劉娟娟

摘要：收半行的眼光來(lái)看待量感的培養(yǎng)，既要注重對(duì)事物可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知，也要注重定量分析和推理應(yīng)用。通過(guò)《認(rèn)識(shí)千米》同課異構(gòu)的三節(jié)課，談?wù)勅绾伟l(fā)展量感：直觀感知度量單位，是量感得以生發(fā)的基礎(chǔ)；定量分析度量過(guò)程，是量感發(fā)展的必要途徑；推理應(yīng)用度量結(jié)果，是量感形成的重要指標(biāo)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；量感；直觀感知；定量分析；推理應(yīng)用

量感，通俗地說(shuō)是對(duì)量的感覺(jué)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）指出，“量感主要是指對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知”［1］。在小學(xué)階段，主要通過(guò)有關(guān)度量的學(xué)習(xí)活動(dòng)來(lái)培養(yǎng)量感?！敖⒘扛杏兄陴B(yǎng)成用定量的方法認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的習(xí)慣，是形成抽象能力和應(yīng)用意識(shí)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)?！保?］結(jié)合已有研究可知，量感是高度個(gè)性化的產(chǎn)物，它不僅與學(xué)生已有的度量概念、方法相關(guān)，也和學(xué)生如何形成這些度量概念和方法相關(guān)。同時(shí)，我們也必須認(rèn)識(shí)到，量感的培養(yǎng)是一個(gè)較長(zhǎng)時(shí)間的，需要反思體驗(yàn)、不斷矯正的過(guò)程，要重視直觀感知、具身體驗(yàn)，更要有數(shù)學(xué)的思考，借助推理想象，用定量刻畫(huà)的方式來(lái)表達(dá)“量”，最終是為了促進(jìn)學(xué)生形成抽象能力和應(yīng)用意識(shí)。

“千米”是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最后一個(gè)長(zhǎng)度單位，是一個(gè)較大的長(zhǎng)度單位，雖然在日常生活中經(jīng)常應(yīng)用，但是無(wú)法在直尺上直接感知。也正因?yàn)槿绱?，理?千米的概念對(duì)小學(xué)生而言是有難度的，建立相關(guān)的量感則更不容易。本次南京市小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽中，獲得一等獎(jiǎng)的教師中有三位教學(xué)的都是《認(rèn)識(shí)千米》。同課異構(gòu)，三節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)和思路各有不同。下面，就通過(guò)這三節(jié)課，談?wù)勅绾我园l(fā)展的眼光來(lái)培養(yǎng)量感。

一、直觀感知度量單位，是量感得以生發(fā)的基礎(chǔ)

華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)（shù）起源于數(shù)（shǔ），量（liàng）起源于量（liáng）。”量感的培養(yǎng)離不開(kāi)“量（liáng） ”的過(guò)程，這是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程：首先要學(xué)習(xí)一些有關(guān)度量的重要概念，然后要能用標(biāo)準(zhǔn)的度量單位進(jìn)行度量，并學(xué)會(huì)使用度量工具。而度量工具其實(shí)是根據(jù)度量方法，將度量單位連續(xù)、無(wú)縫隙、無(wú)重復(fù)地累加而創(chuàng)造出來(lái)的，因此，對(duì)度量單位的認(rèn)識(shí)是度量學(xué)習(xí)的核心，也是量感得以產(chǎn)生、發(fā)展和形成的基礎(chǔ)。

學(xué)生在學(xué)習(xí)千米之前，從知識(shí)的邏輯上看，已經(jīng)認(rèn)識(shí)了毫米、厘米、分米和米這些較小的長(zhǎng)度單位，并形成了關(guān)于這些長(zhǎng)度的量感，即知道統(tǒng)一長(zhǎng)度的必要性，明白要在不同的情境中選擇合適的長(zhǎng)度單位，了解了測(cè)量長(zhǎng)度的工具以及簡(jiǎn)單的長(zhǎng)度單位換算。千米是基于生活需要的一次長(zhǎng)度單位拓展，其教學(xué)需要讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)的意義，同時(shí)又能借助已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)展開(kāi)學(xué)習(xí)。然而，已有的長(zhǎng)度單位和千米差距較大，直接利用它們來(lái)認(rèn)識(shí)千米比較困難，因此，需要找到介于米和千米之間的長(zhǎng)度單位進(jìn)行銜接，那么“十米”和“百米”的認(rèn)識(shí)就顯得自然且必要了。

