建構(gòu)自然、高效的概念教學(xué)課堂

［摘? 要］ 概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地的關(guān)鍵. 緊扣教育根本，明確概念教學(xué)本質(zhì)，是建構(gòu)自然、高效概念課堂的關(guān)鍵. 文章以“數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法”教學(xué)為例，具體從以下四個(gè)方面談一談概念教學(xué)的基本流程：創(chuàng)設(shè)情境，引入概念；逐層探討，完善概念；加強(qiáng)練習(xí)，應(yīng)用概念；總結(jié)反思，鞏固概念.

［關(guān)鍵詞］ 概念教學(xué)；問(wèn)題情境；反思

作者簡(jiǎn)介：汪薇（1979—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基本組成部分，是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重中之重，其教學(xué)成效直接影響著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與技能的掌握程度. 但在實(shí)際教學(xué)中，有部分教師仍存在重解題輕概念的思想，還有部分教師忽視概念本質(zhì)與學(xué)生現(xiàn)實(shí)的情況，從而導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法深刻理解概念的本質(zhì)與內(nèi)涵. 為了消減這些現(xiàn)象，教師可借助概念形成的情境，引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)概念學(xué)習(xí)的表層，深入概念的內(nèi)在邏輯關(guān)系，實(shí)現(xiàn)概念教學(xué)促進(jìn)學(xué)生有效發(fā)展的價(jià)值.

本文以“數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法”一課教學(xué)為例，具體談一談如何建構(gòu)自然、高效的概念教學(xué)課堂. 數(shù)列概念既是函數(shù)概念的延續(xù)，又是等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ). 本章節(jié)所包含的小概念數(shù)量多，與函數(shù)有著密切的關(guān)系. 怎樣結(jié)合學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，自然而然地順利過(guò)渡到新知的建構(gòu)中呢？帶著此問(wèn)，筆者對(duì)數(shù)列概念的教學(xué)進(jìn)行了精心設(shè)計(jì)與實(shí)踐，并獲得了一定成效.

創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

師：用PPT展示以下4個(gè)情境.

情境1：影院的某小廳，座位呈扇形分布，縱向共10排，第一排的座位有10個(gè)，從第二排開(kāi)始，后一排都比前一排多一個(gè)座位，即從第一排到第十排的座位數(shù)分別為10，11，12，13， 14，15，16，17，18，19.

情境2：從1984年到如今，我國(guó)共參加了10屆奧運(yùn)會(huì)，獲得的金牌數(shù)量從開(kāi)始到現(xiàn)在，依次為15，5，16，16，28， 32，51，38，26，38.

情境3：古語(yǔ)有云，“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”. 若將起始長(zhǎng)度理解為一個(gè)單位，那么每天所剩的長(zhǎng)度依次為，，，….

情境4：著名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥斯加常與朋友在沙灘上研究數(shù)學(xué)，如用石子表示圖1所示形狀的數(shù)，將此稱作三角形數(shù)，這些數(shù)從小到大依次為1，3，6，10，….

要求學(xué)生說(shuō)一說(shuō)上述4個(gè)情境中的數(shù)據(jù)，教師將這些數(shù)據(jù)寫(xiě)在黑板上.

師：上述情境共用到了4組數(shù)據(jù)，為了解它們對(duì)刻畫(huà)實(shí)際生活現(xiàn)象和規(guī)律的意義，現(xiàn)在我們一起來(lái)分析、探討各組數(shù)據(jù).

問(wèn)題1：從以上數(shù)據(jù)來(lái)看，各情境所展示的數(shù)據(jù)在排列上具備怎樣的特征？

學(xué)生經(jīng)過(guò)初步自主探究，還不能順利回答這個(gè)問(wèn)題，因此師生在共同交流、分析的過(guò)程中，需要教師在此處進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，如“以上4組數(shù)據(jù)中的順序能否隨意改變，如果改變數(shù)的位置，能否表達(dá)相同的意思？由此你們能看出些什么？”

學(xué)生一致認(rèn)為，這些數(shù)據(jù)都是按照一定順序排列的，所以不能隨意改變位置. 根據(jù)學(xué)生的結(jié)論，教師將數(shù)列的定義寫(xiě)在黑板上，著重強(qiáng)調(diào)數(shù)列是按照一定順序排列的一組數(shù).

問(wèn)題2：（1）數(shù)列1，3，5，7，9和數(shù)列9，7，5，3，1一樣嗎？

（2）可以將情境2中的數(shù)字“16”去掉嗎？為什么？

（3）說(shuō)一說(shuō)數(shù)列和集合有怎樣的聯(lián)系與區(qū)別.

