不同路徑，促進(jìn)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法

夏小燕

［摘 要］數(shù)學(xué)是一種文化，也是思維的結(jié)晶。在數(shù)學(xué)課堂中，教師有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想方法顯得尤為重要。教師需要根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，通過不同路徑，引導(dǎo)學(xué)生在親身體驗(yàn)、反思爭(zhēng)辯、思維訓(xùn)練等活動(dòng)中逐漸感悟數(shù)學(xué)思想方法，不斷助推學(xué)生深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)思想方法；小學(xué)數(shù)學(xué)；路徑；感悟

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2022）24-0038-03

引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。因此，教師要深入鉆研數(shù)學(xué)教材、課程標(biāo)準(zhǔn)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)中感悟數(shù)學(xué)思想方法。同時(shí)，數(shù)學(xué)教師要充分發(fā)揮自身的教學(xué)智慧，用數(shù)學(xué)思想方法統(tǒng)領(lǐng)課堂教學(xué)，讓學(xué)生在潛移默化中接受數(shù)學(xué)思想方法的熏陶，不斷提升感悟數(shù)學(xué)思想方法的能力，為終身學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

一、指導(dǎo)親歷體驗(yàn)，感知數(shù)學(xué)思想方法

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。”任何理論知識(shí)都需要在實(shí)踐中感悟，在應(yīng)用中驗(yàn)證。同樣，要促進(jìn)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法，教師就要善于利用適合的教學(xué)資源，在全面了解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備等情況下，靈活設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，讓數(shù)學(xué)顯性知識(shí)的學(xué)習(xí)與隱性思想方法的滲透之間彼此交融。這樣有助于學(xué)生在知識(shí)探究中更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，最終成為他們的一種素養(yǎng)、潛能。

教學(xué)案例：長方形和正方形的認(rèn)識(shí)

師：請(qǐng)看大屏幕，仔細(xì)觀察，看看你會(huì)有什么不一樣的發(fā)現(xiàn)。

（大屏幕呈現(xiàn)：數(shù)學(xué)書、方桌、黑板、地磚、長方形的廣場(chǎng)……）

生1：我發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)書的封面、方桌的桌面、黑板面、廣場(chǎng)的地面都是長方形的。

生2：那塊地磚的面是正方形的。

師：真了不起，你們都知道什么樣的形狀是正方形、長方形了。那么，請(qǐng)大家回想一下生活中見到過的類似的圖形，并把它們說出來。

生3：《格林童話》這本書的封面是長方形的。

生4：我們的練習(xí)紙是長方形的。

生5：我的手帕是正方形的。

……

師：同學(xué)們舉的例子還真不少。那么，你們想不想深入地了解長方形呢？（想）請(qǐng)同學(xué)們先用自己的方式創(chuàng)造出一個(gè)長方形來。

（學(xué)生動(dòng)手操作）

生6：我是用線在釘子板上圍出了一個(gè)長方形。

生7：我用鉛筆擺出了一個(gè)長方形。

生8：我用折紙的方法，也得到了一個(gè)長方形。

……

師：大家想出的方法真多！那我們?cè)僖黄鹩眯“魜頂[出一個(gè)長方形，然后說出自己的體會(huì)。

（學(xué)生動(dòng)手操作，用學(xué)具小棒擺出長方形）

生9：我用4根小棒擺出了一個(gè)長方形，其中2根長點(diǎn)，2根短點(diǎn)。

生10：我發(fā)現(xiàn)長方形的4個(gè)角都是直角。

生11：我還發(fā)現(xiàn)，2根長的小棒一樣長，2根短的小棒也一樣長。

師：你們的發(fā)現(xiàn)是正確的。在數(shù)學(xué)上，我們把長的小棒叫作長方形的長，短的小棒叫作長方形的寬。下面，我們?cè)儆眠@樣的話去說一說。

