體現(xiàn)學(xué)習(xí)過程 關(guān)注核心素養(yǎng)

喬太華 蔡同玉

[摘? 要] 如何踐行“課標(biāo)”中對“學(xué)習(xí)過程”的要求，是命題者必須思考的問題，命題時(shí)選擇一個(gè)幾何圖形的研究過程作為壓軸題，是評價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的新嘗試. 文章從一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋尘伴_始，引導(dǎo)學(xué)生就某個(gè)特征，從如何下定義到研究性質(zhì)和判定進(jìn)行思考探究，能較好地體現(xiàn)試題的指標(biāo)，讓學(xué)生真切地感悟數(shù)學(xué)思想的真諦，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 學(xué)習(xí)過程;問題設(shè)計(jì);思維線索;背景設(shè)計(jì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“課標(biāo)”）要求數(shù)學(xué)教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、思考、探索、交流等獲得基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 這一要求強(qiáng)調(diào)了學(xué)習(xí)的過程性. 同時(shí)“課標(biāo)”指出：“在書面測驗(yàn)中，積極探索可以考查學(xué)生學(xué)習(xí)過程的試題，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)過程.”如何踐行“課標(biāo)”中對“學(xué)習(xí)過程”的要求，本文以一道階段測試題為例，粗淺地談?wù)勗囶}的命題過程及感悟.

命題立意

在學(xué)生學(xué)完蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級上冊第1章“全等三角形”、第2章“軸對稱圖形”和第3章“勾股定理”后，筆者決定進(jìn)行一次階段測試對教學(xué)進(jìn)行評估，根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容決定將階段測試卷的最后一題設(shè)計(jì)為考查學(xué)習(xí)過程的試題. 前兩章主要研究的是幾何圖形，“課標(biāo)”要求引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討、運(yùn)動(dòng)、位置確定等過程，掌握幾何圖形的基礎(chǔ)知識和基本技能，以及參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理和演繹推理的能力，清晰地表達(dá)自己的想法. 鑒于此，結(jié)合考試與課堂教學(xué)的區(qū)別，編擬試題時(shí)應(yīng)著重體現(xiàn)出研究一個(gè)幾何圖形的基本路徑：現(xiàn)實(shí)背景—定義—性質(zhì)—判定，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、畫圖、猜想等活動(dòng)過程. 筆者著重考查學(xué)生的閱讀理解、類比學(xué)習(xí)、推理驗(yàn)證等能力，檢驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的潛能，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探究的習(xí)慣.

命題過程

1. 素材選擇

首先選擇以“三角形全等”和“等腰三角形”為背景的新定義試題，而對“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究一直是命題的熱點(diǎn)，因此筆者決定選取這個(gè)素材進(jìn)行命題. 關(guān)于這個(gè)素材絕大多數(shù)研究的套路是如何證明這兩個(gè)三角形全等，筆者決定改變這個(gè)套路，選擇將上述情形作為一個(gè)研究對象，研究它的定義、性質(zhì)、判定、應(yīng)用.

試題如何給出定義？新定義型試題一般都是先給出定義，而學(xué)習(xí)過程是先給出背景，然后通過抽象歸納出本質(zhì)特征后得到定義的. 因此筆者決定不直接給出定義，而是先給出背景，讓學(xué)生進(jìn)行自主抽象歸納得到圖形的本質(zhì)特征. 研究“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形的方法是課本所倡導(dǎo)的圖形變換的方法，發(fā)現(xiàn)“滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”兩個(gè)三角形可以拼成等腰三角形，筆者決定以這兩個(gè)圖形為線索進(jìn)行命題. 基于以上思考，形成試題初稿.

2. 初稿

【發(fā)現(xiàn)】

在△ABC中，AC=AB，D是BC上任意一點(diǎn). 小剛觀察圖1時(shí)，發(fā)現(xiàn)等腰三角形ABC是由△ABD與△ACD拼接而成的.小剛覺得能拼接成一個(gè)等腰三角形的兩個(gè)三角形之間會有值得研究的內(nèi)容，他把具備“有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等且能拼成等腰三角形”特征的兩個(gè)三角形定義為“等互補(bǔ)三角形”. 請你幫助小剛進(jìn)行探索.

【探究】

（1）等互補(bǔ)三角形的邊與邊、角與角之間會有什么關(guān)系？

填空：_____________.

（2）等互補(bǔ)三角形的判定方法有哪些？如圖2，請寫出兩個(gè)即可，并選擇一個(gè)進(jìn)行證明.

①已知：________，求證：△ABC與△DFE是等互補(bǔ)三角形.

