點動成線，線動成面，面動成體

［摘? 要］ 教師只有在理解數(shù)學知識的基礎上，把握學生的認知基礎，通過精心創(chuàng)設問題情境，精準把脈知識的發(fā)生、發(fā)展過程，才能與學生產(chǎn)生共鳴，從而突破重、難點，提升學生的思維能力. 在教學過程中，以情境教學為起點，以教學任務為走向，以問題設計為驅動，以問題解決為目標，架構知識教學聯(lián)結性，可以使學生在潛移默化中習得知識，這也體現(xiàn)了學科的育人價值.

［關鍵詞］ 問題情境；問題關聯(lián)；問題解決；知識生成；思維發(fā)展

“線段的垂直平分線的性質”是人教版八年級上冊13.1.2的內容，教學這一內容時，要促進學生知識合理生成，促進學生思維合理發(fā)展，對一線教師來說并不容易，教學這堂課對教師來說都是一個不小的挑戰(zhàn). 筆者受邀觀看一區(qū)級賽課，其中一位選手獲得了一致好評，現(xiàn)將這堂課的教學過程整理出來，并闡述自己的一些思考.

基本情況分析

1. 教學內容及解析

本節(jié)內容有線段的垂直平分線的性質、線段的垂直平分線的判定、線段的垂直平分線的集合定義以及尺規(guī)作圖. 在此之前，學生已經(jīng)學習了全等及軸對稱的相關知識，知道了軸（成軸）對稱的定義、線段的垂直平分線的定義以及軸對稱的性質，本節(jié)內容是在學生前面所學知識的基礎上，進一步研究線段的垂直平分線的性質，能為后面學習畫軸對稱圖形、等腰三角形以及最短路徑問題打基礎. 因此，本節(jié)課的學習能為學生的系統(tǒng)學習、更好地梳理知識起到鋪墊作用. 由此，可將本節(jié)課的教學重點確定為：線段的垂直平分線的性質和判定.

2. 教學目標及解析

本節(jié)內容的教學目標為：（1）理解并掌握線段的垂直平分線的性質和判定定理，了解線段的垂直平分線是到線段兩端點距離相等的點的集合；（2）會利用線段的垂直平分線的性質及判定定理進行簡單的推理、計算.

達成上述目標的標志是：（1）通過實際操作，經(jīng)歷線段的垂直平分線的性質和判定定理的形成過程；通過觀察、探究、猜想、證明，構建線段的垂直平分線的性質和判定定理；借助信息技術形象感知線段垂直平分線的集合定義. （2）學生能夠在合作探究及展示的過程中大膽表達，最終解決問題，體驗用數(shù)學的眼光看待事物，發(fā)展學生的演繹推理能力.

3. 教學問題診斷分析

本節(jié)課的教學是基于學生對事物的基本認識過程而設計的. 學生在上一章已經(jīng)學習了三角形的全等和角平分線的性質，這些知識能為線段的垂直平分線性質的學習做好知識準備. 本章第一節(jié)“軸對稱”的學習，使得學生對線段的垂直平分線的學習有了一定的認識，但由于線段的垂直平分線的判定比較抽象，學生難以理解，所以教師教學時應深入淺出地講解. 理解“線段的垂直平分線是到線段兩個端點的距離相等的點的集合”需要建立在對線段的垂直平分線的性質和判定的理解基礎上，所以難度較大，由于學生沒有軌跡的概念，因此理解起來很困難，故教學時要求教師結合圖形進行說明. 由此可將本節(jié)課的教學難點確定為：線段的垂直平分線的判定以及線段的垂直平分線的集合定義.