三位老師都在教學(xué)中不約而同地強(qiáng)調(diào)了對(duì)“十米”和“百米”的感知和認(rèn)識(shí)，而且教學(xué)方式各有特色。謝志珺老師的教學(xué)從“拉繩子”這一活動(dòng)開(kāi)始，先讓學(xué)生拉直手中1米的繩子，激活腦海中關(guān)于1米的表象；進(jìn)而猜測(cè)10米的繩子可能的長(zhǎng)度，并在教室里拉直10米的繩子進(jìn)行驗(yàn)證，幫助學(xué)生調(diào)整和建立了10米的表象。然后，謝老師先出示了堆在一起的100米繩子，再用視頻展示在戶(hù)外拉直100米繩子的情景，讓學(xué)生初步建立100米的表象。王雅雯老師在課堂上不僅帶領(lǐng)學(xué)生從小到大梳理了已學(xué)的長(zhǎng)度單位，還順勢(shì)引出了“十米”和“百米”這兩個(gè)長(zhǎng)度單位，這有助于學(xué)生建立完整的長(zhǎng)度單位體系。此外，她還帶領(lǐng)學(xué)生到學(xué)校跑道上走了100米，這不僅讓學(xué)生親身感受了100米的長(zhǎng)度，而且還通過(guò)數(shù)步數(shù)、計(jì)時(shí)間等方式，促進(jìn)學(xué)生個(gè)性化地體驗(yàn)100米的長(zhǎng)度。何瑩瑩老師以一位學(xué)生張開(kāi)雙臂間的距離約為1米做標(biāo)尺，讓十位學(xué)生張開(kāi)雙臂，手拉手站在教室里排成一行，讓學(xué)生直觀感受10米的長(zhǎng)度，并由此想象100米、1000米的長(zhǎng)度。

量感所培養(yǎng)的思維方式是讓學(xué)生無(wú)須借助測(cè)量工具，就能迅速地辨別出物體可測(cè)量屬性的大小關(guān)系。顯然，這是一種抽象的能力，是在對(duì)具體直觀的對(duì)象，特別是度量單位感知、操作和反思的基礎(chǔ)上逐步形成的能力。1千米對(duì)于小學(xué)生而言是無(wú)法直接用測(cè)量工具得到的長(zhǎng)度，是抽象的，因此需要學(xué)生以對(duì)1米、10米、100米的直觀感知為基礎(chǔ)，間接感知1千米，進(jìn)而形成相應(yīng)的表象。

二、定量分析度量過(guò)程，是量感發(fā)展的必要途徑

度量就是將待測(cè)定的量與一個(gè)作為標(biāo)準(zhǔn)的同類(lèi)量進(jìn)行比較的過(guò)程。比較的方法促使度量方法和度量工具誕生，度量得到的結(jié)果則需要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)。因此，度量的數(shù)學(xué)本質(zhì)其實(shí)就是給度量對(duì)象賦值。荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾指出：“當(dāng)單位確定后，就可用同一類(lèi)的數(shù)去度量所有的量，這就是數(shù)學(xué)的優(yōu)點(diǎn)。但是為了學(xué)會(huì)如何應(yīng)用數(shù)學(xué)，學(xué)生就應(yīng)該學(xué)習(xí)各種量的起源、特征，并弄懂它們之間的關(guān)系，應(yīng)該說(shuō)這也就是數(shù)學(xué)?！保?］ 由此可見(jiàn)，要形成量感并應(yīng)用量感解決問(wèn)題，必須關(guān)注度量的過(guò)程，定量刻畫(huà)不同度量單位、不同度量對(duì)象甚至不同體系的度量單位之間的關(guān)系。這樣，才能最終幫助學(xué)生無(wú)須借助度量工具，迅速、準(zhǔn)確、靈活地辨別出物體可測(cè)量屬性的大小。

（一）理解度量單位之間的進(jìn)率，把握量感的準(zhǔn)確性

進(jìn)率是為了度量的方便，人為規(guī)定的同類(lèi)兩個(gè)度量單位之間的比值。教學(xué)要求一般是能夠理解、接受和應(yīng)用進(jìn)率。

認(rèn)識(shí)千米，就需要能理解“1千米=1000米”。在王雅雯老師的課上，筆者注意到這樣一個(gè)教學(xué)片段：

教師幫助學(xué)生復(fù)習(xí)并板書(shū)了毫米、厘米、分米和米的進(jìn)率關(guān)系后，提問(wèn)：“1千米等于多少米？”學(xué)生出現(xiàn)多種回答：“1千米等于10米?！薄?千米等于1000厘米?！薄?千米等于10厘米?！薄?千米等于1000米?！?/p>

