李建良

【摘? ?要】“教、學、評” 一致性是當前學科教學的重要研究內容?！皢栴}提出”作為教學手段、學習目標和評價工具，兼具教、學、評三者功能于一體。在“雞兔同籠”問題的教學中，借助基礎性問題提出和發(fā)展性問題提出，圍繞“以‘問題提出為教學手段，架構教學活動；以‘問題提出為學習目標，培養(yǎng)學生能力；以‘問題提出為評價工具，分析學習效果”的教學實踐，實現(xiàn)“教、學、評”一致性。

【關鍵詞】問題提出；教學評一致性；基礎性；發(fā)展性

“教、學、評”一致性是當前學科教學的重要研究內容?！皢栴}提出”作為教學手段、學習目標和評價工具，恰好能與教、學、評活動相匹配，以此作為促進“教、學、評”一致性的手段，可以有效達成教學與研究的目標。近年來，筆者在這一方面作了一些實踐與探索，本文將以“雞兔同籠”一課為例，探討其中的具體做法。

一、“問題提出”促進“教、學、評”一致性的條件分析

根據(jù)教學時機和教學目的，“問題提出”活動可以分為基礎性問題提出和發(fā)展性問題提出。兩類活動功能各有側重，相輔相成（如圖1）。

基礎性問題是指針對知識與技能的理解與掌握這一基本目標，引導學生根據(jù)問題情境，結合已有知識經驗，提出的與當前教學內容相關的問題。其目標相對比較單一，指向也比較明確，不同的學生都可以提出符合自身水平的問題，共同構建有效的問題序列作為學習素材，為探究指明方向，促使學生全員參與。

發(fā)展性問題是指針對思維與能力發(fā)展的高層次目標，引導學生提出的開放性問題，以培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維并提供額外的學習資源。發(fā)展性問題的目標比較多元，學生提出的問題存在多種可能性，需要綜合運用各種知識技能，因此主要在應用環(huán)節(jié)組織學生根據(jù)數(shù)學對象提出此類問題。發(fā)展性問題還可以作為課后全面檢測學生學習水平的有效工具和有力依據(jù)。

問題提出作為教學手段、學習目標和評價工具，與教、學、評等活動都有著密切的關系。精心設計、有效實施、準確把握問題提出的教學活動，可以找到教、學、評三者的融通點，促進其一體化及螺旋式上升。（如圖2）

二、基于“問題提出”的“教、學、評”一致性設想

“雞兔同籠”問題作為一個經典數(shù)學問題，其教學難點主要來源于三方面：課前，作為數(shù)學名題，它早已在學生中口口相傳，容易使部分學生望而卻步；課中，諸多解法，包括一些思維含量較高的“獨門秘技”，容易使學生淺嘗輒止、顧此失彼；課后，多種變式，包括數(shù)據(jù)變化、對象變化等，使之更加披上了一層變幻莫測的外衣。

根據(jù)問題提出的特點，結合“雞兔同籠”的教學難點，本內容將在導入和拓展環(huán)節(jié)各安排一個問題提出活動。在導入環(huán)節(jié)，借助問題提出，把復雜的問題分解成簡單的問題，將特殊的問題轉變?yōu)橐话愕膯栴}。例如，只提供“總頭數(shù)”這一條件：“籠子里有一些雞和兔，共8只?！庇蓪W生提出關于雞兔數(shù)量的簡單問題，使每個學生都可以嘗試用順向思維解決問題，積累數(shù)學活動經驗。比如，有學生提出這樣的問題：“其中雞有3只，雞兔一共有多少條腿？”這樣的解決問題過程使他們不必專門去掌握一些特殊的技巧。在解決問題、掌握模型的基礎上，再請學生提出相關的數(shù)學實際問題。如請學生根據(jù)雞兔同籠的模型，通過改變其中的數(shù)據(jù)或對象，或同時改變兩者，提出一個新的問題。這樣既能考查學生對雞兔同籠問題的理解，也可以拓寬學生的視野，提供更多豐富且有深度的素材。