教學過程展示

1. 情境引入，激活思維

師：（引入語）古人說，“凡事預則立，不預則廢”. 在每個人的心中，都有一座美麗的校園，你們想設計一下嗎？現(xiàn)在，和老師一起，拿起你面前的白紙，一起來規(guī)劃這座美麗的校園吧！

師：我們折疊這張紙，使得下方和這張紙的右邊重合，再在折出來的圖形上用筆任意取一個點，不妨設為A點，這個點就是我們要修建的圖書館的位置. 把這張紙展開，我們就得到了一個與點A對應的點，假設為點B，這個點是我們要修建的教學樓的位置，這條折痕是我們學校的主干道，我們用l來表示. 連接AB，根據(jù)前面所學的知識，我們知道l是線段AB的垂直平分線.（如圖1所示）

師生活動：教師在黑板上現(xiàn)場展示，學生跟隨教師的節(jié)奏自己動手操作.

教學分析? 創(chuàng)設問題情境能調動學生的參與積極性，能引發(fā)學生的認知沖突? ［1］. 學生只有經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程，才能感悟知識的實質. 教學時，教師不僅要讓學生明白“學什么”，還要讓學生明白“為什么學”，這樣學生才能真正地領悟線段的垂直平分線的性質與判定. 教師進行情境教學的素材來源于學生熟悉的事物，這正是學生思維的觸發(fā)點，能激發(fā)學生的學習興趣，且教師在教學過程中將情境的創(chuàng)設指向學習目標，這就能引發(fā)學生的探究興趣，能為接下來的高效教學開路.

2. 感受新知，探究本質

問題1：在l上任意取一點P，連接PA，PB，比較PA和PB的長短.

追問1：比較兩條線段的長短，有哪些方法？

追問2：類比學習角平分線的性質，我們可以先測量線段的長度. 請同學們用直尺測量PA，PB兩條線段的長度.

追問3：除了測量，你們還有其他比較線段長短的方法嗎？（眾生：證全等）

追問4：一會兒我會專門介紹這個方法. 大家發(fā)現(xiàn)了嗎？一開始我們在折紙，翻折一下，PA和PB能重合嗎？

追問5：人工操作往往存在誤差，因此我們可以借助計算機來進行驗證. 已知線段AB， l是線段AB的垂直平分線，現(xiàn)在我們在l上任意取一點P，連接PA，PB，大家看看PA和PB是否相等. （幾何畫板具有度量功能，能測量出PA，PB的長度）

追問6：現(xiàn)在我們讓點P在l上移動，請大家觀察PA，PB的長度是否依然相等.

追問7：通過實驗，我們可以猜想，線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離？

生：相等.

師：現(xiàn)在，請同學們在學案上寫下我們的猜想.

師生活動：學生跟隨教師的節(jié)奏，通過動手測量、翻折、幾何畫板度量、直觀感知等操作，初步感知了線段的垂直平分線的性質，引發(fā)了學生探究線段的垂直平分線的性質的欲望.

教學分析? 觀察、猜想、證明等數(shù)學活動，是學生理解性質的必備過程，且探究過程應進一步體現(xiàn)數(shù)學知識生成的合理性. 學生通過測量、翻折、幾何畫板度量、直觀感知等操作，加深了對性質探究過程的理解，促進了思維的合理發(fā)展.

問題2：剛才有同學提到可以通過全等來證明PA=PB，現(xiàn)在我們就通過幾何證明來驗證. 要想證明全等，我們得先找到已知和求證，已知是什么？

生：l⊥AB，AC=BC（C為AB的中點）.

追問1：我們再嚴謹一些，要加上點P在l上，求證的是什么？

生：PA=PB.

追問2：證明全等需要幾個條件？

追問3：要證明全等，現(xiàn)在我們有幾個條件？

追問4：要證明全等，我們還差哪一個條件？

追問5：我們知道點P是l上任意一點，那點P在l上運動時，P，C，A三點一定會構成三角形嗎？

追問6：我們現(xiàn)在證明的是點P不在線段AB上，那點P在線段AB上的情形呢？

例1? 如圖2所示，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點E，交AC于點D，連接BD.

