淺析整體思想教學在高中數(shù)學解題中的應用

華乾鋒

摘 要：隨著教育的發(fā)展，所謂整體思想是指探究解題過程中，從全局出發(fā)，把握問題的整體形式與結(jié)構(gòu)特征，而后進行的綜合分析以及處理的方法.對數(shù)學問題進行探究與解答時，把某些表面看來獨立不相干，但是其實存在緊密聯(lián)系的量進行整體的考量。進而培養(yǎng)數(shù)學思維的靈活性。此法不但能脫離傳統(tǒng)固定模式的制約，讓問題從復雜化轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵位⒛吧D(zhuǎn)變?yōu)槭煜せ?，甚至還能解決一些常規(guī)方法都無法解決的數(shù)學問題，尤其在高中數(shù)學的各方面都有著極其廣泛與實際性的應用。

關(guān)鍵詞：整體思想教學；高中數(shù)學；解題；應用

引言

伴隨著國內(nèi)教育改革進程的不斷深化，現(xiàn)階段我國的高中數(shù)學教學水平也得到了顯著提高。在新課改的大背景下，傳統(tǒng)的高中數(shù)學解題方式已經(jīng)不能夠再適應新時期的教學需求。高中數(shù)學涉及很多思想，其中整體思想有著廣泛的應用，用于解題能有效降低計算復雜度，提高解題效率，有助于學生更好地樹立解題的自信。教學中應做好相關(guān)習題類型的匯總以及展示，使學生在以后學習中遇到類似問題能夠迅速破題。

1整體思想在數(shù)學解題中的意義

對于高中數(shù)學解題而言，不僅是一種高效的解題思路，而且還是一種靈活的、立足于整體的宏觀數(shù)學思維。將整體思想運用到了數(shù)學解題當中，既能夠?qū)⒃緩碗s、交叉性強的數(shù)學問題變得直觀、立體，而且還可以利用視角放大的方式來對問題本身的結(jié)構(gòu)以及相關(guān)條件進行層次化處理，將解題過程變得更加簡潔。整體思想的運用，還能夠讓學生在枯燥、無趣的數(shù)學解題過程當中有效提高學生的數(shù)學學習興趣，讓學生具備舉一反三、即學即用能力的同時，將已經(jīng)掌握的數(shù)學知識點進行系統(tǒng)化地歸納與匯總。由此可見，整體思想在高中數(shù)學解題過程當中具有極為重要而且現(xiàn)實的意義。

2整體思想教學在高中數(shù)學解題中的應用

2.1用于解答數(shù)列習題

例：已知等差數(shù)列{an}中a1+a3+a9=20，則4a5－a7=（? ）。

A．20 B．30 C．40 D．50

分析該習題考查等差數(shù)列知識應用的靈活性，難度不大．目的在于通過運用整體思想進行解答，給學生帶來解題思路上的指引。解∵a1+a3+a9=20，則a1+a1+2d+a1+8d=20，即3a1+10d=20。4a5－a7=4（a1+4d）－（a1+6d）=3a1+10d=20，正確選項為A。應用點評遇到數(shù)列類型的習題，應積極回顧數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，采用整體思想進行求解，可避免在解題中走彎路，提高解題效率。

2.2用于解答圓錐曲線習題

高中圓錐曲線習題解題思路較為簡單，但實際動筆作答時若不注重整體思想的應用，計算非常繁瑣，很容易無功而返。教學中應引導學生多進行觀察與思考，把握相關(guān)方程的規(guī)律，將相關(guān)方程看成一個整體進行處理，以避免過多的計算。

例：已知拋物線y2=2px上有三點A（2，2），B，C，其中直線AB，AC是圓（x－2）2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為（? ）。

A．x+2y+1=0B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0D。x+3y+2=0分析將點A（2，2）代入y2=2px中易得y2=2x。①因為圓的方程為（x－2）2+y2=1，則r=1，設(shè)圓心為O，畫出拋物線和圓的圖象，如圖1所示。

