淺析高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的解題技巧

趙祺

摘要：在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，三角函數(shù)不僅是重要的知識點，也是高考的熱點.由于三角函數(shù)內(nèi)容抽象，題型較多，學(xué)生在解題過程中存在一定難度.因此，教師在教學(xué)過程中要不斷地去挖掘解題技巧，不斷地優(yōu)化解題方法，引導(dǎo)學(xué)生從多個層次、多個角度有效解決三角函數(shù)問題，不斷提高解題效率與準確率。

本文首先從理論和實踐兩個方面論述了研究三角函數(shù)解題技巧的意義;然后重點介紹了三角函數(shù)的理論知識，三角函數(shù)的解題技巧，并針對學(xué)生對三角函數(shù)的學(xué)習(xí)提出建議，以幫助學(xué)生學(xué)好三角函數(shù)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);三角函數(shù);解題技巧

1 引言

三角函數(shù)是數(shù)學(xué)這一學(xué)科中不可缺少的內(nèi)容之一，它不僅是研究現(xiàn)實生活中各種數(shù)學(xué)現(xiàn)象的重要模型，也是高中生重點學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在高考中從來沒有缺席過.正是因為三角函數(shù)在高中的數(shù)學(xué)體系中發(fā)揮著如此關(guān)鍵的作用，它才成為學(xué)生以后進一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).作為一種特殊的函數(shù)，三角函數(shù)描述了事物的周期變化，它將代數(shù)和幾何聯(lián)系起來，是數(shù)形結(jié)合的重要通道.現(xiàn)實生活中，三角函數(shù)在導(dǎo)航、工程學(xué)、物理學(xué)等方面都有廣泛的應(yīng)用。

1.1理論意義

學(xué)生對三角函數(shù)知識掌握的熟練程度影響著高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)質(zhì)量，甚至對以后進一步的學(xué)習(xí)生活也影響深遠.所以，學(xué)生要總結(jié)適合自己的學(xué)習(xí)方法，教師在教學(xué)過程中要注重把學(xué)習(xí)方法傳授給學(xué)生，而不是一味的將簡簡單單的知識點教給學(xué)生.對此，本論文通過對三角函數(shù)高頻知識點的總結(jié)和常見題型的分析，研究三角函數(shù)不同題型的解題技巧，旨在幫助學(xué)生牢固掌握三角函數(shù)知識，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。

學(xué)生在初中時期的學(xué)習(xí)方法并不適合高中數(shù)學(xué)，剛進入高中時，由于學(xué)習(xí)方法還沒有更新，且高中數(shù)學(xué)知識難度大、運算過程繁瑣，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)時感到力不從心，學(xué)習(xí)過程中不知從何處下手.另外，高中數(shù)學(xué)對學(xué)生抽象思維能力的要求更高，學(xué)生需要一定的時間去適應(yīng)，這也增加了教師對高中數(shù)學(xué)部分知識的教學(xué)難度。

因此，研究高中三角函數(shù)解題策略的重要性就顯而易見了，三角函數(shù)作為高考的熱點，需要不斷地去挖掘解題技巧，優(yōu)化解題方法，提高解題的效率與準確率.學(xué)生能從中找到合適的學(xué)習(xí)策略，為以后的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下夯實的基礎(chǔ)，教師也能從中獲取有效的教學(xué)方法。

1.2實踐意義

三角函數(shù)發(fā)展至今大約經(jīng)歷了三﹑四千年，有著廣泛的實際背景和應(yīng)用空間.古代由于天文學(xué)的需要，為了計算某些天體的運行問題，人們通常把求解球面三角形的問題轉(zhuǎn)化為求解平面三角形的問題.雖然古代球面三角學(xué)的發(fā)展時間比古代平面三角學(xué)長很多，但古代平面三角學(xué)卻是古代球面三角學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ).三角函數(shù)不僅是物理學(xué)中常用的工具.在其他方面，如：地理學(xué)方面潮汐的變化;物理學(xué)方面的各種振動波，生理學(xué)方面人的情緒、智力、體力等;在測量山高、樹高，確定航海行程問題，確定光照及房屋建造合理性等方面也有重要的應(yīng)用價值。

本課題的研究體現(xiàn)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實際意義，能夠幫助學(xué)生通過逐步理解基礎(chǔ)知識，在學(xué)習(xí)、解題過程中認識到三角函數(shù)的實際應(yīng)用性，激發(fā)學(xué)生對三角函數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.基于此，本文結(jié)合自身學(xué)習(xí)經(jīng)驗，以研究三角函數(shù)的解題技巧為出發(fā)點對高中數(shù)學(xué)展開深入討論，通過對高考試題的分析，結(jié)合同類型題目的解題方法，開闊解題視野，創(chuàng)新解題思路，總結(jié)解題技巧，引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，并服務(wù)于生活的道理。

2 三角函數(shù)的概念及性質(zhì)

2.1 三角函數(shù)的概念

2.1.1 任意角的概念

平面內(nèi)一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB形成角α，射線OA叫做角的始邊，OB終邊，射線的端點O叫做α的頂點。

總結(jié)

本題是三角函數(shù)的求值問題.考查的主要知識點是兩角和差的正弦函數(shù)公式，同時結(jié)合了完全平方公式應(yīng)用，考查二倍角的正弦、余弦公式，要求學(xué)生要熟練掌握三角函數(shù)公式，這是解答此類題型的基礎(chǔ)。