生12：長方形有2條長，長度是一樣的；有2條寬，長度也是一樣的。

師：下面，我們來畫一畫長方形、正方形。

……

學(xué)生知識(shí)的獲取不是依賴教師傳授，而是取決于親身體驗(yàn)的深度。上述教學(xué)案例，教師先從引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察入手，讓學(xué)生在長方形、正方形的視覺沖擊中，形成豐富的感性認(rèn)識(shí)。緊接著，教師組織學(xué)生開展創(chuàng)造圖形的活動(dòng)，旨在通過動(dòng)手操作來深化學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，為學(xué)生提煉長方形的概念打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，更為學(xué)生的思維訓(xùn)練提供試煉場(chǎng)。

我們欣慰地看到，學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)了長方形邊的特征、角的特征，還通過科學(xué)的比較，實(shí)現(xiàn)了思維上的有效突破。在看、找、做等一系列的活動(dòng)中，學(xué)生從真實(shí)的物，到半抽象的做，再到畫抽象的長方形、正方形，經(jīng)歷了由具體到抽象的認(rèn)識(shí)過程，感悟到了數(shù)學(xué)建模思想，促進(jìn)了直觀思維與抽象思維之間的溝通，實(shí)現(xiàn)了對(duì)知識(shí)意義的主動(dòng)建構(gòu)。

二、引導(dǎo)猜想反思，感悟數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法不是空中樓閣，高不可攀，也不是直觀顯性的，而是蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之中，高于具體知識(shí)和理性認(rèn)識(shí)的。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法，不是喊口號(hào)、做樣子就能奏效的，而是要把數(shù)學(xué)思想方法融入學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中，使學(xué)生在進(jìn)行抽象、概括和歸納等思維活動(dòng)后逐步感悟獲得，最后成為他們終身學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

教學(xué)案例：正比例的意義

師：聯(lián)合超市中有一種練習(xí)本，它的數(shù)量和總價(jià)的關(guān)系如下表。觀察表格，你們能解決表中的問號(hào)嗎？試試看。

（學(xué)生審視表格，找尋規(guī)律，自主計(jì)算出結(jié)果）

師：通過觀察、計(jì)算與思考，你有什么想與同學(xué)們分享的嗎？

生1：這是同一種練習(xí)本，它的單價(jià)是6元/本。

生2：對(duì)的。由于是同一種練習(xí)本，單價(jià)是6元/本，那么問號(hào)的研究就非常簡(jiǎn)單了。如7后面的問號(hào)，可以寫成8、9、10，甚至是100、1000、10000……數(shù)字雖然大，但計(jì)算卻是非常簡(jiǎn)單的。

生3：我們發(fā)現(xiàn)，隨著練習(xí)本數(shù)量的增多，總價(jià)越來越高。

生4：對(duì)的。同樣，反過來，購買練習(xí)本的數(shù)量越少，總價(jià)也就越少。

師：?jiǎn)蝺r(jià)不變，你能設(shè)計(jì)一個(gè)比的算式來表示這個(gè)規(guī)律嗎？

生5：6︰1=12︰2=18︰3=24︰4……

生6：還可以寫成分?jǐn)?shù)比，即6/1=12/2=18/3=24/4=30/5=36/6……

生7：這有點(diǎn)兒?jiǎn)?。我認(rèn)為，用“總價(jià)︰數(shù)量=單價(jià)”這個(gè)關(guān)系式來表示最簡(jiǎn)單。

生8：還要在單價(jià)后面注明“不變”，這樣就更符合題意了。

生9：這樣還是麻煩。用字母表示數(shù)的方法來寫算式會(huì)更簡(jiǎn)潔，即x/y=k（不變）。

……

變量思想、函數(shù)思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法。為此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師要善于根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，相機(jī)滲透函數(shù)思想。同時(shí)，教師要緊扣函數(shù)思想的核心要素去設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，通過大量的例子，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、探究和反思中感悟函數(shù)思想的變化與內(nèi)涵，體會(huì)變與不變的規(guī)律。