隨著學(xué)生思考與交流，逐個(gè)突破了以上問(wèn)題. 此時(shí)，教師又帶領(lǐng)學(xué)生從一列數(shù)、一定順序與互異性三方面分析數(shù)列與集合之間具有怎樣的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)在黑板上將“一定順序”“一列數(shù)”等關(guān)鍵詞語(yǔ)畫(huà)上著重號(hào).

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)列的定義雖然看起來(lái)簡(jiǎn)單，但其中涉及的“一定順序”和“一列數(shù)”等關(guān)鍵詞語(yǔ)，并不是通過(guò)幾個(gè)小小的情境就能抽象、概括出來(lái)的. 因此，情境的創(chuàng)設(shè)雖然重要，但教師的點(diǎn)撥具有四兩撥千斤的作用，通過(guò)以上幾個(gè)問(wèn)題的思考，學(xué)生能充分感知數(shù)列對(duì)順序的特殊要求.

此過(guò)程中，通過(guò)幾個(gè)落于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問(wèn)題設(shè)置，成功喚醒了學(xué)生的對(duì)比意識(shí)，使學(xué)生在自主研究與交流中充分感到數(shù)列與順序的必然聯(lián)系. 學(xué)生對(duì)數(shù)列概念的內(nèi)涵一旦有了深刻理解，當(dāng)遇到一列數(shù)之前冠上了“數(shù)列”二字的時(shí)候，立即會(huì)反應(yīng)過(guò)來(lái)：這是一組講究順序排列的數(shù)，也就是不可隨意變化這些數(shù)的位置. 至此，數(shù)列概念就能自然、順利、成功地抽象出來(lái).

逐層探討，完善概念

1. 要素分析

師：為了便于研究數(shù)列，我們將數(shù)列中所涉及的每一個(gè)數(shù)都定義了一個(gè)專業(yè)術(shù)語(yǔ)——“數(shù)列的項(xiàng)”，排在第一個(gè)的數(shù)，我們稱它為該數(shù)列的第一項(xiàng)（a），排在第二個(gè)的數(shù)，我們稱它為該數(shù)列的第二項(xiàng)（a），以此類推，排在第n個(gè)的數(shù)，我們稱它為該數(shù)列的第n項(xiàng)（a）. 由此，大家能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生1：數(shù)列具有一定的順序，一個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都有一個(gè)順序號(hào)與它對(duì)應(yīng).

師：非常好！根據(jù)這種對(duì)應(yīng)順序，我們可以將數(shù)列寫(xiě)成a，a，a，…，a，簡(jiǎn)寫(xiě)為｛an｝.

問(wèn)題3：從以上我們對(duì)數(shù)列的基本了解，大家能列舉一些與數(shù)列相關(guān)的生活實(shí)例嗎？

（學(xué)生列舉，教師板書(shū)）

2. 類型劃分

問(wèn)題4：從大家列舉的實(shí)例與以上呈現(xiàn)的幾個(gè)數(shù)列來(lái)看，數(shù)列在生活中的實(shí)際應(yīng)用非常豐富，但也存在不同情形. 大家思考一下，我們可以怎么把它們進(jìn)行分類？

學(xué)生沉默. 教師提示：想要分類，就要有一定的分類標(biāo)準(zhǔn). 學(xué)生很快就聯(lián)想到從項(xiàng)數(shù)與單調(diào)性這兩方面來(lái)分類.

生2：若從項(xiàng)數(shù)來(lái)分類，根據(jù)項(xiàng)數(shù)的多少，可以分成有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列. 如課堂開(kāi)始展示的4組數(shù)列，前兩組屬于有窮數(shù)列，而后兩組數(shù)列的項(xiàng)數(shù)有無(wú)窮個(gè)，則為無(wú)窮數(shù)列.

師：那么從單調(diào)性來(lái)分類呢？

生3：從各項(xiàng)數(shù)的大小規(guī)律來(lái)觀察，第二組數(shù)列沒(méi)有規(guī)律，第三組數(shù)列呈逐漸減小的規(guī)律，而第一組和第四組數(shù)列呈逐漸增大的規(guī)律.

師：非常好！大家分析得都很透徹. 現(xiàn)在我們一起來(lái)填寫(xiě)表1，將數(shù)列的分類標(biāo)準(zhǔn)再次梳理一遍.

設(shè)計(jì)意圖 將課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)的素材，利用在類型劃分環(huán)節(jié)中，起到前呼后應(yīng)的效果. 同時(shí)，借助學(xué)生熟悉的實(shí)例進(jìn)行數(shù)列分類，不論是從心理上，還是從情感上學(xué)生都更容易接受. 而結(jié)合實(shí)例介紹要素，能讓學(xué)生產(chǎn)生更加形象、深刻的認(rèn)識(shí)，有助于學(xué)生內(nèi)化數(shù)列概念.

