明:
S=1+2+3+…+(n-1)+n①,
S=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1②,
①+②:2S=n(1+n).
所以S=.
(2)思考、交流和討論:
①等差數(shù)列的性質(zhì):若{an}為等差數(shù)列,m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則a+a=a+a.
②發(fā)現(xiàn)證明過程的巧妙之處,提煉出“倒序相加法”的操作技能和思想.
設(shè)計意圖:結(jié)合閱讀材料和教科書提出一個可能發(fā)現(xiàn)“倒序相加法”的思想:①使學生認識到研究問題的一般思路為“探索—歸納—猜想—證明”;②在“2S可看成2個S相加,n(1+n)可看成n個(1+n)相加”這樣的啟發(fā)下,想到用“倒序相加法”求1+2+3+…+(n-1)+n,展現(xiàn)了數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的“觸類旁通”“靈感”等要素,為學生分析問題和解決問題做出示范[5];③為“倒序相加法”推廣到一般的等差數(shù)列求和埋下了伏筆,同時揭示了該方法的根源所在——等差數(shù)列的性質(zhì),讓學生認識到定義、性質(zhì)的重要性,這是一切數(shù)學推理的源泉,同時培養(yǎng)學生演繹推理的能力;④講解1+2+3+…+(n-1)+n是為了得出等差數(shù)列前n項和“公式2”的另一種推導方法,讓學生意識到所有的等差數(shù)列求和問題都可以轉(zhuǎn)化為求1+2+3+…+(n-1)+n.
4. 方法推廣,獲得公式
問題2:能將上述方法推廣到“求首項為a,公差為d的等差數(shù)列{a}的前n項和S”嗎?
問題3:若將通項公式a=a+(n-1)d代入“公式1”,又能得出什么表達式呢?
【教師活動】
(1)對學生的推導過程進行完善、板演,并總結(jié).
(2)引導學生將a=a+(n-1)d代入“公式1”得出“公式2”:S=na+d.
【學生活動】
(1)通過小組合作交流,完成推導:
S=a+a+a+…+a+a①,
S=a+a+a+…+a+a②,
①+②:2S=n(a+a).
所以S=.
得到等差數(shù)列{a}的前n項和“公式1”:S=.
(2)將a=a+(n-1)d代入“公式1”得出“公式2”:S=na+d.
設(shè)計意圖:將“倒序相加法”推廣至一般的等差數(shù)列求和問題中,體現(xiàn)特殊到一般的數(shù)學思想方法,使得等差數(shù)列{a}的前n項和公式的推導比較自然,也符合學生的認知規(guī)律,發(fā)展學生的邏輯推理核心素養(yǎng);將“公式1”變形得到“公式2”,有助于學生在后續(xù)的學習中正確選擇公式.
5. 公式剖析,外化于形
結(jié)合數(shù)學家楊輝求“圭垛”中格點個數(shù)的方式(借助梯形面積公式),分析等差數(shù)列的前項和公式的結(jié)構(gòu).
公式1:S=
公式2:S=na+d
設(shè)計意圖:通過閱讀楊輝借助梯形面積公式計算“圭垛”格點總數(shù)問題,獲得一般啟示:借助梯形面積公式,幫助學生形象記憶等差數(shù)列求和公式,滲透數(shù)形結(jié)合思想方法,發(fā)展學生的直觀想象核心素養(yǎng).
6. 公式應(yīng)用,傳道解惑
問題4:回到剛才的情境中,
(1)現(xiàn)在同學們知道數(shù)學家劉徽是如何計算的嗎?用的是哪個等差數(shù)列求和公式,請指出相應(yīng)的基本量. (注:S=193×15+(1+14)××13)
(2)請同學們利用等差數(shù)列求和公式計算出S.
問題5:結(jié)合情境中計算S的過程,請同學們思考“如果不從‘公式1出發(fā),你能用其他方法得到‘公式2嗎?”
【教師活動】
(1)引導學生用等差數(shù)列求和公式解決問題4和問題5.