（1）若AD=9 cm，則 BD=____cm；

（2）若AC=20 cm，△DBC的周長為35 cm，則BC的長為____cm.

師生活動：教師引導學生驗證猜想PA=PB，并板書證明過程. 此過程由師生共同完成. 接下來教師指導學生完成例1，過程中師生齊答，教師則展示解答過程.

教學分析  教師引導學生論證性質，逐漸將線段的垂直平分線的學習引向深入，從而加深學生對性質的理解. 在進行推理的過程中，教師運用分類討論思想，完善了對性質的證明，培養(yǎng)了學生嚴密的邏輯思維能力.

問題3：現(xiàn)在我們將這個性質的條件和結論互換位置，換位置后還成立嗎？也就是到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上嗎？

追問1：我們解決例1時得到了AD=BD，反過來，如果AD=BD，那點D在線段AB的垂直平分線上嗎？

追問2：怎么證明？

生：作輔助線.

追問3：因為我們要證明的結論中有兩部分，一是垂直，二是平分，所以可以利用輔助線，先給出其中一個結論，再證明另一個結論. 比如取AB的中點E，此時DE就是 AB邊上的中線（如圖3所示），那現(xiàn)在我們只需要證明什么？

生：證明垂直.

追問4：要證垂直，也就是證∠AED=∠ BED，可以采用什么方法？

追問5：當然，也可以過點D作AB邊的高線DE（如圖3所示），那現(xiàn)在只需要證明什么？用什么方法證明？

師生活動：教師不斷追問，完成對線段的垂直平分線判定的證明. 教師展示證明過程，完成文字語言和符號語言的書寫.

教學分析? 線段的垂直平分線的判定抽象程度較高，學生理解晦澀，在本堂課中，教師并沒有采用常規(guī)的方法——將性質的條件和結論倒置，引導學生證明，而是充分挖掘例1的價值，將學生置于具體的問題情境中，通過由具體到抽象的思路，引導學生逐步完成對判定的證明. 學生完成例1輕而易舉，教師引導學生再次挖掘，學生突破判定不再費力.

3. 合作探究，集思廣益

例2? 如圖4所示，AD=BD，AP=BP，DP與AB交于點E，證明：DP⊥AB，AE=BE.

師生活動：教師展示例2，學生分小組討論，教師適時輔導，學生整理出結果后分小組展示. 多數(shù)學生利用“SAS”來證明結論，教師引導學生通過線段垂直平分線的判定定理來解決問題.

教學分析? 學生小組合作探究，運用已有知識來思考并解決問題，逐漸形成知識共同體. 教師同時參與討論，給出中肯的建議與評價，幫助學生進行更深入的學習，滲透了“以解決問題為目標，以加強學生學習主動性為原則，以學習過程互動化為手段”的核心思想? ?［1］. 學生利用全等三角形來證明，教師在肯定學生討論結果的同時，引導學生利用剛才學習的線段的垂直平分線的判定來解決問題，培養(yǎng)了學生應用知識的能力和思維發(fā)散能力.

問題4：例2中有兩個點到線段AB兩端點的距離相等，還能找到更多的點嗎？

追問1：現(xiàn)在我們要去找等線段，仍然可以借助圓規(guī). 任意取一個大于線段AB一半的半徑，即半徑大于 AB，再分別以A，B兩點為圓心畫圓弧，它們的交點到A，B兩點的距離相等嗎？

追問2：改變半徑，再分別以A，B兩點為圓心畫圓弧，這時我們又得到一個交點，這個交點到A，B兩點之間的距離相等嗎？

追問3：同樣地，我們也可以在線段AB的下方找到點（教師邊說邊演示），這個點到A，B兩點之間的距離相等嗎？（如圖5所示）

追問4：運用同樣的方法我們可以找到很多這樣的點，這些點到A，B兩點之間的距離相等嗎？（如圖6所示）

追問5：它們是怎樣的一條軌跡？

師生活動： 教師利用圓規(guī)進行演示，學生觀察并回答；教師再借助幾何畫板動態(tài)演示，學生發(fā)現(xiàn)這些點構成了一條直線，接下來教師引導學生總結出“線段AB的垂直平分線就是與線段A，B兩個端點距離相等的點的集合”.

