“畫數(shù)學(xué)”：提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的“形象支撐”

張艷　吳志堅(jiān)

［摘? 要］ “畫數(shù)學(xué)”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方式。引導(dǎo)學(xué)生“畫數(shù)學(xué)”，用多樣化的圖表、圖式、圖形表征數(shù)學(xué)概念、關(guān)系等，能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生“畫題意”“畫意義”“畫推理”“畫模型”等，促進(jìn)數(shù)學(xué)課程的開發(fā)和學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。“畫數(shù)學(xué)”彰顯著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)力量，是學(xué)生生命實(shí)踐智慧的確證與表征。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；畫數(shù)學(xué)；學(xué)習(xí)力；形象支撐

數(shù)學(xué)是一門抽象化、理性化、形式化的學(xué)科，而小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維卻是直觀的、具體形象的。如何有效地引導(dǎo)學(xué)生理解抽象的、形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)？筆者在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)用“數(shù)學(xué)畫”這樣一個(gè)形象化、直觀化的載體、媒介，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)建構(gòu)和數(shù)學(xué)應(yīng)用。在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，筆者一直堅(jiān)持將抽象的問(wèn)題“直觀地教”，將復(fù)雜的問(wèn)題“形象地教”的原則?！皵?shù)學(xué)畫”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有益支撐，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“潤(rùn)滑油”“催化劑”，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)事半功倍［１］。教師要由淺入深、循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生“畫數(shù)學(xué)”。實(shí)踐證明，引導(dǎo)學(xué)生“畫數(shù)學(xué)”，用多樣化的圖表、圖式、圖形表征數(shù)學(xué)概念、關(guān)系等，能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、畫題意：讓問(wèn)題得到表征

教材中的相關(guān)數(shù)學(xué)習(xí)題，往往是以“文字”“符號(hào)”等形式呈現(xiàn)的。對(duì)于“文字”和“符號(hào)”，小學(xué)生天生就有一種不適應(yīng)的心理，這是因?yàn)槲淖帧⒎?hào)等都是抽象化、理性化、形式化的。借助于“畫數(shù)學(xué)”，將抽象的文字、符號(hào)等變?yōu)樾蜗蠡?、直觀化的圖形，就能促進(jìn)學(xué)生對(duì)題意的理解，進(jìn)而有助于學(xué)生建立題意在頭腦中的心理表征?！爱嫈?shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)可視化教學(xué)的一種方式，它能讓題目的含義變得觸手可及。畫題意的方式有很多種，比如可以畫線段圖、實(shí)物圖、示意圖、思維導(dǎo)圖等。借助于“畫數(shù)學(xué)”，教師可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加個(gè)性化、自主化。

“畫題意”不僅要畫出題目，而且要畫出題目中蘊(yùn)含的相關(guān)知識(shí)的本質(zhì)，揭示題目中蘊(yùn)含的知識(shí)的關(guān)聯(lián)。比如，教學(xué)“解決問(wèn)題的策略——假設(shè)”中的“雞兔同籠”問(wèn)題，雞和兔一共有8只，它們的腿一共有22條，雞有幾只，兔有幾只？在這樣的一個(gè)問(wèn)題中，由于未知量有兩個(gè)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)富有一定的挑戰(zhàn)性。教學(xué)中筆者引導(dǎo)學(xué)生畫圖：有學(xué)生畫了8個(gè)小圓圈表示8只小動(dòng)物，然后在每一個(gè)小圓圈下面畫上兩點(diǎn)，表示給每只小動(dòng)物裝上兩只腳，最后發(fā)現(xiàn)一共畫了16條腿，而題目說(shuō)一共有22條腿，這樣就少畫了8條腿。那么，這8條腿是誰(shuí)的呢？顯然是兔子的。由于每只兔子少畫了2條腿，而總共少畫了8條腿，所以一共就有4只兔子。這樣的一種題意表征的過(guò)程，也就是學(xué)生對(duì)題意進(jìn)行深入理解的過(guò)程。在畫圖的過(guò)程中，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)少畫了幾條腿時(shí)，自然會(huì)思考：“為什么會(huì)少畫？”“少畫的腿是誰(shuí)的？”“一共有多少只這樣的小動(dòng)物（指兔子）？”一邊畫圖，一邊理解題意，一邊展開分析，這應(yīng)該是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常態(tài)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生找到了“假設(shè)問(wèn)題”的解決策略，形成了“假設(shè)問(wèn)題”的一般性的解決問(wèn)題的思路。通過(guò)畫圖，題意就能以直觀、形象的方式呈現(xiàn)出來(lái)，問(wèn)題的本質(zhì)就會(huì)暴露出來(lái)，學(xué)生就能把握題目中的條件和問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)。

