劉家良
【摘要】 將一個(gè)基本圖形的特征及性質(zhì)進(jìn)行遷移,結(jié)合正方形的邊、角性質(zhì),得到正方形中“十字架”形的性質(zhì)及變式圖形(一線三直角)的性質(zhì).由基本圖形到“十字架”形再到“一線三直角”形的系列過程,啟發(fā)教者要特別關(guān)注基本圖形的特征及性質(zhì)的教學(xué),并要學(xué)會(huì)在復(fù)雜圖形中提煉基本圖形的本領(lǐng).
【關(guān)鍵詞】 基本圖形;遷移;正方形;“十字架”;變式
將一個(gè)基本圖形的特征及性質(zhì)進(jìn)行遷移,結(jié)合正方形的邊、角性質(zhì),可得到正方形中“十字架”形的性質(zhì).
基本圖形:如圖1,若∠ABD=∠EDC=90°,AB=ED,BD=DC,則AD=EC,AD⊥EC.
簡證:易證△ABD≌△EDC(SAS),
于是AD=EC,
∠ADB=∠C.
又∠ADB+∠CDG=90°,
所以∠C+∠CDG=90°,
所以∠CGD=90°,
所以AD⊥EC.
將圖1及其蘊(yùn)含結(jié)論遷移到正方形中,結(jié)合正方形的邊、角性質(zhì),可得正方形中“十字架”形的性質(zhì):
如圖2,已知E,F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊AB與BC上的一點(diǎn),且AE=BF(或BE=CF),AE與DF相交于點(diǎn)P,則AF=DE,AF⊥DE.
推論:如圖2,在①AE=BF(或BE=CF),②AF=DE,③AF⊥DE三個(gè)條件中,若已知一個(gè)條件,可得另外的兩個(gè)條件,簡稱“知一求二”.
應(yīng)用正方形中的“十字架”形的結(jié)論,可解決與正方形相關(guān)的問題.
1 由垂直到邊等
例1
如圖3,正方形紙片ABCD的邊長為12,點(diǎn)F是AD上一點(diǎn),將△CDF沿CF折疊,點(diǎn)D落在點(diǎn)G處,連接DG并延長交AB于點(diǎn)E.若AE=5,則GE的長為.
分析 設(shè)CF與DE交于點(diǎn)O.點(diǎn)D,G關(guān)于CF對(duì)稱,由軸對(duì)稱性質(zhì)可知CF垂直平分GD,即DO=GO,CF⊥DE,由此想到正方形中的“十字架”形,可得CF=DE,AE=DF.
解 如圖4,設(shè)CF與DE交于點(diǎn)O.
因?yàn)辄c(diǎn)D,G關(guān)于CF對(duì)稱,
所以GO=DO,CF⊥DE,
即∠FOD=90°,
所以∠CFD+∠ADE=90°.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,
所以AD=CD=12,
∠A=∠ADC=90°,
所以∠CFD+∠FCD=90°,
所以∠ADE=∠DCF,
所以△ADE≌△DCF,
所以DE=CF,AE=DF=5.
在Rt△DAE中,由勾股定理得
DE=AD2+AE2=144+25=13,
所以CF=13.
由S△CDF=12CF·OD=12CD·DF,得
OD=CD·DFCF=6013,
所以DG=2OD=12013,
所以EG=DE-DG=13-12013=4913.
注 由軸對(duì)稱性質(zhì)得到CF⊥DE,這意味著兩直角三角形的斜邊垂直,由垂直這一條件聯(lián)想到正方形的“十字架”形.
2 由一直角邊相等到斜邊相等與垂直
例2 圖4
如圖4,在邊長為22的正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接EC,F(xiàn)D,點(diǎn)G,H分別是EC,F(xiàn)D的中點(diǎn),連接GH,則GH的長度為.
分析 求GH的長,一般是將其放置在直角三角形中由勾股定理求得.如圖5,若能意識(shí)到DF⊥CE,那么問題的求解之路就會(huì)“一馬平川”,但這需要學(xué)生熟知正方形中的“十字架”形及其結(jié)論.
解 如圖6,設(shè)CE,DF交于點(diǎn)S.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,
所以∠A=∠B=∠BCD=90°,
AB=BC=CD=22.
因?yàn)辄c(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊AB,BC的中點(diǎn),
所以AE=BE=BF=CF=2,
所以△BCE≌△CDF(SAS),
所以CE=DF,
∠BCE=∠CDF.
因?yàn)椤螪CF=90°,
所以∠CDF+∠CFD=90°,
所以∠BCE+∠CFD=90°,
所以∠CSF=∠HSG=90°.
在Rt△BCE中,由勾股定理得
CE=BE2+BC2=(2)2+(22)2=10,
所以DF=CE=10.