②已知：________，求證：△ABC與△DFE是等互補(bǔ)三角形.

【應(yīng)用】

（3）已知：如圖3，在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，請用尺規(guī)在平面找一點(diǎn)D，使△ABD與△ABC是等互補(bǔ)三角形.

（4） 如圖4，在△ABC中，∠B=∠C=30°，點(diǎn)E，F(xiàn)，D分別在AB，AC，BC上，且∠EDF=60°，若BE+CF=a，求BC的長.

反思 本題就是一個(gè)全等三角形研究過程的縮小版. 先給出一個(gè)背景、一個(gè)圖形的定義，但是圖形的相關(guān)特征需要考生去觀察、思考、歸納，然后研究性質(zhì)、判定和應(yīng)用，整個(gè)過程開放性較大. “發(fā)現(xiàn)”部分模擬了平時(shí)學(xué)習(xí)的一個(gè)片段，引出概念的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，提升學(xué)生的綜合探究能力. 選擇“拼成等腰三角形”作為概念的特征，與全等的概念類似，這樣學(xué)生能順利地借鑒研究全等三角形的方法. “探究”部分主要是研究等互補(bǔ)三角形的性質(zhì)和判定，目的是要讓學(xué)生類比全等三角形的性質(zhì)和判定的研究方法. 性質(zhì)直接根據(jù)定義是容易得到的，用符號表示或用文字表述都可，充分考查學(xué)生的表達(dá)能力;對于判定要求選擇一個(gè)進(jìn)行證明，從邊角考慮有三種證明方法，其中有兩種比較簡單，可考查學(xué)生的辨析能力. 從性質(zhì)選取適當(dāng)?shù)慕Y(jié)論作為條件，具有一定的探究性. “應(yīng)用”部分不但考查性質(zhì)和判定的應(yīng)用，而且考查了拼圖、割補(bǔ)的轉(zhuǎn)化方法. 整個(gè)過程具有關(guān)聯(lián)性和生長性，能考查學(xué)生對研究幾何對象的過程的掌握情況.

但是通過試做發(fā)現(xiàn)，學(xué)生要表達(dá)清楚“探究”中的性質(zhì)還是有一定的困難，將其放在第一問的起點(diǎn)偏高;判定的探索和證明過于開放，因?yàn)樵谧C明中要將圖形進(jìn)行割補(bǔ)和分類，在這里難度較大. 同時(shí)分值設(shè)置方面，最后一題一般10～12分，這些問題的分值不容易確定. 基于上述反思，形成試題二稿.

3. 二稿

【發(fā)現(xiàn)】

在△ABC中，AC=AB，D是BC上任意一點(diǎn). 小剛觀察圖5時(shí)，發(fā)現(xiàn)等腰三角形ABC是由△ABD與△ACD拼接而成的.小剛覺得能拼接成一個(gè)等腰三角形的兩個(gè)三角形之間應(yīng)該有值得研究的內(nèi)容，他把具備這個(gè)特征的兩個(gè)三角形定義為等互補(bǔ)三角形. 請你幫助小剛進(jìn)行探索.

【探究】

（1）等互補(bǔ)三角形的性質(zhì)有哪些？即等互補(bǔ)三角形的邊與邊、角與角之間會有什么關(guān)系？

填空：等互補(bǔ)三角形中，有兩組邊分別相等，其中一組相等的邊所對的角_______，另一組相等的邊所對的角_______.

（2）等互補(bǔ)三角形的判定方法有哪些？

①小剛探索得到如下判定：

如圖6，已知：AC=DE，CB=EF，∠A=∠D，且∠ABC與∠DFE不同為銳角或鈍角，求證：△ABC與△DFE是等互補(bǔ)三角形.

小剛觀察圖5發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)?組邊BD與CD出現(xiàn)相等這種特殊情形時(shí)，∠ADB=∠ADC=90°，顯然當(dāng)圖6中∠ABC=∠DFE=90°時(shí)，△ABC與△DFE是等互補(bǔ)三角形. ∠ABC與∠DFE不等于90°怎么辦呢？不妨設(shè)∠DFE<∠ABC，然后轉(zhuǎn)化為全等或等腰三角形即可，所以本題可分兩種情形進(jìn)行證明. 請完成證明.

②如圖6，請?jiān)賹懗鰞蓚€(gè)類似的判定，不要求證明. 填空：

已知______，那么△ABC與△DFE是等互補(bǔ)三角形;或已知_______，那么△ABC與△DFE是等互補(bǔ)三角形.

【應(yīng)用】

（3）如圖7，在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，請用尺規(guī)在平面找一點(diǎn)D，使△ABD與△ABC是等互補(bǔ)三角形.

