研究型教學(xué)指導(dǎo)下的橢圓幾何性質(zhì)教學(xué)

[摘? 要] 課堂教學(xué)如何以生為本，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)變成研究，是許多教師面臨的難題. 對此，高中數(shù)學(xué)研究型教學(xué)提供了很好的理論與操作指導(dǎo). 借鑒“五環(huán)十步”研究型教學(xué)模式和ADE模型對“橢圓的簡單幾何性質(zhì)”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，并進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，將教學(xué)變成指導(dǎo)學(xué)生的研究，讓學(xué)生思維能力和核心素養(yǎng)的發(fā)展落到實(shí)處.

[關(guān)鍵詞] 研究型教學(xué);ADE模型;“五環(huán)十步”教學(xué)模式;橢圓的幾何性質(zhì)

教學(xué)是藝術(shù)，因此需要“因地制宜”、靈活變通;教學(xué)是科學(xué)、是技術(shù)，因此教學(xué)設(shè)計(jì)需要依據(jù)一定的原理與方法展開. 依據(jù)李昌官老師的理論精華“高中數(shù)學(xué)研究型教學(xué)”，通過自學(xué)、研討、師傅指導(dǎo)、教學(xué)實(shí)踐等活動，筆者深刻體會到理論的高度與對教學(xué)的指導(dǎo)意義，對學(xué)生來說也能親身經(jīng)歷與體會知識發(fā)現(xiàn)與建構(gòu)的過程. 筆者使用“五環(huán)十步”研究型教學(xué)模式對原來的“橢圓的簡單幾何性質(zhì)”教學(xué)進(jìn)行了再設(shè)計(jì)，受新理論的啟發(fā)，特意從橢圓的方程入手，從數(shù)的角度引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比函數(shù)的代數(shù)方法進(jìn)行探究，開啟橢圓幾何性質(zhì)的建構(gòu)之旅.

分析準(zhǔn)備階段

1. 知識分析

（1）知識的背景與“固著點(diǎn)”.

學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓的定義后，通過建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系得到了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 按照邏輯發(fā)展的必然性，解析幾何有其自身的學(xué)科性質(zhì)，主要是借助于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來定量刻畫和研究橢圓的幾何性質(zhì). 利用函數(shù)思想方法、直線和圓的位置關(guān)系等，為研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)提供了知識與經(jīng)驗(yàn)上的“固著點(diǎn)”.

（2）知識生長的過程與階段分析.

本節(jié)知識生長的基本過程是在大致明晰研究問題、研究方法的基礎(chǔ)上，探究橢圓的簡單幾何性質(zhì)，最后運(yùn)用這些性質(zhì)解決相關(guān)問題.

（3）知識建構(gòu)的策略與方法分析.

對橢圓簡單幾何性質(zhì)的探究是第一次系統(tǒng)地從方程出發(fā)探究曲線自身的性質(zhì)，主要的建構(gòu)策略和方法有三個：一是類比，類比利用函數(shù)解析式探究函數(shù)性質(zhì)的方法;二是突出“以數(shù)解形”的坐標(biāo)法思想，從方程出發(fā)探究曲線的性質(zhì)，讓學(xué)生切實(shí)體驗(yàn)借助于代數(shù)方法解決幾何問題的過程;三是從特殊到一般，對一般性的探究，可以先特殊化、簡單化，進(jìn)而猜想或推廣到一般情形，并給予證明.

（4）知識之間的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)分析.

無論是直線與方程、圓與方程，還是圓錐曲線與方程，坐標(biāo)法思想一以貫之. 建立直線、圓的方程時并未強(qiáng)調(diào)如何“建系”，而學(xué)習(xí)圓錐曲線時要求建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，主要是為了讓圓錐曲線的方程簡單化，進(jìn)而讓后續(xù)相應(yīng)的研究簡單化. 橢圓、雙曲線、拋物線三部分，在“提出問題”“探究概念”“建立方程”“利用方程研究曲線的性質(zhì)”等方面的基本做法都是相似的. 本節(jié)課中，通過特殊化可以聯(lián)系圓的有關(guān)性質(zhì)，通過類比可以聯(lián)系函數(shù)的圖像與性質(zhì)，通過推廣可以聯(lián)系一般方程的研究方法.

