潘竹樹　李平香

【摘 要】中學生數(shù)學關鍵能力的培養(yǎng)研究是社會關切的熱點之一，中學階段數(shù)學關鍵能力培養(yǎng)的扎實開展，可以為學生終身核心素養(yǎng)的形成奠定堅實的基礎.通過追根溯源，借助基本圖形，回到公理去的教學，可以培養(yǎng)學生邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學建模能力和創(chuàng)新能力這五大學科能力.

【關鍵詞】追根溯源;基本圖形;關鍵能力

關鍵能力是指進入高等學校的學習者在面對與學科相關的生活實踐或學習探索問題情境時，有效地認識問題、分析問題、解決問題所必須具備的能力.它是支撐終身發(fā)展和適應時代要求的能力，是發(fā)展學科素養(yǎng)、培育核心價值所必須具備的能力基礎[1].基本圖形是由公理拓展延伸出的結構簡單的圖形，是公理的另一種呈現(xiàn)形式.基本圖形具有較強的生長性，可以為學習后續(xù)的學習起原理解釋、參考借鑒和輔助思考的作用.沿著“基本圖形”的邏輯鏈條不斷地“往回找根子”“回到公理去”，這個過程充滿著直觀想象、邏輯推理和創(chuàng)造性[2].

漢斯·弗賴登塔爾說過：“如果將數(shù)學解釋為一種活動的話，那就是必須通過數(shù)學化來教數(shù)學、學數(shù)學，通過公理化來教與學公理系統(tǒng)，通過形式化來教與學形式體系.”[3]數(shù)學化即建立數(shù)學模型解決問題，建立模型的經(jīng)驗可分為直接經(jīng)驗和間接經(jīng)驗.直接經(jīng)驗的獲得比較容易，靠數(shù)學活動和日常生活經(jīng)驗取得;間接經(jīng)驗的獲得比較困難，靠學生原有的知識、借助資料或他人幫助獲得.教師利用基本圖形，引導學生剖析、還原問題背后隱藏的數(shù)學原理，能幫助學生領悟數(shù)學基本思想、積累基本活動經(jīng)驗，提升數(shù)學關鍵能力.1 基本圖形與公理體系的有機聯(lián)系

什么是基本圖形？現(xiàn)行中學平面幾何課本中的概念，公理和定理所對應的圖形都可稱為基本圖形[4].數(shù)學是研究數(shù)量關系與空間形式的學科，研究空間形式離不開基本圖形，基本圖形是數(shù)學學科獨具特色的元素，基本圖形之所以稱“基本”，是因為它具備較強生長性，起基礎、支撐的作用，價值重大.公理是歐氏幾何體系的“起點”，是數(shù)學邏輯推理的基石，“回到公理去”的教學，能避免學生只知其然，不知其所以然，不知其何以所以然[5].

點是最基本的圖形，當“一個點”生長成“兩個點”時，就會自然而然產(chǎn)生“兩點之間的最短距離是多少”等疑問，本文以“兩點之間，線段最短”公理為基礎，根據(jù)“兩定點不同的位置關系”延伸出如下兩個基本圖形.

基本圖形1 如圖1，當兩點位于直線a的異側時，在直線a上求一點P，使得AP+BP最小.連結AB交直線a于點P，當點P與點P′重合時，A、P、B三點共線，根據(jù)“兩點之間，線段最短”，線段AP+BP=AB，此時AP+BP最小.

基本圖形2 如圖2，當兩定點A、B位于直線a的同側時，在直線a上求一點P，使得AP+BP最小.作點B關于直線a的對稱點B′，轉化為如上基本模型1，此時點P為所求作的點.

兩定點在直線同側和異側，延伸出的這兩個形式簡潔、結構簡單的“基本圖形”，為學生學習“兩點間距離最短”提供思想、方法和路徑的支撐，我們定義其為“基本圖形”.2 基本圖形的初級、高級及綜合應用

數(shù)學教學應在水平數(shù)學化的基礎上，進行垂直數(shù)學化.水平數(shù)學化是指確定問題情境中的數(shù)學成分，從數(shù)與形兩方面進行刻畫、描述和抽象，進而給出形式化的表述.垂直數(shù)學化是指在水平數(shù)學化的基礎上，按照數(shù)學知識發(fā)展的內(nèi)在邏輯，對數(shù)學材料進行組織、整理和拓展，形成某種數(shù)學知識體系[6].基本圖形是從公理引申出來的基本結構，是學生研究幾何圖形的基礎構件，是水平數(shù)學化的體現(xiàn);基本圖形的應用，是垂直數(shù)學化的綜合體現(xiàn).

2.1 基本圖形的初級應用

教學過程中，必須考慮學生已有的知識和經(jīng)驗，認知發(fā)展水平.學生前、后學習的點狀知識，如果能夠融匯貫通起來，就是認知結構組織、再組織的過程.具備公理化教學條件的問題，教師要引導學生展開聯(lián)想，把抽取出的圖形，與“基本圖形”進行對比分析，發(fā)現(xiàn)異同點，從根本上尋找到解決問題的方法與路徑，從而提高學生的邏輯推理能力、直觀想象能力和數(shù)學建模能力.