教學分析? 如何認識線段的垂直平分線的集合定義，是本節(jié)課的難點. 關于把一個幾何圖形看成是滿足某種條件的點的集合的思想，在教學角平分線時已有滲透，所以教學本課時，教師循序漸進，讓學生認識到，把一個圖形看成滿足某種條件的點的集合，必須符合下面兩個條件：①圖形上的每一個點都滿足某個條件；②滿足這個條件的每一個點都在這個圖形上. 通過幾何畫板的動態(tài)演示，教師將抽象問題直觀化，學生不僅加深了對知識的印象，而且提升了思維能力.

4. 新知應用，啟思明智

問題5：同學們，現(xiàn)在我們帶著這節(jié)課學習的內容，繼續(xù)完成學校的設計. 現(xiàn)在有一條小道EF（教師在圖中畫出小道，邊畫邊提問，如圖7所示），我們要在小道EF上找一個點修建食堂，使得食堂到A，B兩點的距離相等，那食堂應該建在哪兒呢？

追問：我們還想修建一個體育館，使得體育館到圖書館、教學樓和食堂的距離都相等，你能找到體育館的位置嗎？

師生活動：學生根據(jù)教師的提問回答，教師在黑板上展示（如圖8所示）；學生思維受阻時，教師給予適時、適當?shù)狞c撥.

教學分析? 學生此前已經(jīng)經(jīng)歷了操作、猜想、證明、應用的過程，得到了線段的垂直平分線的判定定理，這里通過“建食堂”，讓知識活學活用，提升了學生解決問題的能力；通過“建體育館”，變式問題，提升難度，要求學生熟識問題本源，培養(yǎng)了學生的類比遷移能力和發(fā)散思維能力. 利用交軌法確定某個點的位置，讓知識回歸本源——數(shù)學源于生活，又應用于生活. 實際上，將知識轉化為能力的主要途徑是操作，在操作中，學生得以體驗、感悟，形成新的穩(wěn)定的心理特征，再通過新的情境問題，能力得以增強，并形成新的能力結構.

5. 小結鞏固，提升思維

問題6：通過這節(jié)課的學習，你們學到了哪些知識？

師生活動：學生發(fā)言，教師結合學生的發(fā)言進行補充，最后教師總結、布置作業(yè).

教學分析? 教師適時的形成性評價和終結性評價，有助于學生及時了解自己學習過程中存在的問題，能為學生的后續(xù)學習奠基.

教學感悟

1. “點動成線”——問題情境，建構情境教學整體性

對于本課時的教學，教師從學生熟悉的情境出發(fā)，易于激發(fā)學生的興趣，能提高學生的課堂參與度. 整堂課的教學圍繞情境問題“校園設計”展開，這是第一條主線，體現(xiàn)了“數(shù)學問題情境化”，情境引入不突兀，情境搭建自然，情境應用科學合理. 本節(jié)課的點睛之筆在最后——尋找“體育館”，即尋找兩條垂直平分線的交點，學生的探究興趣一下子被調動起來，這種以情境問題搭建變式訓練的教學方式，能讓學生學會把新的問題轉化為已有知識經(jīng)驗來解決，從而提升學生解決問題的能力. 本課時的教學，以生活情境為起點，以教學任務為走向，以問題設計為驅動，將課時目標的達成融于情境教學當中，注重發(fā)揮學生的主觀能動性，使學生在潛移默化中習得了知識.