3. 表示方法

師：通過(guò)以上對(duì)數(shù)列要素的分析及分類標(biāo)準(zhǔn)的研究，我們對(duì)數(shù)列有了更深刻的認(rèn)識(shí). 為了將數(shù)列的有序性展現(xiàn)出來(lái)，我們一起把課堂開(kāi)始的4個(gè)情境中所有數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)，通過(guò)表格的形式，呈現(xiàn)出它們之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系（見(jiàn)表2）.

當(dāng)學(xué)生完成表格后，教師提出：對(duì)應(yīng)每個(gè)序號(hào)，都存在一個(gè)唯一的項(xiàng)與之呈對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這里提及“對(duì)應(yīng)”二字，會(huì)讓大家聯(lián)想到我們之前碰到過(guò)的什么概念？

生4：函數(shù).

師：不錯(cuò)！我們可以將數(shù)列理解為定義域是正整數(shù)集或其有限子集，自變量按照由小到大的順序依次取值而組成的一列函數(shù)值. （說(shuō)這段話時(shí)，教師適時(shí)斷句或停頓，為學(xué)生保留充分的思考和理解的時(shí)間）

問(wèn)題5：大家能否發(fā)現(xiàn)情境3中的數(shù)列，項(xiàng)與序號(hào)之間存在怎樣的函數(shù)關(guān)系？

生5：a=n.

師：用來(lái)刻畫(huà)數(shù)列的項(xiàng)a和序號(hào)n的對(duì)應(yīng)關(guān)系的等式被稱為數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式，即a=f（n）. 大家猜想一下，為什么被稱為通項(xiàng)公式呢？

生6：因?yàn)樗梢杂脕?lái)刻畫(huà)每一項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，只要知道了它，那么數(shù)列的所有項(xiàng)都可以知道，所以被稱為通項(xiàng)公式.

師：太棒了！你們能應(yīng)用通項(xiàng)公式來(lái)表達(dá)前兩個(gè)情境的數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系嗎？

學(xué)生很快就寫(xiě)出了第一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，卻沒(méi)法寫(xiě)出第二個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 此時(shí)，教師順勢(shì)引出了數(shù)列的其他表示方法——列表法和圖象法.

師：列表法大家已接觸過(guò)，至于圖象法該怎樣表示呢？

在畫(huà)圖過(guò)程中，有些學(xué)生先描點(diǎn)再連線，此時(shí)教師給予點(diǎn)撥：畫(huà)圖中，我們所畫(huà)的每一筆都很重要，在我們連線后，序號(hào)n不僅能取正整數(shù)，還能取什么數(shù)？

經(jīng)過(guò)教師提點(diǎn)，學(xué)生立馬恍然大悟：畫(huà)圖不可以連線. 此時(shí)教師將這個(gè)主要的圖象特點(diǎn)寫(xiě)在黑板上（孤立點(diǎn)或離散點(diǎn)），并將情境2的數(shù)列圖象投影到電子白板上.

問(wèn)題6：請(qǐng)大家嘗試用三種不同方法來(lái)表示情境1的數(shù)列.

學(xué)生類比函數(shù)的表達(dá)方式，用三種不同方法表示了情境1的數(shù)列，每一種表示方法都能明確項(xiàng)與序號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“對(duì)應(yīng)”的認(rèn)識(shí)，教師每說(shuō)出一個(gè)序號(hào)，要求學(xué)生快速找出相對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，通過(guò)這種練習(xí)，學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)不僅產(chǎn)生了濃厚的研究興趣，還形成了更加深刻的印象.

接下來(lái)，教師引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)列和函數(shù)作對(duì)照分析，幫助學(xué)生梳理知識(shí)脈絡(luò). 分析后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩者的主要區(qū)別為：數(shù)列圖象是孤立點(diǎn)群，而函數(shù)圖象可以是離散點(diǎn)群，也可以是連續(xù)曲線.

設(shè)計(jì)意圖 研究函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，是從深層次理解數(shù)列概念的行為. 數(shù)列的順序表現(xiàn)在各項(xiàng)與各序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系上，而兩數(shù)集的對(duì)應(yīng)也將數(shù)列與函數(shù)有機(jī)地聯(lián)系到了一起. 到底該怎樣表達(dá)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系與特點(diǎn)呢？想要解決這個(gè)問(wèn)題，數(shù)列表示的問(wèn)題也就應(yīng)運(yùn)而生. 此教學(xué)過(guò)程全程緊扣數(shù)列概念，每個(gè)教學(xué)步驟都是順勢(shì)而為，教學(xué)成效也是水到渠成.

加強(qiáng)練習(xí)，應(yīng)用概念

練習(xí)1：已知情境3的數(shù)列通項(xiàng)公式是a=.

