素養(yǎng)導(dǎo)向的初中“數(shù)學(xué)活動(dòng)”考試命題策略

鄧昌濱

【摘 要】 ?初中“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的考試命題應(yīng)有新思路、新改觀，應(yīng)關(guān)注“四基”“四能”，反映核心素養(yǎng)的要求.素養(yǎng)導(dǎo)向的初中“數(shù)學(xué)活動(dòng)”考試命題策略包括：明確目標(biāo)，體現(xiàn)素養(yǎng)，具有指向性;堅(jiān)持原創(chuàng)，兼顧改編，具有公平性;表述規(guī)范，結(jié)構(gòu)合理，具有科學(xué)性;精心選擇，形式靈活，具有時(shí)代性;置于情境，整合要素，具有育人性.

【關(guān)鍵詞】 ?素養(yǎng)導(dǎo)向;“數(shù)學(xué)活動(dòng)”;命題策略

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中，每章末都單獨(dú)設(shè)計(jì)了一個(gè)相對獨(dú)立的板塊“數(shù)學(xué)活動(dòng)”，為學(xué)生提供了“做”數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，但“數(shù)學(xué)活動(dòng)”在教材中的篇幅很少，教師備課費(fèi)時(shí)費(fèi)力，課堂教學(xué)節(jié)奏也難以把控，加之，不少教師認(rèn)為“數(shù)學(xué)活動(dòng)”一般不作為考試內(nèi)容，導(dǎo)致實(shí)際教學(xué)中，“數(shù)學(xué)活動(dòng)”很少真正開展.鑒于此，筆者以蘇科版教材中的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”為命題素材，闡述命題意圖和命題策略，關(guān)注試題中核心素養(yǎng)的相應(yīng)表現(xiàn)，充分發(fā)揮考試的引領(lǐng)功能，期待引起廣大教師對“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的重視，進(jìn)而提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

1 ?明確目標(biāo)，體現(xiàn)素養(yǎng)，具有指向性

以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的考試命題，應(yīng)有新思路、新改觀.試題相互獨(dú)立，具有明確的考試目標(biāo)和考查功能，能針對考查內(nèi)容的重難點(diǎn)和學(xué)生的薄弱點(diǎn)精準(zhǔn)施策.試題注重實(shí)踐，關(guān)注生活，體現(xiàn)新課程理念，力求把試題所要考查的能力水平與數(shù)學(xué)素養(yǎng)體現(xiàn)在試卷中，為教師教學(xué)和學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)提供正確的導(dǎo)向.

例1 ?在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明同學(xué)利用計(jì)算機(jī)軟件繪制函數(shù)y= ax （x+b）2 （a，b為常數(shù)）的圖象，如圖1.由學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，可以推斷常數(shù)a，b的值滿足（ ?）.

A. a>0，b>0 ???B. a>0，b<0 ?C. a<0，b>0 ???D. a<0，b<0

分析 ?此題的命題素材來源于數(shù)學(xué)活動(dòng)“反比例函數(shù)實(shí)例調(diào)查”中的拓展探究部分，主要考查學(xué)生對函數(shù)圖象的深度理解.解題關(guān)鍵是通過反比例函數(shù)圖象確定b的取值范圍.由圖象可知，當(dāng)x>0時(shí)，y<0，可知a<0;當(dāng)x=-b時(shí)，函數(shù)值不存在，則b>0.此題借助學(xué)生以往研究反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)時(shí)所形成的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，來研究一個(gè)全新的函數(shù)，解題中運(yùn)用的知識(shí)與方法未超越課標(biāo)要求，考查學(xué)生對基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的遷移能力及數(shù)形結(jié)合的幾何直觀素養(yǎng)，同時(shí)考查學(xué)生的代數(shù)推理能力與邏輯推理素養(yǎng).

數(shù)學(xué)活動(dòng)主要考查基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)素養(yǎng).基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)只有在真實(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)中才能形成，因此，用數(shù)學(xué)活動(dòng)中的生成性資源命制的試題具有明顯的指向性，能有效引領(lǐng)教師積極組織各種數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中動(dòng)手實(shí)踐，在活動(dòng)中探究問題，逐步積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).在活動(dòng)過程中，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)說理和主動(dòng)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式解決問題，這就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之抽象能力.