（4）如圖8，在△ABC中，∠A=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且EC≠BF，BE=EF=FC，∠ECB=30°，BF+EC=8，求BC的長.

反思 因?yàn)閷W(xué)生在用語言描述命題時(shí)，語言表達(dá)上往往很難嚴(yán)謹(jǐn)，所以將“探索”部分的第（1）題改為填空，指出性質(zhì)探索的方向，降低起點(diǎn). 其實(shí)性質(zhì)中涉及四個(gè)方面，只需把其中三個(gè)作為條件即可得到等互補(bǔ)三角形的判定，但是若有條件證明兩個(gè)角互補(bǔ)時(shí)，很容易就能證明等互補(bǔ)三角形，因此改為先給出一個(gè)判定，然后引導(dǎo)進(jìn)行證明. 其實(shí)這個(gè)命題的證明需要分類，同時(shí)特殊情形也為一般情形的證明提供了方法，即作垂直利用全等即可，當(dāng)然本題也可以割或補(bǔ)出一個(gè)等腰三角形，再證一次全等即可，這是最常見的思路，學(xué)生應(yīng)該能想到. 最后一問中既需要考慮性質(zhì)又需要考慮判定，考查的過程基本完整，同時(shí)把兩個(gè)三角形進(jìn)行了另一種拼圖. 只要學(xué)生有意識地去找等互補(bǔ)三角形，就能獲得思路. 在確定等互補(bǔ)三角形后，利用圖5或直接割補(bǔ)再作垂直都可以求解，只要運(yùn)用題目中涉及的方法和知識就能解決問題. 恰當(dāng)?shù)奶崾灸芙o學(xué)生留下深刻印象，因?yàn)闇y試時(shí)的思維的高度集中，有利于刺激加強(qiáng)，所以在測試時(shí)涉及一些重要方法提示，有利于學(xué)生掌握這些方法.

試題首先給出一個(gè)模擬學(xué)生的探究活動(dòng)的背景，這既是為了得出概念的需要，又提示學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要做一個(gè)有心人. 探究問題處處有，如何應(yīng)用描述性概念，需要學(xué)生自己先去抽象歸納定義，然后研究性質(zhì)，再研究判定，最后應(yīng)用. 對于性質(zhì)給出了提示，但是判定需要學(xué)生自主去探究，這充分考查了如何得到定義，如何根據(jù)性質(zhì)得到判定的過程. 對于判定先給予提示，然后要求完成，提示暗示了研究問題的策略，從特殊入手，一般可以轉(zhuǎn)化為特殊，也可以向其他方向轉(zhuǎn)化，最后一問在確定是等互補(bǔ)三角形后即可回到定義拼為圖5，也可利用證明判定的方法進(jìn)行求解. 但是仔細(xì)回味，覺得性質(zhì)的提示太直接了，并沒有對性質(zhì)提煉過程的考查. 基于上述反思，形成試題定稿.

4. 定稿

【發(fā)現(xiàn)】

在△ABC中，AC=AB，D是BC上任意一點(diǎn). 小剛觀察圖9時(shí)，發(fā)現(xiàn)等腰三角形ABC是由△ABD與△ACD拼接而成的. 小剛覺得能拼接成一個(gè)等腰三角形的兩個(gè)三角形之間應(yīng)該有值得研究的內(nèi)容，他把具備這個(gè)特征的兩個(gè)三角形定義為等互補(bǔ)三角形.請你幫助小剛進(jìn)行探索.

【探究】

（1）等互補(bǔ)三角形的性質(zhì)有哪些？

填空：如圖10，若將C與E且B與F重合（點(diǎn)A，D在CB兩側(cè)），可拼成等腰三角形，那么_______. （寫出3個(gè)以上的結(jié)論）

（2）等互補(bǔ)三角形的判定方法有哪些？

①小剛經(jīng)探索得到一種判定：若兩個(gè)三角形，有兩組邊分別對應(yīng)相等且其中一組等邊所對的角對應(yīng)相等，另一組等邊所對的角不同為銳角或鈍角，那么這兩個(gè)三角形是等互補(bǔ)三角形.

小剛進(jìn)行了如下分析：

已知：△ABC與△DFE中，AC=DE，CB=EF，∠A=∠D，且∠ABC與∠DFE不同為銳角或鈍角，求證：△ABC與△DFE是等互補(bǔ)三角形.