上述教學(xué)案例，教師以學(xué)生熟悉的練習(xí)本為素材，引導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算逐步領(lǐng)悟變與不變的規(guī)律，并在分享交流中實(shí)現(xiàn)由具體的物到文字、表格、符號(hào)和圖像的轉(zhuǎn)變，進(jìn)一步幫助學(xué)生感悟了函數(shù)思想。這樣既為學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知提供了助力，又為他們數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

三、開展思維訓(xùn)練，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要練習(xí)鞏固。同樣，學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法也需要在訓(xùn)練中領(lǐng)悟，在應(yīng)用中深化。因此，教師要精心設(shè)計(jì)一系列的思維訓(xùn)練，通過多角度、多層次的問題，幫助學(xué)生更快、更好地感悟數(shù)學(xué)思想方法。

教學(xué)案例：兩位數(shù)乘一位數(shù)

師：經(jīng)過剛才的練習(xí)，老師發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對(duì)乘法的計(jì)算非常熟練了。想不想挑戰(zhàn)一下自己？請(qǐng)繼續(xù)看大屏幕：從1～9的數(shù)字中任意選出3個(gè)數(shù)字，寫出一個(gè)兩位數(shù)乘一位數(shù)的算式，并比較每次乘積的大小，看看能否發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。

（學(xué)生自主選擇數(shù)字進(jìn)行嘗試，并在小組中交流，說出自己的感悟）

生1：我選擇3、6、9這三個(gè)數(shù)字，可以組成96×3、69×3、36×9、63×9、39×6、93×6等算式，乘積最大的是63×9=567，最小的是69×3=207。

生2：我選擇1、4、7這三個(gè)數(shù)字，也能夠組成6個(gè)算式，發(fā)現(xiàn)乘積最大的是41×7=287，最小的是47×1=47。

生3：我選擇7、8、9這三個(gè)數(shù)字，也能夠組成6個(gè)算式，發(fā)現(xiàn)乘積最大的是87×9=783，最小的是89×7=623。

……

師：經(jīng)過自己的計(jì)算和同學(xué)的分享，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生4：乘積最大時(shí)，一位數(shù)必定是最大的那個(gè)數(shù)字，剩下的2個(gè)數(shù)字組成最大的兩位數(shù)就行了。

生5：乘積最小時(shí)，一位數(shù)必定是最小的那個(gè)數(shù)字，剩下的2個(gè)數(shù)字組成最小的兩位數(shù)就行了。

師：這些同學(xué)的總結(jié)，你們聽明白了嗎？想一想，再選擇一組數(shù)字來驗(yàn)證一下。

（學(xué)生根據(jù)總結(jié)出的規(guī)律，再次進(jìn)行探究）

生6：規(guī)律總結(jié)是正確的。我又選了3、5、8這三個(gè)數(shù)字，發(fā)現(xiàn)乘積最大的算式是53×8，乘積最小的是58×3，驗(yàn)算后完全正確。

……

把探索規(guī)律建立在扎實(shí)的計(jì)算之中，既能起到溫故知新的作用，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，又可以激發(fā)學(xué)生的挑戰(zhàn)欲望，讓探究活動(dòng)充滿激情，閃爍著智慧的光芒。上述教學(xué)案例，教師通過問題引領(lǐng)，一方面放開手，讓學(xué)生按照自己的意愿去嘗試，從計(jì)算中發(fā)現(xiàn)規(guī)律；另一方面，組織學(xué)生分享展示，引導(dǎo)學(xué)生在思維碰撞中逐步感悟“組塊計(jì)算”的奧秘。課尾，教師引導(dǎo)學(xué)生梳理探究過程，提煉規(guī)律并驗(yàn)證猜想、內(nèi)化規(guī)律。

真實(shí)的探究活動(dòng)，既能豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維獲得發(fā)展。同時(shí)，開展有效的建?；顒?dòng)，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的感悟，并逐步沉淀為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