2 ?堅(jiān)持原創(chuàng)，兼顧改編，具有公平性

原創(chuàng)或改編試題可以讓教師講授的習(xí)題與考試題不“碰面”，避免考前猜題、押題，從而減輕學(xué)生的作業(yè)負(fù)擔(dān)，因此，考試命題要堅(jiān)持原創(chuàng).即使命題精力不足，不能題題創(chuàng)新，也要確保區(qū)分度較大的試題做到立意新穎，或者中檔題適度改編，從而準(zhǔn)確考查學(xué)生的知識(shí)水平、關(guān)鍵能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升試題的信度與效度，確?？荚嚬?

例2 ?矩形紙片ABCD中，AB長為6，M是AB的中點(diǎn)，N是BC邊上任意一點(diǎn).第一次折疊紙片，使點(diǎn)N與M重合，將紙片展開，記折痕為l，l與MN交于點(diǎn)O.如圖2，當(dāng)N在C處時(shí)，l恰好過點(diǎn)D.

（1）求證：∠MCB=30°;

（2）如圖3，第二次折疊紙片，折痕m過點(diǎn)N且垂直于BC，m與AD、l的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn).

①若BN=4，求EF長;

②如圖4，第三次折疊紙片，折痕n過M，D兩點(diǎn)，交m于點(diǎn)G.當(dāng)N的位置發(fā)生變化時(shí)，求F、G兩點(diǎn)距離的最大值.

分析 ?此題的命題素材來源于數(shù)學(xué)活動(dòng)“折紙與證明”，試題以“折紙”實(shí)踐操作為主，由易到難，綜合性強(qiáng).主要考查軸對稱、勾股定理、全等三角形、相似三角形、三角函數(shù)以及構(gòu)建二次函數(shù)模型求最值等相關(guān)知識(shí)，要求學(xué)生在操作實(shí)踐的基礎(chǔ)上進(jìn)行猜想、驗(yàn)證，考查學(xué)生的模型觀念與空間觀念素養(yǎng).第（1）問由第一次翻折得MD=CD=6，可得BC=AD= MD2-AM2 = 62-32 =3 3 ，求得 tan ∠MCB= MB BC = 3 3 3 ?= ?3 ?3 ，所以∠MCB=30°;第（2）①問，易得△BMN∽△ONF，可得FN= MN·ON BM = 25 6 ，所以EF=EN-FN=6- 25 6 = 11 6 ;第（2）②問，通過多次操作發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)G的值隨著點(diǎn)N的位置變化而變化，由此構(gòu)建函數(shù)模型，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.由題意得△DEG∽△DAM，有EG= AM·DE AD = 3×（3 3 -BN） 3 3 ?=3- ?3 ?3 BN，又FN= ON·MN MB = ?1 2 MN·MN MB = MN2 6 = 9+BN2 6 ，所以，F(xiàn)G=EN-EG-FN=6- 3- ?3 ?3 BN - 9+BN2 6 =- 1 6 BN2+ ?3 ?3 BN+ 3 2 ，所以當(dāng)BN= 3 時(shí)，G，F(xiàn)兩點(diǎn)距離的最大值為2.

折紙活動(dòng)是以動(dòng)手操作為載體的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在促進(jìn)學(xué)生多感官協(xié)調(diào)的同時(shí)，使學(xué)生產(chǎn)生好奇心和探究欲望，幫助學(xué)生找準(zhǔn)活動(dòng)與思維的契合點(diǎn)，助力學(xué)生厘清思路、推理論證.折紙過程中教師應(yīng)引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生大膽思考，勇于發(fā)表自己的觀點(diǎn)，讓學(xué)生擁有參與思考、討論交流的機(jī)會(huì).在反思折紙過程中不斷變換操作方式，讓學(xué)生獲得豐富的切身體驗(yàn)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和推理能力素養(yǎng).

3 ?表述規(guī)范，結(jié)構(gòu)合理，具有科學(xué)性

試題的科學(xué)性要求題干語言精準(zhǔn)，指令明確、易理解，無歧義，避免學(xué)生產(chǎn)生不必要的誤解.試題中的概念、術(shù)語、圖形、符號(hào)以及計(jì)量單位等都必須符合學(xué)科規(guī)范.試題結(jié)構(gòu)合理，覆蓋面廣，答案便于操作，既相互獨(dú)立，又有一定的關(guān)聯(lián)性與綜合性.

例3 ?在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1.

（1）如圖5，△ABC中，AB= ，BC= ，AC= ;△ABC的面積為 .

（2）在圖6中，試畫出△DEF，使它的三邊長度分別為DE= 13 、EF=2 5 、DF= 17 .并嘗試用兩種方法求此三角形的面積.

