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      正方形中的“十字架”形

      2022-11-17 07:24:47劉家良
      數(shù)理天地(初中版) 2022年21期
      關(guān)鍵詞:基本圖形十字架遷移

      劉家良

      【摘要】 將一個(gè)基本圖形的特征及性質(zhì)進(jìn)行遷移,結(jié)合正方形的邊、角性質(zhì),得到正方形中“十字架”形的性質(zhì)及變式圖形(一線三直角)的性質(zhì).由基本圖形到“十字架”形再到“一線三直角”形的系列過程,啟發(fā)教者要特別關(guān)注基本圖形的特征及性質(zhì)的教學(xué),并要學(xué)會(huì)在復(fù)雜圖形中提煉基本圖形的本領(lǐng).

      【關(guān)鍵詞】 基本圖形;遷移;正方形;“十字架”;變式

      將一個(gè)基本圖形的特征及性質(zhì)進(jìn)行遷移,結(jié)合正方形的邊、角性質(zhì),可得到正方形中“十字架”形的性質(zhì).

      基本圖形:如圖1,若∠ABD=∠EDC=90°,AB=ED,BD=DC,則AD=EC,AD⊥EC.

      簡證:易證△ABD≌△EDC(SAS),

      于是AD=EC,

      ∠ADB=∠C.

      又∠ADB+∠CDG=90°,

      所以∠C+∠CDG=90°,

      所以∠CGD=90°,

      所以AD⊥EC.

      將圖1及其蘊(yùn)含結(jié)論遷移到正方形中,結(jié)合正方形的邊、角性質(zhì),可得正方形中“十字架”形的性質(zhì):

      如圖2,已知E,F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊AB與BC上的一點(diǎn),且AE=BF(或BE=CF),AE與DF相交于點(diǎn)P,則AF=DE,AF⊥DE.

      推論:如圖2,在①AE=BF(或BE=CF),②AF=DE,③AF⊥DE三個(gè)條件中,若已知一個(gè)條件,可得另外的兩個(gè)條件,簡稱“知一求二”.

      應(yīng)用正方形中的“十字架”形的結(jié)論,可解決與正方形相關(guān)的問題.

      1 由垂直到邊等

      例1

      如圖3,正方形紙片ABCD的邊長為12,點(diǎn)F是AD上一點(diǎn),將△CDF沿CF折疊,點(diǎn)D落在點(diǎn)G處,連接DG并延長交AB于點(diǎn)E.若AE=5,則GE的長為.

      分析 設(shè)CF與DE交于點(diǎn)O.點(diǎn)D,G關(guān)于CF對(duì)稱,由軸對(duì)稱性質(zhì)可知CF垂直平分GD,即DO=GO,CF⊥DE,由此想到正方形中的“十字架”形,可得CF=DE,AE=DF.

      解 如圖4,設(shè)CF與DE交于點(diǎn)O.

      因?yàn)辄c(diǎn)D,G關(guān)于CF對(duì)稱,

      所以GO=DO,CF⊥DE,

      即∠FOD=90°,

      所以∠CFD+∠ADE=90°.

      因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,

      所以AD=CD=12,

      ∠A=∠ADC=90°,

      所以∠CFD+∠FCD=90°,

      所以∠ADE=∠DCF,

      所以△ADE≌△DCF,

      所以DE=CF,AE=DF=5.

      在Rt△DAE中,由勾股定理得

      DE=AD2+AE2=144+25=13,

      所以CF=13.

      由S△CDF=12CF·OD=12CD·DF,得

      OD=CD·DFCF=6013,

      所以DG=2OD=12013,

      所以EG=DE-DG=13-12013=4913.

      注 由軸對(duì)稱性質(zhì)得到CF⊥DE,這意味著兩直角三角形的斜邊垂直,由垂直這一條件聯(lián)想到正方形的“十字架”形.

      2 由一直角邊相等到斜邊相等與垂直

      例2 圖4

      如圖4,在邊長為22的正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接EC,F(xiàn)D,點(diǎn)G,H分別是EC,F(xiàn)D的中點(diǎn),連接GH,則GH的長度為.

      分析 求GH的長,一般是將其放置在直角三角形中由勾股定理求得.如圖5,若能意識(shí)到DF⊥CE,那么問題的求解之路就會(huì)“一馬平川”,但這需要學(xué)生熟知正方形中的“十字架”形及其結(jié)論.

      解 如圖6,設(shè)CE,DF交于點(diǎn)S.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,

      所以∠A=∠B=∠BCD=90°,

      AB=BC=CD=22.

      因?yàn)辄c(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊AB,BC的中點(diǎn),

      所以AE=BE=BF=CF=2,

      所以△BCE≌△CDF(SAS),

      所以CE=DF,

      ∠BCE=∠CDF.

      因?yàn)椤螪CF=90°,

      所以∠CDF+∠CFD=90°,

      所以∠BCE+∠CFD=90°,

      所以∠CSF=∠HSG=90°.