四、搭建實(shí)踐平臺(tái)，內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法

在數(shù)學(xué)教學(xué)中有機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想方法，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑，也是培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力、幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要抓手。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，搭建適合的探究和展示平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生用感悟到的數(shù)學(xué)思想方法去分析問題、解決問題，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

教學(xué)案例：解決問題的策略

師：看著屏幕上的畫面，結(jié)合題目中的信息，你有什么思考？

生1：這是一幅鉛筆的擺放圖，像一個(gè)倒過來的梯形，題目也要求我們聯(lián)系梯形的面積計(jì)算公式來思考與解決問題。這道題還真有點(diǎn)兒意思！

生2：可以用不同的思路來計(jì)算，看看其中是否存在什么規(guī)律。一種思路是先數(shù)出每一層鉛筆的支數(shù)，再計(jì)算出來，即15+14+13+12+11+10+9+8+7+6=105（支）；另一種思路是用梯形的面積計(jì)算公式來求解，這里梯形的上底是15，下底是6，高就是層數(shù)10，列式計(jì)算為（15+6）×10÷2=105（支）。它們的計(jì)算結(jié)果是一樣的，說明梯形的面積計(jì)算公式也是可以用來計(jì)算連加算式的和的。

生3：照你這么說，那從1一直加到50，該如何計(jì)算呢？

生4：這也可以用梯形的面積計(jì)算公式來求解。把1看成梯形的上底，把50看成梯形的下底，一共是50個(gè)數(shù)，就相當(dāng)于50層高，所以列式計(jì)算為（1+50）×50÷2=1275。

生5：哦！明白了，就是和前面的學(xué)習(xí)內(nèi)容一樣，即把這一列數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)梯形，再用梯形的面積計(jì)算公式來算出這些數(shù)的總和。那么，如果變成2+4+6+8+10+…+100，又該如何思考呢？

生6：這也可以用梯形的面積計(jì)算公式來求解。即梯形的上底是2，下底是100，高也是100，所以列式為（2+100）×100÷2，計(jì)算出結(jié)果是5100。

生7：不對(duì)吧？2到100之間的偶數(shù)有100個(gè)嗎？不是還有奇數(shù)存在嗎？

生8：是啊！應(yīng)該有一半的奇數(shù)，所以這里的高應(yīng)該是50。

生9：看來，這個(gè)轉(zhuǎn)化也是需要認(rèn)真思考的，不能簡(jiǎn)單的一想了事，還需要多琢磨。

生10：不過，轉(zhuǎn)化方法應(yīng)用得好，還是能輕松地求解這類計(jì)算題的。

……

在問題分析中滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，能給學(xué)生以思維沖擊、經(jīng)驗(yàn)沖擊，對(duì)學(xué)生感悟與內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法是非常有效的。上述教學(xué)案例，教師以教材中的一道習(xí)題為例，引導(dǎo)學(xué)生在探究中運(yùn)用梯形的面積計(jì)算公式去思考與分析問題，并在問題的轉(zhuǎn)化中找到規(guī)律，從而形成有效的學(xué)習(xí)認(rèn)知，積累寶貴的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

同時(shí)，教師適時(shí)地把問題進(jìn)行延伸和拓展，促進(jìn)學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)思想方法的感悟，讓他們?cè)跀?shù)學(xué)思想方法的習(xí)得方面有了長足的進(jìn)步。

綜上所述，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中感悟數(shù)學(xué)思想方法，這不是一蹴而就的事情，而是一個(gè)長期的、復(fù)雜的、潛移默化的過程。因此，教師要善于利用各種有效的數(shù)學(xué)教學(xué)資源，通過不同的路徑，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、思考、分析、比較、推理、歸納等活動(dòng)中逐漸感悟數(shù)學(xué)思想方法，逐步建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上得到更好的發(fā)展。