(2)結(jié)合劉徽計算的過程提示學生將S=a+a+a+…+a+a化為S=a+(a+d)+(a+2d)+…+[a+(n-2)d]+[a+(n-1)d],進而化為S=na+[1+2+3+…+(n-1)]d進行思考分析.
【學生活動】
(1)學生解答:
①有2種預設(shè):
預設(shè)1:學生發(fā)現(xiàn)劉徽使用的是等差數(shù)列前n項和“公式2”(S=na+d,其中a=193,n=15,d=13);
預設(shè)2:學生發(fā)現(xiàn)劉徽使用的是等差數(shù)列前n項和“公式1”(S=,其中n=14,a=1,a=14). (注:學生計算的僅是1+2+3+…+14=(1+14)×)
②計算S:
方法1:S=97+
97-1×
+
97-2×
+
97-3×
+…+
97-14×
=15×97+×
-
=1402.5;
方法2:S=97+
97-1×
+
97-2×
+
97-3×
+…+
97-14×
==1402.5.
(2)學生由S=a+a+a+…+a+a得S=a+(a+d)+(a+2d)+…+[a+(n-2)d]+[a+(n-1)d]=na+[1+2+3+…+(n-1)]d=na+d.
設(shè)計意圖:通過計算S,學會應(yīng)用公式解決問題,發(fā)展學生的數(shù)學運算核心素養(yǎng);從另一個角度獲得“公式2”,體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學思想方法,發(fā)展學生的邏輯推理核心素養(yǎng);這則閱讀材料使學生意識到等差數(shù)列的求和方法——“倒序相加法”是歷史上數(shù)學家通過探索并傳承下來的.
7. 歸納小結(jié),內(nèi)化理解
通過本堂課的學習,你有什么收獲?
設(shè)計意圖:通過師生共同小結(jié),完善本節(jié)課的知識脈絡(luò),發(fā)揮學生的主體作用,有利于學生鞏固所學知識,培養(yǎng)學生歸納和概括的能力.
8. 布置作業(yè),拓展延伸
課后作業(yè):
(1)請完成表格(表2)填寫,并寫出計算過程.
(2)完成情境中的原問題:“良馬和駑馬幾何日相逢及各行幾何?”
(3)閱讀與思考:請同學們課后再一次閱讀教材中的材料——中國古代數(shù)學家求數(shù)列和的方法,并查閱相關(guān)資料.
①了解數(shù)學家劉徽、沈括、楊輝的數(shù)學成就;
②在文獻的查閱過程中,收集數(shù)學名著(例如《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》等)中的數(shù)列問題1—2個,并嘗試解答.
設(shè)計意圖:“作業(yè)(1)”是對教材課后練習題呈現(xiàn)形式的改編,采用表格形式是為了突出五個基本量“知三求二”的關(guān)系,通過公式的正用和逆用,著重強調(diào)公式的選擇,滲透方程思想,進一步發(fā)展學生的運算能力和邏輯推理素養(yǎng);“作業(yè)(2)”和“作業(yè)(3)”為學生提供了更大的思維發(fā)展空間,把課內(nèi)知識延伸到課外去:學生通過自主查閱資料,了解我國數(shù)學家的輝煌成就,感悟數(shù)學家的聰明才智;同時通過課后查閱文獻、收集數(shù)學名著中的數(shù)列問題并解答,在查閱中拓寬視野,在解答中提升思維.
[?]閱讀材料指向下高中數(shù)學教學的思考
閱讀材料編入教材的出發(fā)點有兩個:一是使教學內(nèi)容更具彈性,教師可根據(jù)學生的情況在教學中適當融入閱讀材料,有助于教師進行創(chuàng)造性教學;二是有助于學生理解教材正文,理清知識的來龍去脈. 因此,閱讀材料融入高中數(shù)學教學是有必要的.