因?yàn)辄c(diǎn)G,H分別是EC,F(xiàn)D的中點(diǎn),
所以CG=12CE=102,HF=102.
因?yàn)椤螪CF=90°,CS⊥DF,
所以S△CDF=CS·DF2=CD·CF2,
所以CS=CD·CFDF=22×210=410,
所以GS=CG-CS=102-410=110.
在Rt△CSF中,由勾股定理得
FS=CF2-CS2=(2)2-4102=25,
所以HS=HF-FS=12DF-FS=102-25.
在Rt△HSG中,由勾股定理得
HG=HS2+GS2=102-252+1102=1.
故填:1.
注 由正方形兩邊的中點(diǎn)想到兩直角三角形的直角邊相等,由直角邊長相等這一條件聯(lián)想到正方形中的“十字架”形.
3 “十字架”形的兩種變式
變式1 圖5
如圖5,已知E,F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊DA與CD延長線上的一點(diǎn),CE與BF相交于點(diǎn)P,在①AE=DF(或DE=CF),②CE=BF,③CE⊥BF三個(gè)條件中,可由其中的一個(gè)條件得到另外的兩個(gè)條件,也可謂“知一求二”.
例3 已知四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E在邊DA的延長線上,連接CE交AB于點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BM⊥CE,垂足為點(diǎn)M,BM的延長線交AD于點(diǎn)F,交CD的延長線于點(diǎn)H.
(1)如圖6,求證:CE=BH;
(2)如圖7,若AE=AB,連接CF,在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖中的四個(gè)三角形(△AEG除外),使寫出的每個(gè)三角形都與△AEG全等.
分析 (1)欲證兩線段相等,需將這兩條線段分布在兩個(gè)“待證”的全等三角形之中,圖6吻合于圖5中的“十字架”形;
(2)△AEG為直角三角形,欲尋找與其全等的三角形,需結(jié)合正方形的邊、角性質(zhì)及已知條件,需依據(jù)全等三角形的判定定理.
解 (1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,
所以BC=CD=AD=AB,
∠BCD=∠EDC=90°.
因?yàn)锽M⊥CE,
所以∠HMC=∠ADC=90°,
所以∠H+∠HCM=∠E+∠ECD=90°,
所以∠H=∠E.
在△EDC和△HCB中,
∠EDC=∠HCB,∠E=∠H,CD=BC,
所以△EDC≌△HCB(AAS),
所以CE=BH.
(2)△BCG,△DCF,△DHF,△ABF(過程略).
變式2 將圖1中的△CED沿ED方向平移ED長可得到圖8,即“一線三直角”形.這一圖形的結(jié)論常與正方形“結(jié)伴”而行.
例4 如圖9,點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上的動(dòng)點(diǎn),∠AEF=90°,且EF=AE,F(xiàn)H⊥BH.
(1)求證:BE=CH;
(2)若AB=3,BE=x,用x表示DF的長.
分析 (1)要證BE=CH,需證BC=HE,由正方形邊的相等性,可證AB=EH,由三個(gè)垂直聯(lián)想到“一線三直角”形,證△ABE≌△EHF即可;
(2)用x表示DF的長,可過點(diǎn)F作FP⊥CD于點(diǎn)P,將DF置身在直角三角形中.
解 (1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,
所以BC=CD=AB,
∠ABE=∠BCD=90°,
所以∠AEB+∠EAB=90°.
因?yàn)镕H⊥BH,
所以∠EHF=90°,
所以∠AEB+∠FEH=90°,
所以∠FEH=∠EAB.
在△ABE和△EFH中,
∠EAB=∠FEH,∠ABE=∠EHF,AE=EF,
所以△ABE≌△EHF(AAS),
所以BE=FH,
AB=EH,
所以BC=EH,
即BE+EC=CH+EC,
所以BE=CH.
(2)作FP⊥CD于點(diǎn)P,則四邊形CHFP為矩形.
由(1)可知CH=FH,
所以四邊形CHFP為正方形,
所以CP=CH=FH=FP.
因?yàn)锽E=CH=x,
所以CP=FP=x,
DP=CD-CP=3-x.
在Rt△DFP中,由勾股定理得
DF=DP2+FP2
=(3-x)2+x2
=2x2-6x+9.
注 由正方形中的三個(gè)垂直條件想到了“一線三直角”形.
由基本圖形到“十字架”形再到“一線三直角”形的系列歷程,啟發(fā)教者要特別關(guān)注基本圖形的特征及其性質(zhì)的教學(xué),要學(xué)會(huì)在復(fù)雜圖形中提煉基本圖形的本領(lǐng),這一本領(lǐng)離不開對(duì)基本圖形的熟知和聯(lián)想.