分析 ?此題創(chuàng)意來源于數(shù)學(xué)活動(dòng)“畫畫算算”，主要考查勾股定理、二次根式的化簡、三角形的面積計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí).試題 由易到難，層層遞進(jìn)，結(jié)構(gòu)合理，并采用多點(diǎn)賦分，第1問每空1分，第2問畫三角形賦分2分，兩種方法求面積分別賦分2分.這樣使得試題有梯度，難度層次分明，賦分標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)合理.解題關(guān)鍵是給予學(xué)生充分的空間以便進(jìn)行多方面思考，從形到數(shù)探索網(wǎng)格中對角線的長度規(guī)律，從感性逐步上升到理性.對長度分別為 13 ，2 5 ， 17 的三角形，分析研究怎樣將數(shù)變成形，提高學(xué)生的思維分析能力，進(jìn)一步感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，梳理知識(shí)間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和創(chuàng)新意識(shí).

試題命制要遵循課標(biāo)要求，嚴(yán)格依標(biāo)命題，范圍不超課標(biāo)，深度不超要求.試題表述需要字斟句酌，反復(fù)打磨，確保規(guī)范、準(zhǔn)確.同時(shí)，細(xì)化評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)置分層賦分點(diǎn)以反映學(xué)生答題水平的層次，避免一招不慎，滿盤皆輸，使得試題既有信度，又體現(xiàn)人文關(guān)懷.

4 ?精心選擇，形式靈活，具有時(shí)代性

試題的素材決定了試題的品質(zhì)，需要命題者具有很強(qiáng)的材料意識(shí)，既要為學(xué)生所熟悉，還要具有時(shí)代感，如與防疫、黨的二十大主題相關(guān)的材料，可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心生活，聚焦社會(huì)熱點(diǎn)，體現(xiàn)時(shí)代特征.同時(shí)，題目的設(shè)問方式將影響學(xué)生思考的深度與廣度，過于封閉的問題不利于素養(yǎng)的考查[1]，因此，試題的呈現(xiàn)方式和設(shè)問方式要靈活多樣，跟上時(shí)代步伐.

例4 ?新冠病毒的核酸檢測方式主要分單采和混采兩種.

單采：將一個(gè)受試者的采集拭子放到一個(gè)試管中作為樣本檢測.

混采：將10個(gè)受試者的采集拭子放到一個(gè)試管中作為樣本檢測，檢測結(jié)果為陰性時(shí)，參加混檢的10個(gè)受試者都是安全的;檢測結(jié)果為陽性時(shí)，會(huì)立即對該混采試管的10個(gè)受試者重新進(jìn)行單采復(fù)檢，進(jìn)而確定誰是陽性.

單采與混采的人均檢測費(fèi)用比為7 ∶ 2，混采40人次比單采16人次的費(fèi)用還少128元.求單采與混采的人均檢測費(fèi)用分別為多少元？

（2）某小區(qū)對300名居民用混采的方式進(jìn)行核酸檢測，發(fā)現(xiàn)有陽性病例，立即組織單采復(fù)檢，初檢和復(fù)檢總費(fèi)用不足2960元，求參加復(fù)檢的人數(shù).

分析 ?此題素材選自數(shù)學(xué)活動(dòng)“一元一次不等式的調(diào)查”中的實(shí)踐作業(yè)，主要考查學(xué)生在問題情境中構(gòu)建方程、不等式的模型意識(shí)與應(yīng)用意識(shí).命題者提供的答案為：（1）設(shè)混采單價(jià)為2x元/次，單采單價(jià)為7x元/次，可得方程7x·16-2x·40=128，分別求得混采、單采的單價(jià)分別為8元/次、28元/次;（2）設(shè)y人參加復(fù)檢，可得不等式8×300+28y<2960，解得y<20，又y是10的正整數(shù)倍，有y=10，所以10人參加復(fù)檢.解題中，學(xué)生通過閱讀試題，知曉兩種新冠病毒的核酸檢測方式及其優(yōu)缺點(diǎn)，了解政府采取的防控疫情措施，從而自覺產(chǎn)生防控意識(shí). ????圖7

例5 ?如圖7，已知∠BAC=∠DAE，再從①AB=AC;②AD=AE;③BD=CE;④∠ADB=∠E四個(gè)條件中，選出兩個(gè)條件，利用全等三角形的判定定理，可使△ABD≌△ACE，你能想出幾種方法，羅列出來，并挑選其中一種方法寫出你的證明過程.