4 結(jié)論及建議

三角函數(shù)的定義及性質(zhì)有多種表達形式，在高考中，依托于定義和性質(zhì)的不同三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，以及三角函數(shù)數(shù)學(xué)模型的求解等方面的內(nèi)容總是輪番上陣，題型變化萬千，如對三角函數(shù)基本性質(zhì)的考查、利用有關(guān)公式對三角函數(shù)式進行化簡求值，還有與其他數(shù)學(xué)知識結(jié)合的綜合問題等.正因為三角函數(shù)題型變化復(fù)雜，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時，容易出現(xiàn)各種各樣的問題。

1、穩(wěn)固基礎(chǔ)知識

高中三角函包括基本概念23個，基本公式24個，這些內(nèi)容均需要學(xué)生進行準確的理解記憶.因此，教師要為學(xué)生提供合適的記憶方法，引導(dǎo)學(xué)生通過自己的思考，腳踏實地，推導(dǎo)新的知識，逐漸建立數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)模型.同時，學(xué)生利用這種方法來學(xué)習(xí)更容易掌握三角函數(shù)的本質(zhì)，對公式的記憶會更加牢固.例如教師在講解周期的概念時，可以先利用能使學(xué)生真正感受周期變化現(xiàn)象的實例，然后將這一例子過渡到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，促使學(xué)生去思考并聯(lián)想在三角函數(shù)中是否有周期性變化的例子，那么學(xué)生就會聯(lián)想到正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖像.接著教師應(yīng)該從特例出發(fā)，利用多媒體來展現(xiàn)函數(shù)y=sinα的圖像，引導(dǎo)學(xué)生從圖形的角度來觀察，思考這樣的變化規(guī)律是怎樣在圖形上體現(xiàn)的。此時，教師可以為學(xué)生搭建支架：從“周”的意義上進行理解，從而反映到函數(shù)量的變化，并引導(dǎo)學(xué)生進一步從公式的角度進行理解;最后推廣到一般形式，模仿偶函數(shù)來定義周期函數(shù)。

2、緊抓三角函數(shù)解題規(guī)律

三角函數(shù)題通常都有一定規(guī)律性，掌握解題規(guī)律有助于更準確、快速的求解出問題的答案.由于現(xiàn)在的習(xí)題集中相似的題目會頻繁出現(xiàn)，但可喜的一點是，同一類型的題目具有較為統(tǒng)一的解題思路，所以在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的時候應(yīng)該先學(xué)習(xí)解題思路、解題規(guī)律，然后再學(xué)習(xí)解題方法. 直接把固定的知識點傳授給學(xué)生，不如把推導(dǎo)知識的方法教給學(xué)生，只有掌握有效的學(xué)習(xí)策略，才能真正做到學(xué)以致用，把學(xué)到的知識融會貫通.因此，教師在三角函數(shù)的教學(xué)過程中，要把探究解答三角函數(shù)問題的方法策略作為主要傳授內(nèi)容.例如在解題的時候先仔細觀察題目，從題目中找出解題需要使用的函數(shù)類型;在對函數(shù)的周期問題、最值問題的求解中，用三角函數(shù)解析式來表述基本公式就是解題的基本思路，然后通過求解三角函數(shù)就可以求出問題的答案.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)期間，要學(xué)會的解題方法有排除法、特殊值法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法、消參法等.在應(yīng)用的時候要結(jié)合具體的題型，如消參法可以用來轉(zhuǎn)化函數(shù)的不同參數(shù)，從而簡化計算步驟。

3、構(gòu)建三角函數(shù)知識網(wǎng)

高中的學(xué)生經(jīng)過了小學(xué)和初中的學(xué)習(xí)生活，已經(jīng)逐漸形成了自己的學(xué)習(xí)方法，掌握了一些推理策略，但是還不知道怎樣建立一套完整的知識體系，這時就需要教師發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，在適當?shù)臅r候及時準確的引導(dǎo)學(xué)生對平時積累的解題策略進行歸納，將知識完整化、條理化和網(wǎng)絡(luò)化，形成完整的知識體系，幫助學(xué)生有效地理解基礎(chǔ)知識，發(fā)展數(shù)學(xué)能力.如果學(xué)生片段化學(xué)習(xí)得到的知識都是孤立存在的，那么所造成的后果就不僅是知識的遺忘，還會使思維水平停留在較低層次上.所以教師要鼓勵學(xué)生將學(xué)過的內(nèi)容進行整合，構(gòu)建整體的知識網(wǎng)絡(luò);同時，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.新課改要求，教師在教學(xué)時應(yīng)充分調(diào)動學(xué)生的主動性，注重學(xué)生的主體地位;教師要注重思想的轉(zhuǎn)變，過程教學(xué)是要以學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者的身份積極調(diào)動學(xué)生多思考，變教師主動教學(xué)生為學(xué)生主動問老師，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，使學(xué)生能夠有意識把理論與實踐聯(lián)系起來，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，打造優(yōu)質(zhì)的高效課堂。

4、重視數(shù)學(xué)思想的滲透

三角函數(shù)的學(xué)習(xí)實際上是對學(xué)生數(shù)學(xué)思維廣度的磨礪，在三角函數(shù)的解題技巧中包含了數(shù)學(xué)的幾大核心思想，有分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、模型思想、函數(shù)與方程思想等.幫助學(xué)生在更高層次上對數(shù)學(xué)知識進行抽象概括，實際上是將數(shù)學(xué)思想傳授給學(xué)生，而且，采用數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識融合教學(xué)的方式對學(xué)生來說更容易接受.在學(xué)過函數(shù)的概念之后，教師應(yīng)及時結(jié)合所學(xué)過函數(shù)的一些性質(zhì)對三角函數(shù)進行應(yīng)用，只有把數(shù)學(xué)思想滲透到三角函數(shù)的應(yīng)用當中，才能真正做到核心素養(yǎng)的落地生根。

參考文獻：

[1]王博.高中學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題能力的培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（01）.