三、“問題提出”引領“教、學、評”一致性的教學實踐

（一）以“問題提出”為教學手段，架構教學活動

1.“問題提出”引領教學活動有序推進

用孤立的眼光看待不同水平的學生提出的問題，可能會覺得有些問題過于簡單，但如果把這些問題納入到問題序列之中，則將形成教學活動有序開展的重要路徑。

教學開始，教師出示基本信息：“籠子里有一些雞或兔，共8個頭?！闭垖W生提出數(shù)學問題。學生提出“雞有幾只”“兔有幾只”“腿一共有幾條”等基本問題并發(fā)現(xiàn)這些問題的答案是不確定的，這就自然引出了列表法。從表格中，學生發(fā)現(xiàn)了“腿數(shù)”的增減規(guī)律，并對現(xiàn)象背后的原因作出了解釋：少一只雞的同時會增加一只兔，相當于增加了2條腿。教師在肯定這一發(fā)現(xiàn)之后追問：“不相鄰的兩組數(shù)據(jù)是否也存在類似的規(guī)律？”學生通過舉例，證明了其中也存在相關的規(guī)律。教師給出完整的雞兔同籠問題：“籠子里有一些雞或兔，一共有8個頭，26條腿。雞兔各有幾只？”學生在獨立完成和相互交流中，得出了假設法這一通用的方法。

教師請學生概括雞、兔、腿的數(shù)量變化規(guī)律。經學生獨立思考與表達、相互補充和完善，得出結論如下：不管列表法還是假設法，都只要抓住“雞兔每次增減都會相差2條腿”這個關鍵點即可。腿少了，就加兔減雞；腿多了，就加雞減兔。

2.“問題提出”促進教學層次顯著提升

在學生對問題的基本模型有了較為深刻的理解之后，由學生自主提出不同類型、不同層次的問題，可以幫助他們了解更多的變式問題，開展深度學習。

教師讓學生運用雞兔同籠模型，從不同的要求中選擇一個提出問題。三種不同水平的要求如下：①仍然用上8和26，但是更換事物；②仍然用雞和兔、頭和腿，但是改變數(shù)量；③既更換事物，又改變數(shù)量。學生提出三種類型的變式問題后，教師從中各挑選一個進行展示（如圖3）。第三類問題引起了學生的注意，大部分學生認為這個問題與前兩個問題不同，把動物的腿數(shù)換成了種菜的棵數(shù)，而且數(shù)量變成了2棵和3棵，男女生種菜的棵數(shù)是相差1而不是2。由此，學生體會到了雞兔同籠問題變化多樣，也加深了對其中包含的萬變不離其宗的數(shù)學模型的理解。

兩次問題提出活動首尾呼應，搭建了結構化的教學序列，使學生經歷了完整的學習探究過程，對雞兔同籠問題形成了正確而深刻的認識。

（二）以“問題提出”為學習目標，培養(yǎng)學生能力

1.借助“問題提出”，提供平等的參與機會

通過對教材中教學內容的適當改編，使之成為一個簡單又常見的情境，引導學生提出問題，可以為不同水平的學生提供參與的機會。

在雞兔同籠的教學中，學生根據(jù)信息提出基礎性問題之后，發(fā)現(xiàn)這些問題的答案是不確定的，由此聯(lián)想到了“租船問題”中所用過的列表法或枚舉法。正是在這些簡單、基礎的問題以及它們形成的問題串的引領下，全體學生都參與到了用列表法研究多種可能的結果的活動中來?；A性問題提出活動營造了一個共同探究的良好學習氛圍，激發(fā)了全體學生參與研究的動力。

2.借助“問題提出”，激發(fā)豐富的創(chuàng)造能力

在發(fā)展性問題提出的過程中，相當一部分學生愿意挑戰(zhàn)第三類變式問題（同時改變數(shù)量和事物），這反映出學生極大的想象力、創(chuàng)造力以及持續(xù)探究的熱情。學生提出的問題中包含多種不同類型的對象，如動物、植物、工作量、交通工具以及幾何圖形等。其中，有不少學生嘗試突破原題中“2條腿”和“4條腿”的限制，提出諸如“1條腿”“3條腿”乃至“100條腿”的問題。學生提出的數(shù)學問題中包含的現(xiàn)實對象的豐富性、數(shù)量關系的多樣性，以及對數(shù)量關系把握的準確性，遠超教師預期。

可見，由學生自主提出變式問題，可以培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，提高學生的思維品質，有限的學習空間得到了無限的擴張，學生為自己爭取到了更多的學習機會。