2. “線動成面”——問題關聯(lián)，架構知識教學聯(lián)結性

本節(jié)課的第二條主線是“情境問題數(shù)學化”. 本課時要解決的數(shù)學問題有三：一是線段的垂直平分線的性質，二是線段的垂直平分線的判定，三是線段的垂直平分線的集合定義. 教師通過課堂“情境問題數(shù)學化”，將生活實際問題引入數(shù)學，讓學生倍感親切. 接下來，學生通過完成例1，加深了對線段垂直平分線性質的理解. 在此基礎上，教師繼續(xù)挖掘例1的價值，通過條件和結論互換，引導學生發(fā)現(xiàn)并總結線段的垂直平分線的判定定理. 緊接著，教師在例1的基礎上通過增加條件，向學生出示例2，學生則通過合作探究，得出結論，教師順勢而導，引導學生得到“線段的垂直平分線是與線段兩個端點距離相等的點的集合”. 由于幾何思維是依據(jù)圖形產(chǎn)生的，所以教學線段的垂直平分線的集合定義時，教師動手畫圖，并借助幾何畫板進行驗證，通過不停地變化，引導學生借助圖形進行直觀思考和分析，并進行邏輯推理活動，使得本節(jié)課的教學目標得以順利達成，學生的邏輯思維能力得以提升. 問題是數(shù)學的核心，問題解決就是數(shù)學教與學的關鍵? ［2］ . 可以說，本節(jié)課，“情境問題數(shù)學化”這條主線是建立在例1的基礎上完成的，教師以問題關聯(lián)的形式，由淺入深，由低級到高級，架構了線段的垂直平分線的相關知識，促使教學達到了“由一題，會一類”的效果.

3. “面動成體”——問題解決，關注課堂教學知識發(fā)展過程的合理性、學生思維過程的合理性及課堂教學的合理性

數(shù)學教學的基礎是理解數(shù)學、理解學生、理解教學. 理解數(shù)學，就是精準把脈知識的發(fā)生、發(fā)展過程. 教師只有在理解數(shù)學知識的基礎上，通過預設邏輯主線，精心創(chuàng)設問題，才能揭示知識的內在發(fā)展本質，使學生關注知識發(fā)展過程的合理性，從而突破重、難點. 理解學生，就是理解學生當前學習期的認知特點和認知規(guī)律，把握認知基礎 ，準確定位，這樣才能立足于學生的最近發(fā)展區(qū)，根據(jù)學生的學習經(jīng)驗、思維特點等，開展數(shù)學活動. 理解教學，就是以新課標為依據(jù)，以數(shù)學知識為主線，以核心素養(yǎng)為導向，以學生的認知為基礎? ［3］，采取與之相匹配的教學策略與教學手段. 教師只有精準把脈學生的認知基礎，注重預設與生成之間的關系，才能采取與之相匹配的問題解決策略，使學生的思維發(fā)展順理成章. 對于本課例的教學，教師以情境“校園設計”為載體，在整個探究過程中，留給學生足夠的時間與空間，讓學生親身經(jīng)歷“觀察—探究—猜想—證明”的完整過程，感受證明的必要性. 同時，教師借助幾何畫板，讓幾何圖形“動”起來，讓學生有深深的代入感，促進了學生對線段的垂直平分線性質和判定定理的理解. 本節(jié)課，教師精心設計各環(huán)節(jié)的教學內容，突出了幾何學習的主線，達到了“做一道，會一類”的教學目標，體現(xiàn)了學科育人的價值，對學生的長遠學習有深遠的意義.

參考文獻：

［1］蘇文濤. 基于CLES模型的問題解決教學探究［J］. 進展：教學與科研，2019（12）： 47-48.

［2］蘇文濤. 信息技術下“問題解決導向式”教學模式淺談［J］. 數(shù)學教學通訊，2021（11）：6-9.

［3］孫潔，朱月紅. 合理設計探究活動? 用數(shù)學的方式育人——“中心對稱與中心對稱圖形”教學感悟［J］. 中學數(shù)學，2021（11）：8-10.