（1）求第六天的剩余量是多少；

（2）求位于數(shù)列的第幾項(xiàng)；

（3）是否存在的剩余量？為什么？

通項(xiàng)公式是呈現(xiàn)數(shù)列的一種方式，在已知通項(xiàng)公式的情況下，就知道了此數(shù)列的所有信息. 練習(xí)1將情境3的數(shù)列通項(xiàng)公式直接展示給學(xué)生，接下來(lái)解題就變得輕松了. 但是，在很多有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題中，數(shù)列通項(xiàng)公式并不會(huì)直接給出，而需要學(xué)生自主去求，這給解題帶來(lái)了難度.

練習(xí)2：已知情境4中數(shù)列的前4項(xiàng).

（1）寫(xiě)出該數(shù)列的第5項(xiàng)、第6項(xiàng)以及第100項(xiàng).

（2）寫(xiě)出該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

此練習(xí)要求學(xué)生自主推導(dǎo)出該數(shù)列后面的項(xiàng)，并根據(jù)其規(guī)律總結(jié)出通項(xiàng)公式. 這對(duì)學(xué)生思維提出了一定條件，只有在深刻理解數(shù)列概念的基礎(chǔ)上才能順利完成練習(xí)2.

練習(xí)3：根據(jù)以下數(shù)列的前4項(xiàng)，寫(xiě)出各個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（1）1，，，，…；

（2）－1，1，－1，1，…；

（3）1，－，，－，….

練習(xí)小結(jié) 經(jīng)由以上3個(gè)練習(xí)，師生共同提煉、總結(jié)出了以下幾個(gè)要點(diǎn)：①一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可能存在多種表達(dá)方式；②書(shū)寫(xiě)數(shù)列通項(xiàng)公式的關(guān)鍵點(diǎn)，在于尋找盡可能多的共同之處，把差異和序號(hào)n聯(lián)系起來(lái)；③并非所有數(shù)列都存在通項(xiàng)公式.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 任何概念的學(xué)習(xí)都是為了更好地應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題的解決中，教師以情境作為練習(xí)素材，既節(jié)約了學(xué)生審題的時(shí)間，又讓學(xué)生有了良好的情感體驗(yàn)，為學(xué)生深刻理解、解決、反思問(wèn)題贏得了更廣闊的空間. 這種從情境中來(lái)，又回歸到情境中去的教學(xué)方式，提升了數(shù)列概念教學(xué)的高效性.

總結(jié)反思，鞏固概念

師：請(qǐng)大家將本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)用思維導(dǎo)圖的方式概括、總結(jié)出來(lái)，并通過(guò)對(duì)數(shù)列概念的研究，談一談研究一般概念的基本流程.

學(xué)生根據(jù)自身在本節(jié)課的體驗(yàn)與收獲，畫(huà)出了豐富的思維導(dǎo)圖，并對(duì)研究一般概念的基本流程總結(jié)如下：①通過(guò)幾個(gè)具體事物的研究，抽象出其存在的共同特征；②給這些特征下明確的定義；③用相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)與語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)；④分類認(rèn)識(shí)特殊對(duì)象，并掌握特殊關(guān)系；⑤通過(guò)類似對(duì)象的比較，找出它們的聯(lián)系與區(qū)別，深化對(duì)概念的理解；⑥從不同角度去表征，并靈活應(yīng)用.

設(shè)計(jì)意圖 曾子曰“吾日三省吾身”，總結(jié)、反思與提煉是每節(jié)課必不可少的環(huán)節(jié)，它能幫助學(xué)生鞏固、梳理所學(xué)知識(shí). 此環(huán)節(jié)通用研究方法的總結(jié)，符合“授人以魚(yú)不如授人以漁”的教育理念，為后期更多、更復(fù)雜的概念研究奠定基礎(chǔ).

完成以上幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，并不意味著學(xué)生已經(jīng)完全掌握并了解了數(shù)列概念，需要將本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容納入學(xué)生的認(rèn)知體系中，才算完工. 因此，教師在總結(jié)環(huán)節(jié)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生站到一個(gè)新的高度，從整體上來(lái)觀察數(shù)列概念，厘清相關(guān)知識(shí)脈絡(luò)，達(dá)到深度理解與融會(huì)貫通的目的.

概念教學(xué)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，學(xué)生建構(gòu)新的認(rèn)知體系需要經(jīng)歷一個(gè)連續(xù)發(fā)展的過(guò)程. 因此，以上每個(gè)教學(xué)流程都有其獨(dú)特的作用，缺一不可，亦不可逾越，前一環(huán)節(jié)是后一環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)，后一環(huán)節(jié)是前一環(huán)節(jié)的鞏固與提升.