看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題，為什么前三個(gè)學(xué)生都沒(méi)有回答對(duì)呢？可能是受到以前學(xué)過(guò)的長(zhǎng)度單位之間進(jìn)率是10的影響。這表明，學(xué)生對(duì)進(jìn)率的認(rèn)識(shí)是有差異的。

王老師注意到了這個(gè)情況，首先通過(guò)提問(wèn)“4000米等于多少米？8000米等于多少千米？”強(qiáng)化千米和米的關(guān)系。然后，她進(jìn)一步提問(wèn)：“如果把‘千米’的板貼放在黑板上，應(yīng)該放在哪里呢？”學(xué)生都認(rèn)為應(yīng)該放在“米”的后面，還有學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該和“米”間隔大一些。此時(shí)，王老師順勢(shì)引出了“十米”和“百米”這兩個(gè)單位，并明確了它們和米、千米之間的進(jìn)率關(guān)系，最終幫助學(xué)生理解了千米和米的關(guān)系。

張奠宙教授曾說(shuō)：“任何測(cè)量，放在第一位的要求是科學(xué)性，即要盡可能精確?！保?］度量也應(yīng)如此。度量的目的是選擇合適的度量工具，通過(guò)正確的度量方法，得到度量對(duì)象的準(zhǔn)確結(jié)果。準(zhǔn)確、精確是度量追求的目標(biāo)，也是量感應(yīng)有的特點(diǎn)。不過(guò)值得注意的是，量感的準(zhǔn)確性是相對(duì)的，能把度量結(jié)果確定在一個(gè)正確的范圍內(nèi)，不犯數(shù)量級(jí)的錯(cuò)誤是對(duì)小學(xué)生的基本要求。

（二）合理選擇經(jīng)驗(yàn)內(nèi)的參照物，提升量感的靈活性

生活中我們不可能隨時(shí)帶著度量工具外出，因此需要以身邊熟悉的物體作為參照物，作為判斷量大小的標(biāo)準(zhǔn)。此時(shí)，參照物就是一種度量單位，只不過(guò)不是國(guó)際通用的標(biāo)準(zhǔn)，而是我們?cè)谏鐣?huì)生活中經(jīng)常使用的事物。

《認(rèn)識(shí)千米》一課中，三位老師也特別重視引導(dǎo)學(xué)生從定量的角度分析和把握千米與其他長(zhǎng)度單位或生活參照物之間的關(guān)系。比如，她們都選擇了教室的長(zhǎng)度、操場(chǎng)跑道、學(xué)校周邊道路作為認(rèn)識(shí)和想象1千米的參照物，得到1000米大約就是100個(gè)10米長(zhǎng)的教室排在一起，200米的跑道跑5圈，250米的跑道跑4圈，400米的跑道跑2圈半。王雅雯老師還引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)出要用“以小見(jiàn)大”的方法來(lái)認(rèn)識(shí)1千米。特別地，謝志珺老師還提供了10米長(zhǎng)的公交車(chē)、20米高的旗桿、50米游泳賽道、200米環(huán)形跑道這些不同的學(xué)習(xí)素材，幫助學(xué)生從地面到天空、從陸地到水面、從直線(xiàn)距離到曲線(xiàn)距離等多維度感知1千米的表象，提升量感的靈活性。

（三）建立不同度量體系之間的聯(lián)系，挖掘量感的深刻性

1983年10月，第十七屆國(guó)際權(quán)度大會(huì)（又稱(chēng)計(jì)量大會(huì)）把“米”定義為：光于1/299792458秒內(nèi)在真空中所走的長(zhǎng)度。長(zhǎng)度單位和時(shí)間單位有著如此密切的聯(lián)系，我們也就不難理解教學(xué)長(zhǎng)度時(shí)為什么要關(guān)注所用的時(shí)間了。這還提醒我們，教學(xué)中除了關(guān)注靜態(tài)視角下長(zhǎng)度單位之間的關(guān)系，也要從動(dòng)態(tài)視角通過(guò)時(shí)間去認(rèn)識(shí)和理解長(zhǎng)度單位。