      在Rt△BCE中,由勾股定理得

      CE=BE2+BC2=(2)2+(22)2=10,

      所以DF=CE=10.

      因?yàn)辄c(diǎn)G,H分別是EC,F(xiàn)D的中點(diǎn),

      所以CG=12CE=102,HF=102.

      因?yàn)椤螪CF=90°,CS⊥DF,

      所以S△CDF=CS·DF2=CD·CF2,

      所以CS=CD·CFDF=22×210=410,

      所以GS=CG-CS=102-410=110.

      在Rt△CSF中,由勾股定理得

      FS=CF2-CS2=(2)2-4102=25,

      所以HS=HF-FS=12DF-FS=102-25.

      在Rt△HSG中,由勾股定理得

      HG=HS2+GS2=102-252+1102=1.

      故填:1.

      注 由正方形兩邊的中點(diǎn)想到兩直角三角形的直角邊相等,由直角邊長相等這一條件聯(lián)想到正方形中的“十字架”形.

      3 “十字架”形的兩種變式

      變式1 圖5

      如圖5,已知E,F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊DA與CD延長線上的一點(diǎn),CE與BF相交于點(diǎn)P,在①AE=DF(或DE=CF),②CE=BF,③CE⊥BF三個(gè)條件中,可由其中的一個(gè)條件得到另外的兩個(gè)條件,也可謂“知一求二”.

      例3 已知四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E在邊DA的延長線上,連接CE交AB于點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BM⊥CE,垂足為點(diǎn)M,BM的延長線交AD于點(diǎn)F,交CD的延長線于點(diǎn)H.

      (1)如圖6,求證:CE=BH;

      (2)如圖7,若AE=AB,連接CF,在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖中的四個(gè)三角形(△AEG除外),使寫出的每個(gè)三角形都與△AEG全等.

      分析 (1)欲證兩線段相等,需將這兩條線段分布在兩個(gè)“待證”的全等三角形之中,圖6吻合于圖5中的“十字架”形;

      (2)△AEG為直角三角形,欲尋找與其全等的三角形,需結(jié)合正方形的邊、角性質(zhì)及已知條件,需依據(jù)全等三角形的判定定理.

      解 (1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,

      所以BC=CD=AD=AB,

      ∠BCD=∠EDC=90°.

      因?yàn)锽M⊥CE,

      所以∠HMC=∠ADC=90°,

      所以∠H+∠HCM=∠E+∠ECD=90°,

      所以∠H=∠E.

      在△EDC和△HCB中,

      ∠EDC=∠HCB,∠E=∠H,CD=BC,

      所以△EDC≌△HCB(AAS),

      所以CE=BH.

      (2)△BCG,△DCF,△DHF,△ABF(過程略).

      變式2 將圖1中的△CED沿ED方向平移ED長可得到圖8,即“一線三直角”形.這一圖形的結(jié)論常與正方形“結(jié)伴”而行.

      例4 如圖9,點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上的動(dòng)點(diǎn),∠AEF=90°,且EF=AE,F(xiàn)H⊥BH.

      (1)求證:BE=CH;

      (2)若AB=3,BE=x,用x表示DF的長.

      分析 (1)要證BE=CH,需證BC=HE,由正方形邊的相等性,可證AB=EH,由三個(gè)垂直聯(lián)想到“一線三直角”形,證△ABE≌△EHF即可;

      (2)用x表示DF的長,可過點(diǎn)F作FP⊥CD于點(diǎn)P,將DF置身在直角三角形中.

      解 (1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,

      所以BC=CD=AB,

      ∠ABE=∠BCD=90°,

      所以∠AEB+∠EAB=90°.

      因?yàn)镕H⊥BH,

      所以∠EHF=90°,

      所以∠AEB+∠FEH=90°,

      所以∠FEH=∠EAB.

      在△ABE和△EFH中,

      ∠EAB=∠FEH,∠ABE=∠EHF,AE=EF,

      所以△ABE≌△EHF(AAS),

      所以BE=FH,

      AB=EH,

      所以BC=EH,

      即BE+EC=CH+EC,

      所以BE=CH.

      (2)作FP⊥CD于點(diǎn)P,則四邊形CHFP為矩形.

      由(1)可知CH=FH,

      所以四邊形CHFP為正方形,

      所以CP=CH=FH=FP.

      因?yàn)锽E=CH=x,

      所以CP=FP=x,

      DP=CD-CP=3-x.

      在Rt△DFP中,由勾股定理得

      DF=DP2+FP2

      =(3-x)2+x2

      =2x2-6x+9.

      注 由正方形中的三個(gè)垂直條件想到了“一線三直角”形.

      由基本圖形到“十字架”形再到“一線三直角”形的系列歷程,啟發(fā)教者要特別關(guān)注基本圖形的特征及其性質(zhì)的教學(xué),要學(xué)會(huì)在復(fù)雜圖形中提煉基本圖形的本領(lǐng),這一本領(lǐng)離不開對(duì)基本圖形的熟知和聯(lián)想.

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