小剛觀察圖9發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)?組邊BD與CD出現(xiàn)相等這種特殊情形時(shí)，∠ADB=∠ADC=90°，顯然當(dāng)圖10中∠ABC=∠DFE=90°時(shí)，△ABC與△DFE是等互補(bǔ)三角形.∠ABC與∠DFE不等于90°怎么辦呢？轉(zhuǎn)化思想是法寶，不妨設(shè)∠DFE<∠ABC，然后將其轉(zhuǎn)化為全等或等腰三角形即可，因此本題可分兩種情形進(jìn)行證明. 請完成證明.

②如圖10，請?jiān)賹懗鰞蓚€(gè)類似的判定，不要求證明.

【應(yīng)用】

（3）如圖11，在△ABC中，∠A=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且EC≠BF，BE=EF=FC，∠ECB=30°，EC+BF=8，求BC的長.

反思 選擇圖形的組成要素來研究圖形的性質(zhì)和判定是一種基本思路，因?yàn)檫@里無法確定對應(yīng)邊和對應(yīng)角，所以必須給出提示，否則學(xué)生很難表達(dá)清楚. 這時(shí)回到定義中去，讓學(xué)生結(jié)合圖形并根據(jù)定義將對應(yīng)關(guān)系確定好，用重合進(jìn)行表達(dá)，不影響學(xué)生對性質(zhì)和判定的發(fā)現(xiàn)與研究過程的考察.

定稿中“發(fā)現(xiàn)”部分一改之前直接給出條件限制的“新定義”的方法，而是給出一個(gè)模擬自主學(xué)習(xí)的片段. 學(xué)生根據(jù)等互補(bǔ)三角形這個(gè)名稱去自主探索圖形，充分考查了自身的抽象概括能力. “探索”部分考查了“圖形的性質(zhì)和判定研究什么和怎么研究”的過程，性質(zhì)和判定研究的是圖形的組成要素和相關(guān)要素之間的位置、大小等關(guān)系，除此之外，我們還要重點(diǎn)研究性質(zhì)與判定的互逆關(guān)系. 這些都由學(xué)生自主去探究，如果學(xué)生沒有積極參與平時(shí)的學(xué)習(xí)，那么他們不知道該探究什么和如何去探究，充分體現(xiàn)了學(xué)習(xí)過程的重要性. 等互補(bǔ)三角形的組成要素是邊和角，關(guān)于它們的性質(zhì)一般有四個(gè)，兩組邊等、一組角等、一組角互補(bǔ)，判定可以從中任意選取三個(gè)作為條件，而其中有兩個(gè)的證明較難，但是方法基本一樣. 這里選擇一個(gè)并做了一些提示，目的是降低難度，讓題目更有梯度. “應(yīng)用”部分的試題倒不是太難，關(guān)鍵是如何讓學(xué)生應(yīng)用上述知識來解決. 解題的關(guān)鍵是學(xué)生要有概念意識，先根據(jù)條件找一找有沒有等互補(bǔ)三角形，然后運(yùn)用“發(fā)現(xiàn)”中的圖形意義及“探究”中的判定證明方法（拼、分、補(bǔ)、作垂直等）. 整個(gè)過程設(shè)置流暢，梯度明顯，難度恰當(dāng)，暗含線索，充分展現(xiàn)了研究幾何對象的方法和內(nèi)容，體現(xiàn)了對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的考查，培養(yǎng)了學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、探究能力、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考答案：

（1）AC=DE，CB=EF，∠A=∠D，∠ABC+∠DFE=180°.

證明 當(dāng)∠ABC=∠DFE=90°時(shí)，將C與E，B與F重合，因?yàn)椤螦BC+∠DFE=180°，所以A，B，F(xiàn)，D在一條直線上，即可拼成等腰三角形，△ABC與△DFE是等互補(bǔ)三角形.

（2）①不妨設(shè)∠DFE<∠ABC，則AB

②若兩個(gè)三角形，有兩邊相等且其中一組等邊所對的角互補(bǔ)，那么這兩個(gè)三角形是等互補(bǔ)三角形;若兩個(gè)三角形，有一組角相等，一組角互補(bǔ)，且相等角的對邊相等，那么這兩個(gè)三角形是等互補(bǔ)三角形;若兩個(gè)三角形，有一組角相等，一組角互補(bǔ)，且互補(bǔ)的角的對邊相等，那么這兩個(gè)三角形是等互補(bǔ)三角形. 也可以結(jié)合圖10用已知和求證進(jìn)行表達(dá).

（3）方法不唯一，提供一種. 由∠A=60°得∠ABC+∠ACB=120°，又由BE=EF=FC，得∠EBF=∠EFB，∠FEC=∠FCE，則得∠EBF+∠FCE=∠FEC+∠EFB=∠FBC+∠ECB，所以∠FBC+∠ECB=60°. 又∠ECB=30°，所以∠ECB=∠FBC=30°. 所以△EBC與△FBC是等互補(bǔ)三角形.所以∠BEC+∠CFB=180°，將△EBC與△FBC拼成等腰三角形，即可得到BC=.