（三）以“問題提出”為評價工具，分析學習效果

1.實時評價基礎性問題，指明探究方向

在以問題提出為主導的教學活動中，教師通常會對學生提出的基礎性問題作及時的分類、整理與評價，更好地發(fā)揮問題的導向作用。

在雞兔同籠教學中，學生提出了“雞有幾只”“兔有幾只”“腿一共有幾條”這三個非常簡單和常見的問題，教師及時組織學生對這些問題進行評價。通過這三個問題以及由此引出的評價，高水平的學生看到了與自己通過課外途徑了解到的“雞兔同籠”問題不一樣的研究切入點，激發(fā)了他們的好奇心；中下水平的學生則是看到了自己熟悉的數(shù)學問題，激活了已有的學習經驗，引發(fā)了他們進一步探究的意愿。因此，不能僅僅為了提問而提問，更應該發(fā)揮問題的全方位作用，尤其要通過學生的自評與互評，發(fā)現(xiàn)問題之間的關系和脈絡，探尋學習和研究的正確方向。

2.統(tǒng)計分析發(fā)展性問題，評價學習效果

問題提出是評價學生認知水平的重要手段。發(fā)展性問題提出一般采用書面的形式進行表達，這有利于在課后進行更加細致的統(tǒng)計與分析。筆者結合教學實際，對Silver和蔡金法研究得出的學生問題提出水平評價框架進行了適當?shù)暮喕?，使之更易于操作（如圖4）。課后，利用該評價框架，對學生提出的發(fā)展性問題進行了分類統(tǒng)計（如表1）。

教學活動中的三個變式問題提出要求按由易到難的順序呈現(xiàn)。統(tǒng)計顯示，學生選擇比例最高的是變式問題③，這表明學生愿意挑戰(zhàn)有一定難度的問題。所有學生提出的問題中，合理問題有28個，占問題總數(shù)的68.29%；不合理問題也主要集中在變式③這類較高難度的問題中。另外，問題提出的正確率明顯低于問題解決的正確率，學生的一些認知不足也得以暴露，這也為教師全面了解學生的學習狀況提供了客觀依據(jù)。

此外，若學生提出的問題中涉及的情境對象仍然是類同的動物（如兔變龜），則可以推斷其模仿成分大于創(chuàng)造成分。如果能提出涉及其他事物的問題，則表明學生已經脫離了表象的束縛，更加注重雞兔同籠問題的本質。對學生提出的問題中包含的現(xiàn)實情境進行分析可以發(fā)現(xiàn)，學生提出的問題中包含的情境種類有動物、植物等8種（如圖5）。另外，經統(tǒng)計，共有10名學生突破了“2條腿”和“4條腿”腿數(shù)之差的限制。從問題情境和數(shù)量關系的角度而言，這部分學生已經能大膽突破認知局限，準確抓住問題本質。

因此，作為評價工具，問題提出能從知識技能、情感態(tài)度、方法策略、思維水平、學習習慣等方面對學生的學習情況作出全面的評價。并且，部分評價結果能在教學過程中及時反饋，直接體現(xiàn)在課堂上，反作用于教師的教與學生的學。

總之，解決“教、學、評”一致性問題的實質在于提高教、學、評的相關性。教師在設計教學活動的過程中，不僅應全面考慮借助問題提出活動充分發(fā)揮課堂中教、學、評三者的作用，使教有層次、學有發(fā)展、評有依據(jù)，更要使三者相互作用，彼此促進?！皢栴}提出”的核心價值在于為學生提供更多的學習機會。在強調“問題提出”的課堂教學中，教師應以開放的理念，創(chuàng)設有利于學生參與和表達的學習空間。只有在開放、多元的環(huán)境中，學生才能盡情地提出問題和表達觀點。教師還應善于發(fā)現(xiàn)學生提出的問題中的教學價值，及時組織學生對問題進行梳理和評價。利用學生提出的特別有價值的問題開展深度學習，或借助其中的不合理問題，進一步理解和鞏固所學內容的本質屬性。實踐證明，精心預設問題提出活動，創(chuàng)設有利于問題提出的學習氛圍，及時把握生成的問題資源，有助于實現(xiàn)“教、學、評”一致性。

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