（5）知識的要點(diǎn)與本質(zhì)分析.

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，本節(jié)課需要突顯橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征、代數(shù)特征，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的本質(zhì)特征包含有界性、對稱性等，離心率的本質(zhì)是刻畫橢圓形狀的代數(shù)量.

（6）知識的教學(xué)價值.

由曲線方程研究曲線的幾何性質(zhì)是解析幾何教學(xué)的主要問題，因此筆者希望通過重新設(shè)計(jì)“橢圓的簡單幾何性質(zhì)”教學(xué)，讓學(xué)生能夠較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)如何用代數(shù)方法研究曲線的性質(zhì)，對學(xué)生來說既要清楚需要研究什么方面的性質(zhì)，又要明晰利用什么方法進(jìn)行研究. 以數(shù)助形，對學(xué)生后面根據(jù)方程來研究曲線幾何性質(zhì)具有“標(biāo)桿”作用.

從思維的角度來看，本節(jié)課宜“從特殊中見一般”，適時提煉出各種觀點(diǎn)，如函數(shù)與方程、不等式、數(shù)與形等思想方法，需要努力培養(yǎng)學(xué)生觀察與分析、抽象與概括、推理與證明、用數(shù)助形等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度與思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2. 學(xué)生認(rèn)知分析

（1）學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)分析.

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的方程，并借助于它們研究了直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，也學(xué)習(xí)了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，知道坐標(biāo)法以及以橢圓的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 學(xué)生初步具備利用代數(shù)方法研究直線與圓的問題的能力，同時也有利用函數(shù)解析式研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn).

（2）學(xué)生認(rèn)知障礙分析.

通過方程來研究曲線的幾何性質(zhì)對學(xué)生來說可能不熟悉其基本方法，研究曲線時對研究什么也不甚了解，難以形成清晰的研究框架.

（3）克服障礙的措施分析.

教師應(yīng)發(fā)揮自身的主導(dǎo)作用，類比利用函數(shù)解析式探究函數(shù)性質(zhì)的方法，幫助學(xué)生明確曲線的幾何性質(zhì)一般包括哪些，直到學(xué)生能夠基本提煉出曲線的形狀、大小、對稱性、位置等性質(zhì)，而且能夠利用曲線方程對上述性質(zhì)進(jìn)行研究. 讓學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)結(jié)論，一方面，能夠滿足學(xué)生好奇探索的心理需求和情感體驗(yàn);另一方面，能使數(shù)學(xué)結(jié)論的出現(xiàn)變得自然，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，自然而然地完成知識的正遷移和內(nèi)化過程.

教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)設(shè)計(jì)思路

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是掌握橢圓的四個幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率），掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾個基本量（a，b，c，e）的幾何意義，還有他們之間的相互關(guān)系，系統(tǒng)學(xué)習(xí)用代數(shù)方法研究曲線的幾何性質(zhì).

本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的思路是問題引導(dǎo)，利用計(jì)算機(jī)、幾何畫板、希沃投屏等輔助教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生主動探究，讓學(xué)生多次體驗(yàn)由“數(shù)”到“形”的探究過程，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神，也為之后研究雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)等奠定基礎(chǔ).

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 呈現(xiàn)背景，提出問題

教師引導(dǎo)：可以類比利用函數(shù)解析式研究函數(shù)性質(zhì)（如定義域、值域、關(guān)鍵點(diǎn)、奇偶性、圖像形狀等）的方法，引導(dǎo)學(xué)生借助于曲線方程研究曲線的幾何性質(zhì)（范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點(diǎn)等）.

設(shè)計(jì)說明：讓學(xué)生能整體把握研究方法、研究內(nèi)容.

2. 聯(lián)想激活，尋求方法

問題2：如何利用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)？

學(xué)生可以從以下幾方面進(jìn)行類比：（1）類比函數(shù)的定義域和值域研究橢圓的范圍，是研究橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中變量x，y的取值范圍的一般方法;（2）類比函數(shù)圖像的奇偶性、對稱性研究橢圓的對稱性，是研究橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程對稱性的一般方法;（3）類比函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)、特殊線研究橢圓的頂點(diǎn)，是研究x=0或y=0時橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的解的一般方法;（4）類比函數(shù)圖像的形狀，引導(dǎo)學(xué)生探究橢圓的圓扁程度，并引出離心率.