1. 閱讀材料融入高中數(shù)學教學,發(fā)揮導學功能
數(shù)學教材中有很多揭示數(shù)學知識發(fā)展歷程的閱讀材料,并蘊含著豐富的數(shù)學思想方法,例如人教A版新教材必修第一冊“函數(shù)概念的發(fā)展歷程”敘述了函數(shù)概念產(chǎn)生和發(fā)展的背景以及“對數(shù)的發(fā)明”中蘊含著對數(shù)的思想方法等.教師在教學中應(yīng)注重這類閱讀材料與高中數(shù)學教學的融合,課前應(yīng)讓學生自主學習,充分發(fā)揮閱讀材料在課前的導學功能. 《新課標》指出:“高中數(shù)學教學提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式,激發(fā)學習數(shù)學的興趣,養(yǎng)成良好的學習習慣,促進學生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展. ”[2]例如本文創(chuàng)設(shè)情境時,學生通過獨自思考、自主學習、合作交流等多種方式學習教材中的閱讀材料,重溫數(shù)學家劉徽解決等差數(shù)列求和的歷史,結(jié)合楊輝求“圭垛”面積的方法,獲得等差數(shù)列求和的啟示,使得“倒序相加法”的學習更加自然,通過這樣的方式將閱讀材料融入數(shù)學教學可將閱讀材料的導學功能發(fā)揮出來.
2. 閱讀材料融入高中數(shù)學教學,發(fā)揮德育功能
教材中數(shù)學史類的閱讀材料可挖掘出豐富的數(shù)學德育元素,例如人教A版新教材必修第二冊“祖暅原理與柱體、椎體的體積”中除了對數(shù)學家祖暅及其原理的介紹外,還指出祖暅給出的原理要比其他國家的數(shù)學家早一千多年,這蘊含著愛國主義精神.教師可通過此類閱讀材料德育元素的挖掘,再加以教學長期浸潤來引導學生學習,激發(fā)學生的民族自尊心和凝聚力,努力使學生形成為國家和民族振興而努力學習的志向[6]. 又例如本研究的閱讀材料中介紹了數(shù)學家沈括的成就——隙積術(shù),以及數(shù)學家楊輝的成就——楊輝三角,將這則閱讀材料融入教學,讓學生感受我國數(shù)學家的輝煌成就以及他們的探索精神和創(chuàng)新意識. 長期將閱讀材料融入高中數(shù)學教學,提高數(shù)學課堂品質(zhì)的同時,閱讀材料指向下的高中數(shù)學教學也完全可以成為數(shù)學教育中落實“立德樹人”根本任務(wù)的一條途徑[7].
3.閱讀材料融入高中數(shù)學教學,發(fā)揮探究功能
人教A版新教材設(shè)有“探究與應(yīng)用”閱讀材料欄目,這類閱讀材料為師生開展探究性教學活動提供了素材,而探究性教學活動可以加深學生對知識的理解和體驗[8],《新課標》也將“數(shù)學建模和數(shù)學探究活動”作為高中數(shù)學課程內(nèi)容四條主線之一[2]. 例如人教A版新教材必修第一冊“探究與發(fā)現(xiàn)”中的閱讀材料——利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì),教學中教師就可以借助這則閱讀材料開展探究性活動,利用單位圓來研究三角函數(shù)的性質(zhì),從數(shù)學知識的系統(tǒng)性而言,這有利于學生從整體上把握三角函數(shù)的性質(zhì).又例如本研究借助數(shù)學家楊輝求“圭垛”格點總數(shù)的方法設(shè)置“問題串”,探究一般的等差數(shù)列前n項和公式,最后回到求“圭垛”格點總數(shù)問題,聯(lián)系梯形面積公式記憶等差數(shù)列前n項和的兩個公式. 無疑,將具有探究性的閱讀材料融入高中數(shù)學教學,學生的“四基”會得到進一步鞏固,“四能”也會獲得進一步提升[9].
總之,閱讀材料是數(shù)學教學中應(yīng)重視的良好素材,閱讀材料指向下的高中數(shù)學教學使得數(shù)學課堂更具品質(zhì). 教師應(yīng)積極將其融入教學,在構(gòu)建優(yōu)質(zhì)數(shù)學課堂的過程中充分發(fā)揮它的教育教學功能.
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