分析 ?此題改編素材來源于數(shù)學(xué)活動(dòng)“關(guān)于三角形全等的條件”，主要是考查全等三角形的判定定理的靈活運(yùn)用程度.本題為結(jié)構(gòu)不良問題，解答時(shí)，需要學(xué)生羅列出從四個(gè)條件中選出兩個(gè)條件的6種情形，結(jié) 合已有條件∠BAC=∠DAE，根據(jù)全等三角形判定，得到4種方法：①②、①④、③④、②④，并對其中一種進(jìn)行證明.通過分類、觀察、操作、猜想和驗(yàn)證探索三角形全等條件的過程，培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力和創(chuàng)新意識(shí)，以及解決問題的恒心與定力.

結(jié)構(gòu)不良試題可以實(shí)現(xiàn)對信息的重構(gòu)與表征能力的測評(píng)，通過觀測學(xué)生在新題型下，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)方法解決新問題的表現(xiàn)，綜合評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)素養(yǎng)在問題解決中的作用.因此，素養(yǎng)導(dǎo)向的考試命題，需要精心選擇素材，設(shè)計(jì)多樣化的問題呈現(xiàn)方式，從而命制出具有時(shí)代特征的試題，進(jìn)而進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的興趣. ?5 ?置于情境，整合要素，具有育人性

試題的編制需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)真實(shí)的問題情境，注重情境素材的育人功能.在具體情境中要求學(xué)生從中提取相關(guān)信息和證據(jù)，整合多種要素，呈現(xiàn)解決問題的過程和邏輯層次，在解題過程中考查學(xué)生的知識(shí)和能力水平以及與之相伴隨的價(jià)值觀，彰顯育人價(jià)值.

例6 ?世界上第一次給出的勾股數(shù)公式收集在我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，書中提到：當(dāng)a= 1 2 （m2-n2），b=mn，c= 1 2 （m2+n2）（m，n為正整數(shù) ），當(dāng)m>n時(shí)，a，b，c構(gòu)成一組勾股數(shù).利用上述結(jié)論，解決如下問題：已知某直角三角形的邊長滿足上述勾股數(shù)，其中一邊長為37，且n=5，求該直角三角形另兩邊的長.

分析 ?此題改編素材來源于數(shù)學(xué)活動(dòng)“探尋‘勾股數(shù)”，主要考查等腰三角形、直角三角、勾股定理與勾股數(shù)等相關(guān)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)觀念與運(yùn)算能力.解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件熟練進(jìn)行分類討論.當(dāng)a=37時(shí)，利用 1 2 （m2-52）=37計(jì)算出m，然后分別計(jì)算出b和c;當(dāng)b=37時(shí)，利用5m=37，解得m= 37 5 ，不合題意舍去;當(dāng)c=37時(shí)，利用37= 1 2 （m2+n2）求出m=±7，從而得到當(dāng)n=5時(shí)，一邊長為37的直角三角形另兩邊的長.

試題的育人功能不僅體現(xiàn)在有限的考試時(shí)間內(nèi)，更重要的是把育人活動(dòng)體現(xiàn)在講評(píng)試題的全過程.講評(píng)活動(dòng)中介紹我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，幫助學(xué)生了解和領(lǐng)悟中華民族獨(dú)特的數(shù)學(xué)智慧，增強(qiáng)文化自信和民族自豪感.讓學(xué)生盡可能多地寫出一些熟悉的勾股數(shù)，觀察、體驗(yàn)和探索勾股數(shù)的規(guī)律，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，在活動(dòng)中激發(fā)數(shù)學(xué)思維，逐步形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和正確價(jià)值觀.

綜上，以“數(shù)學(xué)活動(dòng)”中的素材命制的試題，以結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)主題為載體，著重考查學(xué)生在形成與發(fā)展“四基”的過程中所形成的抽象能力、推理能力、運(yùn)算能力、幾何直觀和空間觀念.學(xué)生在“用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學(xué)的思維與數(shù)學(xué)的語言分析和解決問題”的過程中所形成的模型觀念、數(shù)據(jù)觀念、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)[2].學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中親身經(jīng)歷知識(shí)獲取的過程，從而揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，更好地感受知識(shí)的價(jià)值，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的意識(shí)，進(jìn)而獲得積極的情感體驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).因此，初中“數(shù)學(xué)活動(dòng)”考試命題必須堅(jiān)持素養(yǎng)立意，關(guān)注通性通法與數(shù)學(xué)本質(zhì)，綜合考查“四基”“四能”，最終指向?qū)W生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

參考文獻(xiàn)

[1] 尹博遠(yuǎn)，王磊.基于學(xué)科觀念和真實(shí)問題解決素養(yǎng)導(dǎo)向的命題策略[J].中國考試，2021（01）：70-74.

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