三位老師都有將長(zhǎng)度與時(shí)間聯(lián)系起來(lái)的教學(xué)設(shè)計(jì)。王雅雯老師讓學(xué)生通過(guò)親身體驗(yàn)走100米大約需要90秒，推出走1000米大約用時(shí)15分鐘，大約需要1400步。何瑩瑩老師則呈現(xiàn)信息“1步長(zhǎng)50厘米，走兩步大約用時(shí)1秒”，讓學(xué)生推算出“走1千米需要2000步，大約需要16分鐘”。然后，現(xiàn)場(chǎng)邊用平板電腦播放1名小學(xué)生繞操場(chǎng)走1000米的視頻，邊繼續(xù)上課。一段時(shí)間后，再觀察平板電腦中的學(xué)生是否走完了1000米。這種時(shí)間上的同步，有助于學(xué)生感受1000米很長(zhǎng)。謝志珺老師則設(shè)計(jì)了在電子地圖上導(dǎo)航從學(xué)校門(mén)口到公交車(chē)站大約1千米的同一段路程，當(dāng)選擇的交通工具不同時(shí)，所用的時(shí)間也不同。同時(shí)，通過(guò)VR游戲模擬摩托車(chē)行駛1000米的過(guò)程，讓學(xué)生感受1千米也可以“很短”。這也為今后認(rèn)識(shí)速度做了鋪墊——物體運(yùn)動(dòng)的速度影響著我們對(duì)1千米的感受，但1千米的長(zhǎng)度是不變的，在變化中可以更好地體會(huì)單位量的不變性、守恒性等特點(diǎn)，而這正是度量的本質(zhì)所在。

其實(shí)，將不同體系的度量單位聯(lián)系起來(lái)思考問(wèn)題，或者創(chuàng)造出新的度量單位，是人類(lèi)社會(huì)中經(jīng)常發(fā)生的事情。例如，我們將長(zhǎng)度單位和重量單位聯(lián)系起來(lái)，可以比較人的胖瘦，即體重指數(shù)BMI=（體重的千克數(shù)）：（身高的米數(shù)）2。這種用聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)看待事物，發(fā)展關(guān)系性理解的思路，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也是未來(lái)自主學(xué)習(xí)、終身學(xué)習(xí)必不可少的，這也有助于促進(jìn)量感走向深刻。

三、推理應(yīng)用度量結(jié)果，是量感形成的重要指標(biāo)

形成量感的最終目的是應(yīng)用。正如前文所述，對(duì)某一個(gè)具體事物的長(zhǎng)度、重量、面積、體積等屬性大小關(guān)系的判斷往往是基于單位量感知的推理和想象，是在計(jì)算、估測(cè)等定量分析后給出度量結(jié)果的過(guò)程。這是需要專(zhuān)門(mén)的練習(xí)或者訓(xùn)練的，絕不是通過(guò)一兩節(jié)課就能夠?qū)崿F(xiàn)的目標(biāo)。因此，就需要教師在教學(xué)過(guò)程中創(chuàng)設(shè)相關(guān)推理應(yīng)用的情境，讓學(xué)生能夠有機(jī)會(huì)“算”出量感、“估”出量感、“推”出量感和“用”出量感。

應(yīng)該說(shuō)，三位老師都給學(xué)生提供了推理應(yīng)用千米解決實(shí)際問(wèn)題的機(jī)會(huì)。謝志珺老師結(jié)合學(xué)生對(duì)“在生活中哪里會(huì)用千米做單位呢？”這個(gè)問(wèn)題的回答，相機(jī)出示了南京長(zhǎng)江大橋鐵路橋長(zhǎng)大約7千米、上海到南京高速公路的行駛距離大約310千米等學(xué)習(xí)材料。王雅雯老師先提供了從學(xué)校大門(mén)出發(fā)，沿兩條不同路線(xiàn)分別走約1千米后到達(dá)的地點(diǎn)，讓學(xué)生據(jù)此推測(cè)沿第三條路線(xiàn)走1千米后到達(dá)的位置；再讓學(xué)生估測(cè)從學(xué)校到“不老村”景區(qū)大約多少千米；然后啟發(fā)學(xué)生課后去尋找身邊還有哪些可以用千米表示的長(zhǎng)度。何瑩瑩老師設(shè)計(jì)的學(xué)校周邊旅游線(xiàn)路圖給學(xué)生推理應(yīng)用千米提供了很好的平臺(tái)。以上教學(xué)都注重從學(xué)生身邊熟悉的素材入手，逐步擴(kuò)大認(rèn)知的范圍，循序漸進(jìn)地幫助學(xué)生積累有關(guān)千米的經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生應(yīng)用量感解決問(wèn)題奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

從某種程度上說(shuō)，《認(rèn)識(shí)千米》一課是認(rèn)識(shí)噸、公頃等大的計(jì)量單位的“種子課”，它應(yīng)該教會(huì)學(xué)生用熟悉的度量單位（參照物）來(lái)推理或想象，發(fā)展關(guān)系性理解，并努力在日常生活中去應(yīng)用這些單位，逐步形成自己的量感。

參考文獻(xiàn)：

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