基本圖形1中，一條直線異側有兩定點，當該直線上存在“一條定長的線段”時，又會產(chǎn)生什么情況呢？

如圖3，點A，B位于水平方向的直線a兩側，與直線a的距離分別等于1和3，點A，B的水平距離（東西方向）等于5，點C、D在直線a上，CD=2，求AC+CD+BD的最小值.提出問題 因為CD為定值，所以把問題轉化為求AC+BD的最小值.

分析問題 如圖4，把點A向右平移2個單位至點A′，連結A′B交直線a于點D，把問題轉化為基本圖形1.

解決問題 如圖5，因為AA′平行且等于CD，所以四邊形AA′DC為平行四邊形.過點B作BE⊥AA′交AA′的延長線于點E，在Rt△A′BE中，∠E=90°，A′E=3，BE=4，根據(jù)勾股定理，A′B=32+42=5，則AC+CD+BD的最小值等于7.圖3圖4圖5

基本圖形1中，一條直線異側有兩定點，當“一條直線”平移成“兩條直線”，又會產(chǎn)生什么情況呢？

如圖6，兩水平放置的直線a，b間的距離為1，點A與直線a的距離等于1，點B與直線b的距離等于2，點A與點B的水平距離（東西方向）等于5，點C，D分別在直線a，b上，且CD⊥直線b，求AC+CD+BD的最小值.

提出問題 因為CD為定值，所以把問題轉化為求AC+BD的最小值.

分析問題 如圖7，過點B作BE⊥直線b于點E，點B沿BE方向平移1個單位至點B′.連結AB′交直線a于點C，過點C作CD⊥b于點D，連結DB，則AC+CD+BD的值最小.

解決問題 把問題轉化為基本圖形1.圖6圖7

基本活動經(jīng)驗就是讓學生學會如何思考問題，由此培養(yǎng)他們的思維，更進一步則是要培養(yǎng)他們的直觀[7].沒有對基本圖形的深刻理解、對數(shù)學公理的追根溯源，就沒有辦法形成直觀感知，尋找到解決此類問題的一般路徑、思想與方法.數(shù)學基本思想與基本活動經(jīng)驗的有機結合，是培養(yǎng)學生數(shù)學關鍵能力的重要手段.

2.2 基本圖形的高級應用

離公理更遠、表征更模糊的問題，則需要學生更高的數(shù)學理解力.數(shù)學理解力指學生運用已有的知識、經(jīng)驗去認識未知事物的屬性、聯(lián)系，直至揭示其本質及規(guī)律的一種能力，它是學生解決問題的核心能力[8].學生通過對問題抽絲剝繭，對尋找“來時的路”的探索，將極大提高揭示基本圖形本質及其規(guī)律，培養(yǎng)運算求解能力和創(chuàng)新能力.

基本圖形2中，一條直線同側有兩定點，當該直線上存在“一條定長的線段”時，又會產(chǎn)生什么情況呢？

如圖8，兩定點A，B位于水平方向的直線a同側，點A，B與直線a的距離分別等于1和2，點C，D在直線a上，線段CD=1，求四邊形ABDC周長的最小值.

提出問題 因為AB，CD為定值，所以把問題轉化為求AC+BD的最小值.

分析問題 如圖9，作點B關于直線a的對稱點B′，把點A向右平移1個單位至點A′，連結A′B′交直線a于點D，線段CD位置如圖，則AC+BD=A′D+B′D=A′B′最短.

解決問題 把問題轉化為基本圖形2.

一個定點（或兩個定點）在直線外，當直線在某處產(chǎn)生彎折，基本圖形演變成“一個定點與兩條相交的直線”時，又會產(chǎn)生什么情況呢？

如圖10，定點P在∠AOB內(nèi)部，分別在邊OA，OB上確定點C，D的位置，使得△PCD的周長最小.

如圖11，兩定點P，Q在△AOB內(nèi)部，分別在邊OA，OB上確定點C，D的位置，使四邊形PDCQ的周長最小.

解決問題

如圖10，分別作點P關于邊OA，OB的對稱點P′，P″，把PC+CD+PD轉化為線段P′P″的長度解決問題.

如圖11，分別作點P，Q關于邊OB，OA的對稱點P′，Q′，把QC+CD+PD轉化為線段P′Q′的長解決問題.

以上兩種變式其本質相同，追溯回到“兩點之間，線段最短”解決問題.

達到融會貫通的知識能做到舉一反三、聞一知十，遷移能力很強，可以在新情境中靈活、自動地與其它知識一起發(fā)揮作用[9].在尋找“來時的路”的過程中，學生經(jīng)歷數(shù)學解決問題的全過程，提高運算求解能力和空間想象能力，實現(xiàn)融會貫通的同時，達成學生數(shù)學關鍵能力的再次提升.

2.3 基本圖形的綜合應用

遷移原理表明，抓住本質能促進遷移的正效應;反之，思維定勢則會產(chǎn)生遷移的負效應.實踐表明，高認知水平的變式訓練是避免思維定勢的有效手段，借助基本圖形解決復雜問題，能降低學生解決問題的難度，培養(yǎng)學生的遷移與應用能力，促進學生高層次思維的發(fā)展.

