動點產(chǎn)生的全等三角形存在性問題

楊振剛

【摘要】 動態(tài)幾何題，是指以幾何知識和幾何圖形為背景，滲透運動變化觀點的一類試題;而通過對幾何圖形運動變化，使同學(xué)們經(jīng)歷由觀察、想象、推理等發(fā)現(xiàn)、探索的過程，是中考數(shù)學(xué)試題中考查創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力的重要題型.解決動態(tài)問題，要用分類思想把這個過程分為幾個階段，在每一個階段抓住某一靜止的瞬間進行分析，進而解決問題.

【關(guān)鍵詞】 動態(tài)幾何題;運動變化;分類思想;靜止

動點型問題常常集幾何、代數(shù)知識于一體，數(shù)形結(jié)合，有較強的綜合性.下面通過動點全等三角形的存在性來加以說明，供同學(xué)們參考.

例1 如圖1，已知線段AB=20米，MA⊥AB于點A，MA=6米，射線BD⊥AB于B，P點從B點向A運動，每秒走1米，Q點從B點向D運動，每秒走3米，P，Q同時從B出發(fā)，則出發(fā)x秒后，在線段MA上有一點C，使△CAP與△PBQ全等，則x的值為（）

（A） 5. （B）5或10.

（C） 10.（D）6或10.

解 由題意，BP=x，

AP=20-x，BQ=3x，

∠A=∠B=90°，

當(dāng)△CAP≌△PBQ時，AP=BQ，則

20-x=3x，解得x=5.

當(dāng)△CAP≌△QBP時，AP=BP，則

20-x=x，解得x=10，

當(dāng)x=10時，AC=BQ=30米，但MA=5米，

故x=10不符合題意，舍去，

故答案為（A）.

例2 如圖2，已知長方形ABCD的邊長AB=20cm，BC=16cm，點E在邊AB上，AE=6cm，如果點P從點B出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點C向運動，同時，點Q在線段CD上從點C到點D運動.則當(dāng)時間t為（）s時，能夠使△BPE與△CQP全等.

（A） 1.（B）1或4.

（C）1或2.（D） 3.

解 因為AB=20，

AE=6，BC=16，

所以BE=14，BP=2t，

PC=16-2t，

當(dāng)△BPE≌△CQP時，有BE=PC，

則14=16-2t，解得t=1.

當(dāng)△BPE≌△CPQ時，有BP=PC，

則2t=16-2t，解得t=4.

故答案為（B）.

例3 如圖3，四邊形ABCD中，AB=10厘米，BC=8厘米，CD=12厘米，∠B=∠C，點E為AB的中點.如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CD上由C點向D點運動.當(dāng)點Q的運動速度為厘米/秒時，能夠使△BPE與△CQP全等.

解 設(shè)點P運動的時間為t秒，

則BP=3t，CP=8-3t，

因為點E為AB的中點，AB=10厘米，

所以AE=BE=5厘米，

因為∠B=∠C，

所以∠B和∠C為對應(yīng)角.

①當(dāng)△BPE≌△CQP時，

BE=CP=5，BP=CQ，

則5=8-3t，解得t=1，

所以BP=CQ=3，

此時，點Q的運動速度為3÷1=3厘米/秒.

②當(dāng)△BPE≌△CPQ時，

BE=CQ=5，BP=CP，

則3t=8-3t，解得t=43，

所以點Q的運動速度為5÷43=154厘米/秒.

故答案為3或154.

例4 如圖4，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，直線l經(jīng)過點C且與邊AB相交.動點P從點A出發(fā)沿A→C→B路徑向終點B運動;動點Q從點B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點A運動.點P和點Q的速度分別為2cm/s和3cm/s，兩點同時出發(fā)并開始計時，當(dāng)點P到達終點B時計時結(jié)束.在某時刻分別過點P和點Q作PE⊥l于點E，QF⊥l于點F，設(shè)運動時間為t秒，則當(dāng)t=秒時，△PEC與△QFC全等.

解 由題意得AP=2t，BQ=3t，

AC=6cm，BC=8cm.

①如圖5，點P在AC上，點Q在BC上，當(dāng)△PEC≌△CFQ時，則PC=CQ，

即6-2t=8-3t，

解得t=2.

②如圖6，當(dāng)點Q與P重合時，△PEC≌△QFC全等，

則PC=CQ，

所以6-2t=3t-8，解得t=145，

③如圖7，當(dāng)點P在BC上，點Q在AC上，只有當(dāng)點Q與A重合時，△PEC≌△CFQ，

則PC=CQ，

即2t-6=6，解得t=6，

綜上所述：當(dāng)t=2秒或145秒或6秒時，△PEC與△QFC全等，

故答案為2或145或6.

上述幾例通過三角形全等列方程來解決動點問題，解題時要把握在某一時刻三角形可以全等，抓住了全等，得到線段長相等，然后列方程.