問題3：如何通過直線與圓的方程研究直線與圓的幾何性質(zhì)？

設(shè)計(jì)說明：通過對直線方程與圓方程的探究可以知道直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，感受數(shù)形結(jié)合的魅力，但橢圓的圖形相對更復(fù)雜，如何突破橢圓圖形“難入微”的局限呢？教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過對方程的邏輯推理得到結(jié)論.

3. 提出猜想，驗(yàn)證猜想

問題4：從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)猜想變量的范圍，并證明.

問題5：繼續(xù)觀察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，猜想橢圓曲線的對稱性，并驗(yàn)證.

引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)：把x換成-x，或把y換成 -y，或把（x，y）換成（-x，-y）時，方程的解都是不變的，說明橢圓曲線關(guān)于y軸、x軸或原點(diǎn)對稱.

設(shè)計(jì)說明：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)曲線對稱一般可以轉(zhuǎn)化為曲線上任意一點(diǎn)對稱，也引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)上述三種對稱中的任意兩種可得第三種對稱.

通過方程學(xué)生可以知道曲線的固有性質(zhì)（對稱軸、對稱中心）.

問題6：如何利用方程求橢圓與對稱軸的交點(diǎn)？

設(shè)計(jì)說明：在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中，令a2-c2=b2不僅能使方程簡單整齊，也有特定的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)特征三角形OB1F2，如圖2所示.

問題7：用什么量可以刻畫橢圓的扁平程度呢？怎樣的兩個橢圓才是相似的？

（3）離心率的歷史意義，學(xué)生課后可以查閱相關(guān)資料：太陽（以太陽中心為焦點(diǎn)）到（行星）軌道中心的距離和長半軸長的比可以用來表示軌道的形狀.

可以借助于幾何畫板等軟件體會離心率對形狀的影響，要求學(xué)生理解.

4. 運(yùn)用新知，鞏固內(nèi)化

問題9：研究方程16x2+25y2=400，給出該橢圓的幾何性質(zhì)，并作圖.

設(shè)計(jì)說明：本題比較簡單，為鞏固新知，讓學(xué)生上臺板演或提出問題，分享交流，也可以合作學(xué)習(xí)，列表畫草圖;作圖時可以利用橢圓的對稱性，只畫第一象限（或其他象限）的圖像，讓學(xué)生再次感受有限到無限的轉(zhuǎn)化. 掌握畫橢圓草圖的基本步驟和注意事項(xiàng)（范圍、頂點(diǎn)、光滑、對稱性等），體現(xiàn)通過方程研究幾何性質(zhì)的成果，讓學(xué)生體會到只有研究了幾何性質(zhì)才能更好地解決問題.

5. 回顧反思，拓展問題

問題10：橢圓幾何性質(zhì)的探究過程中蘊(yùn)含著哪些數(shù)學(xué)思想方法？

問題11：如何通過方程研究對應(yīng)曲線的幾何性質(zhì)？

設(shè)計(jì)說明：橢圓幾何性質(zhì)的探究過程中蘊(yùn)含了函數(shù)與方程、不等式、數(shù)與形等基本數(shù)學(xué)思想方法，典型而豐富，對后面根據(jù)方程研究雙曲線、拋物線乃至一般曲線的幾何性質(zhì)具有“標(biāo)桿”作用;方程中含有豐富的信息，蘊(yùn)含著內(nèi)在規(guī)律，要學(xué)會研究，通過方程就可以知道相應(yīng)曲線的幾何性質(zhì)，容易抓住解析幾何的本質(zhì)特征，同時引導(dǎo)學(xué)生回顧研究的過程，學(xué)會研究的“套路”.

作者簡介：鄔仁勇（1981—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級教師，李昌官名師工作室第三期學(xué)科帶頭人，曾獲臺州市優(yōu)秀教師、臺州市教壇新秀、臺州市教學(xué)大比武一等獎等榮譽(yù).