命題感悟

1. 選擇有價(jià)值的問題情境

在平時(shí)的作業(yè)中，若能多出現(xiàn)一些學(xué)生學(xué)習(xí)過程的背景，使學(xué)生在解題的同時(shí)，也能激發(fā)相應(yīng)的情緒感應(yīng). 這是一種潛移默化的學(xué)習(xí)方法的滲透，學(xué)生經(jīng)常去做這樣的題目就會受到感染，獲得啟示，從而會不自覺地進(jìn)行模仿，運(yùn)用這些方法進(jìn)行學(xué)習(xí). 背景可以選擇一個(gè)知識的形成過程，或?qū)δ硞€(gè)問題的思考和交流過程，或?qū)δ硞€(gè)錯(cuò)誤的交流糾錯(cuò)過程，或?qū)δ硞€(gè)問題的自主探究過程. 這些過程可以白描、對話或卡通圖示等方式出現(xiàn)，形式盡量活潑一點(diǎn)，語言要簡潔、精煉.

2. 設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)過程

將一個(gè)學(xué)習(xí)過程通過問題進(jìn)行呈現(xiàn)是一件比較難的事，學(xué)習(xí)的過程情境性較濃，有時(shí)需要根據(jù)問題的回答引出下面的問題. 在設(shè)計(jì)引導(dǎo)問題時(shí)，要突出核心內(nèi)容，那就是一般的思維方法、思想、體現(xiàn)核心素養(yǎng)的元素等. 如新概念的抽象過程、研究數(shù)學(xué)對象的基本套路;學(xué)生之間的交流探究過程中，如何去感悟、理解、接受、質(zhì)疑同學(xué)的觀點(diǎn)，自我反思的過程等. 本題中，對于等互補(bǔ)三角形的概念只是描述性的，需要學(xué)生自己去觀察提煉特征;對性質(zhì)的研究給出了條件，但未告知結(jié)論，需要學(xué)生知道研究的圖形的幾何要素是什么，否則抓不住關(guān)鍵點(diǎn);給出一個(gè)判定，通過指示提醒學(xué)生思考的方向，而具體怎么做，還需要學(xué)生有一定的思維能力，這些都充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 過程引導(dǎo)過細(xì)，無法考查學(xué)生的探究過程;過程太開放，學(xué)生無法把握住關(guān)鍵點(diǎn)，因此怎樣設(shè)問就顯得特別重要. 不能把一個(gè)探究過程設(shè)計(jì)為課堂鞏固練習(xí)的形式，只有過程之形卻無探究之實(shí)，第二稿便具有這樣的特征.

3. 鋪設(shè)自然的思維線索

問題中的每個(gè)小問最好能環(huán)環(huán)相扣，逐步遞進(jìn)，形成一個(gè)小型的類似“科研”的過程，從而能有效地考查學(xué)生科學(xué)的思維方式，而不是讓學(xué)生單純地做幾個(gè)題目. 如幾何概念的定義過程，首先如何用數(shù)學(xué)的眼光觀察一類事物，其次定義一個(gè)幾何對象要完成哪些事情（背景—定義—表示—分類），最后如何確定分類標(biāo)準(zhǔn)（幾何對象組成要素的關(guān)系），引導(dǎo)學(xué)生從這些方面思考. 對于一類數(shù)學(xué)對象，無論是幾何對象還是代數(shù)對象，“特殊情形”往往是很重要的. 相應(yīng)的，“特殊化”也是發(fā)現(xiàn)和提出問題的重要方法. 針對這些教師可以思考，如何通過問題將這些數(shù)學(xué)的思維方式展現(xiàn)出來. 教師還可以將一些常用的數(shù)學(xué)思想方法作為一條主線，從簡單的問題開始，逐步提升難度，讓學(xué)生邊解決簡單的問題邊反思，通過對每個(gè)小題進(jìn)行類比，不斷將深層次的問題向簡單的問題轉(zhuǎn)化，從而獲得解決問題的方法.

這樣命題意在引導(dǎo)教師不要把數(shù)學(xué)教學(xué)理解為單一的解題教學(xué)，而要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和方法，重視對新知識、新概念、新方法的探究過程，多組織有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，多創(chuàng)造學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會，多讓學(xué)生真正經(jīng)歷知識的形成和應(yīng)用過程，在過程中感悟數(shù)學(xué)思想，在過程中積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)探究能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).