因為AO=2，所以∠BAO=30°，則直線AB與x軸的夾角為60°，則直線AB的斜率為根號3，直線AC的斜率為負根號3，則直線AB的方程為y負根號2=3（x－2），②直線AC的方程為y負根號2=－3（x－2）。③如采用常規(guī)方法，將直線和拋物線聯(lián)立求出點B，C的坐標，難度較大，而采用整體法可大大簡化解題過程。具體做法為：②×③可得（y－2）2=3（x－2）2，將①代入替換x得到（y－2）2=3（y2－42）2=34（y+2）2（y－2）2，即34（y+2）2=1，展開得到3（y2+4y+4）=4，將①代入替換掉y2，得到3x+6y+4=0。故選B。

2.3在應用題中的應用

學困生有一個共同特點，看到題干較長的題目就畏縮不前，覺得自己肯定做不出來。而應用題一般都有比較長的文字描述，為了鼓勵學生大膽向前，同時啟發(fā)學生的數(shù)學思維，在解一些應用題時可利用整體思想化繁為簡，直擊問題的本質(zhì)，起到出奇制勝的教學效果。例：李明、陳紅和吳剛?cè)齻€人是同班同學，李明和陳紅分別從自家出發(fā)朝對方家步行，他們兩家的距離為30km，李明的速度是2km/h，陳紅的速度是1km/h.吳剛則以5km/h的騎行速度往返于李明和陳紅之間，若三人同時出發(fā)，至兩人相遇，吳剛騎行的路程是多少千米？本題待求的量是吳剛騎行的路程，首先要知道吳剛與其他兩人中的一人相遇騎行的路程，再將各段路程加在一起就是待求距離.此過程次數(shù)繁多，計算復雜，難免會出現(xiàn)紕漏.從整體思想的角度去思考，只要從“路程=速度×時間”的公式著手即可.吳剛的騎行速度是5km/h，他所騎行的時間就是李明與陳紅相向而行至相遇所花費的時間.列式為：30÷（2+1）=10h，5×10=50km.從這個角度來思考，問題變得異常清晰，解題不再有什么障礙，因數(shù)據(jù)比較小且容易計算，更加不會因計算失誤而導致錯誤的發(fā)生.應用題主要是為了訓練與考查學生的思維能力，整體思想在本題的應用，即實現(xiàn)了對問題的再創(chuàng)造，又有效地激發(fā)了學生的數(shù)學思維.因此，整體思想的運用是解決應用題的法寶之一。

2.4利用整體思想化繁為簡

在高中數(shù)學當中的‘整體代換’是其中重要的組成，是運用新元性質(zhì)以及計算公式進行代換的方式來將計算復雜的公式變得簡單化，以確保學生能夠輕松地解決數(shù)學問題。高中數(shù)學當中有一些內(nèi)容是關(guān)于非實際數(shù)值問題的，這些內(nèi)容的主要成分是多項式，所得出的結(jié)果是某個公式，也有可能是某個字母。因為多項組成內(nèi)容復雜且計算量大，因此容易出錯。例如，教師在講解（a1+a2+...an-1）*（a2+a3+...an-1+an）-（a2+a3+...+an-1）*（a1+a2+...an-1+an）這個多項式的時候，若依據(jù)題目逐一計算只會將計算過程變得復雜、冗長，若將這個多項式變化后并運用整體代換思維就能夠輕松解決問題。設(shè)a2+a3+...an-1是未知數(shù)x，那么原數(shù)值為（a1+x）*（x+an）-x*（a1+x+an），再依據(jù)該算式的結(jié)構(gòu)進行簡化后的所得出的答案為a1an。由此可見，通過這種整體代換的方式不但可以有效地提高學生的數(shù)學解題速率，而且還可以明顯減少學生的計算時間與難度，可謂是一舉多得。

結(jié)語

利用整體思想簡便了運算，對一些偏難的常規(guī)思維比較難解決的問題，可以得到巧妙地解決。我們?nèi)粘５臄?shù)學教學不能滿足于單純的知識傳授，就題論題，搞題海戰(zhàn)術(shù)，應該在學生已有知識與應用能力上架一座橋梁，使學生能夠掌握最本質(zhì)的東西———這就是數(shù)學思想方法。對數(shù)學思想方法的理解、掌握并能靈活運用，才是創(chuàng)造力培養(yǎng)的有效途徑。

參考文獻

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