如圖12，菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=2，把△ABD沿射線BD方向平移到△EFG，連結EC，F(xiàn)C.求EC+FC的最小值.

引導學生發(fā)現(xiàn)問題、反思問題，質疑與批判是學生創(chuàng)新的基礎.

提出問題 如圖12，點C為定點，點E，F(xiàn)為動點，沒有現(xiàn)成的經(jīng)驗怎么辦？

分析問題 把“一定兩動”，轉化為“兩定一動”.連結ED，因為四邊形EDCF為平行四邊形，所以DE=CF.把EC+FC的最小值轉化為CE+DE的最小值.

提出問題 點C，D為定點，點E為動點，可以轉化為什么基本圖形？

分析問題 轉化為基本圖形2.

提出問題 基本圖形2有定直線，本圖沒有出現(xiàn)定直線，怎么化無為有？

分析問題 如圖13，點E的運動軌跡是過點A，與射線BD平行的直線l.

提出問題 問題化歸為直線l同側有兩定點C，D，根據(jù)基本圖形2，怎么確定點E？

解決問題 作點D關于直線l的對稱點D′，連結D′C交直線l于點E，則EC+FC的最小值等于線段D′C的長度，△CDD′是頂角∠CDD′=120°、腰長CD=2的等腰三角形，計算略.

此題最大的亮點有兩點：第一，化“一定兩動”為基本圖形2中的“兩定一動”;第二，把基本圖形2中的“不存在的直線”根據(jù)軌跡“化無為有”.

數(shù)學抽象本質上就是探索表面上不同問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，找出共同的數(shù)量關系和空間形式，得到能夠解決問題的共性的方法和思想[10]從而培養(yǎng)學生解決復雜問題的關鍵能力.3 基本圖形應用研究的方法與路徑

基本圖形具有較高價值，在實際應用中，學生要排除復雜的圖形中的干擾因素，去偽存真認清基本圖形，作法可遵循如下一般路徑展開（圖14）.

遵循如上一般路徑，學生經(jīng)歷基本圖形應用的全過程，在解決問題的過程中，能逆向溯源，回到公理去，找到解題的依據(jù)，這是一個深度學習的全過程.學生了解知識的“發(fā)生—發(fā)展—應用”過程，通過“回到公理去—基本圖形—綜合圖形”，知識體系從無到有、從模糊到清晰、從簡單到復雜，體驗與感悟知識體系的建構過程，從而構建學生數(shù)學關鍵能力培養(yǎng)的一般路徑.

杜威曾說過，知識如果不能內(nèi)化到學生已有的經(jīng)驗中去，這種知識本質上就沒有什么意義.抽象出的基本圖形，是幫助學生更容易應用“兩點之間，線段最短”這一公理，通過變式讓學生體驗到“形變神不變”這一本質，通過變式訓練提升數(shù)學基本活動經(jīng)驗，從“終點”溯源而上，找到“起點”，在由始至終的過程中提升思維品質，再由始至終把知識內(nèi)化到學生的已有經(jīng)驗中去.關鍵能力的建構過程，起關鍵作用的還是基本圖形內(nèi)、外表征理論，推進基本圖形的教學和與之協(xié)同的思維訓練，使關鍵能力落地生根.4 結束語

回歸基本圖形的教學，就是培養(yǎng)學生的結構化思維，幫助學生在面對全新數(shù)學情境時，能從紛繁復雜的已有知識中，調取出與全新問題有關的基本圖形，運用基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗，找到問題解決的思想、方法和路徑.

“研究對象在變，‘研究套路’不變，思想方法不變”，這樣的研究思路、方法體現(xiàn)了基本思想、基本活動經(jīng)驗的力量[2].追根溯源能提高學生的境界，合理延伸能拓展學生的邊界，拓展應用能打開學生的眼界.探求回歸基本圖形的教學，讓學生用數(shù)學的眼光提出問題、用數(shù)學的思維分析問題、用數(shù)學的語言解決問題，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學關鍵能力.

參考文獻

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[9]章建躍，王嶸.中國數(shù)學教科書使用變式素材的途徑和方法[J].數(shù)學通報，2015（11）：3.

[10]王尚志，胡鳳娟.數(shù)學教育的育人價值[J].人民教育，2018（13-14）：40-44.

作者簡介 潘竹樹（1976—），男，福建泉州人，中學高級教師，福建省中學數(shù)學學科帶頭人;主要從事初中數(shù)學教學研究;發(fā)表論文10余篇.

李平香（1975—），女，福建三明人，中學高級教師，福建省中學數(shù)學學科帶頭人;主要從事高中數(shù)學教學研究;發(fā)表論文30多篇.

基金項目 福建省泉州市教育科學“十四五”規(guī)劃課題“初中生數(shù)學關鍵能力培養(yǎng)的實踐研究”（課題編號：QG1451-106）;教育部福建師范大學基礎教育課程研究中心開放課題“初中生數(shù)學關鍵能力培養(yǎng)路徑研究”（課題編號：KCA2022145）.