“畫題意”是學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的第一步。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“畫題意”能讓題目中復(fù)雜的關(guān)系簡(jiǎn)單化，能讓陌生的關(guān)系熟悉化，能建立起新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)，能打開學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和想象之門?！爱嬵}意”能變“看不見的數(shù)學(xué)”為“看得見的數(shù)學(xué)”［２］。同時(shí)，畫圖的過(guò)程也能拓寬學(xué)生的思路。比如在上述教學(xué)中，有學(xué)生先給每只“小動(dòng)物”裝上了4條腿，結(jié)果發(fā)現(xiàn)腿裝多了；還有學(xué)生將“先畫2條腿的方法美其名曰‘增腿法”，將“先畫4條腿的方法美其名曰‘砍足法”，等等。盡管這些方法的名稱不太準(zhǔn)確，但卻表達(dá)了學(xué)生對(duì)這種畫題意分析問(wèn)題的方法的喜愛之情。

二、畫意義：讓本質(zhì)得以揭示

數(shù)學(xué)的概念是抽象的，數(shù)學(xué)的法則也是形式化的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“畫數(shù)學(xué)”，將相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義、本質(zhì)等揭示出來(lái)。尤其是對(duì)于一些形式化、抽象化的算法，通過(guò)畫圖能揭示其內(nèi)在的算理。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，算法解決的是“怎樣算”的問(wèn)題，而算理解決的是“為什么這樣算”的問(wèn)題。借助于“畫數(shù)學(xué)”，學(xué)生能深刻地理解“為什么這樣計(jì)算”。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)該且必須引導(dǎo)學(xué)生畫圖。正如數(shù)學(xué)教育家華羅庚所說(shuō)，“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”［３］。

比如“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”這部分主要內(nèi)容是讓學(xué)生理解“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義”，建構(gòu)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的法則”。對(duì)于這樣的兩個(gè)內(nèi)容，筆者在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生“畫數(shù)學(xué)”。比如對(duì)于“3/4×2/3”這樣的一個(gè)乘法算式，筆者喚醒、激活學(xué)生舊知：如何用一個(gè)長(zhǎng)方形圖表示3/4？學(xué)生紛紛畫出一個(gè)長(zhǎng)方形表示單位“1”的量，然后將這個(gè)長(zhǎng)方形平均分成4份，表示其中的3份，并涂上陰影。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：如何表示3/4的2/3？有學(xué)生認(rèn)為，應(yīng)該重新將3/4看作單位“1”的量，然后將單位“1”的量再平均分成3份，表示其中的2份；有學(xué)生認(rèn)為，可以直接將3/4換一個(gè)方向平均分成3份，表示其中的2份。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生在原有陰影的基礎(chǔ)上再涂上“陰影”。最后，在引導(dǎo)學(xué)生完成畫圖之后，筆者讓學(xué)生觀察圖中的“單層陰影”和“雙層陰影”，從而讓學(xué)生理解“3/4×2/3”的意義，即“將3/4平均分成3份表示其中的2份，也就相當(dāng)于將原來(lái)的單位‘1的量平均分成了12份，表示其中的6份”。由此，學(xué)生自然地從“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的意義出發(fā)，建構(gòu)了“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的法則。

“畫數(shù)學(xué)”的過(guò)程就是學(xué)生數(shù)學(xué)思維“可視化”的過(guò)程。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了這樣的過(guò)程之后，數(shù)學(xué)知識(shí)抽象化的意義、法則就變得看得見、摸得著了。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助于“畫數(shù)學(xué)”，不僅能讓數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象化，而且能促進(jìn)學(xué)生消除數(shù)學(xué)理解的障礙、困惑，突破數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)等?！爱嫈?shù)學(xué)”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效路徑，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效策略。

三、畫推理：讓過(guò)程得以嚴(yán)謹(jǐn)

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程從某種意義上說(shuō)，就是一個(gè)抽象、推理和建模的過(guò)程。其中，推理在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)著重要地位，具有重要的意義和價(jià)值。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生“畫推理”，使學(xué)生將新舊知識(shí)進(jìn)行比較，從而讓其推理思維更嚴(yán)密、更嚴(yán)謹(jǐn)。“畫推理”的過(guò)程，能讓學(xué)生嘗到“甜頭”［４］，也能讓學(xué)生品嘗數(shù)學(xué)思維的樂趣、數(shù)學(xué)推導(dǎo)的樂趣、數(shù)學(xué)探究的樂趣。

比如教學(xué)“圓的面積”這部分內(nèi)容時(shí)，筆者就引導(dǎo)學(xué)生用“畫數(shù)學(xué)”的方式進(jìn)行問(wèn)題表征、推理。由于圓是一種曲線圖形，而已經(jīng)學(xué)習(xí)的“多邊形面積”中的多邊形都是直線圖形，通過(guò)畫圖溝通直線圖形與曲線圖形就顯得尤為重要。教學(xué)中，筆者一方面借助多媒體課件，向?qū)W生動(dòng)態(tài)展示一個(gè)圓滾動(dòng)后圓面留下的軌跡；一方面引導(dǎo)學(xué)生將圓平均分成16份，并將每一份拼在一起形成了長(zhǎng)方形。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生比較圓與長(zhǎng)方形。通過(guò)比較，學(xué)生會(huì)積極主動(dòng)地思考：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于什么？長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于什么？長(zhǎng)方形的面積相當(dāng)于什么？由此，學(xué)生會(huì)借助“圖”，直觀地推導(dǎo)：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于原來(lái)圓的周長(zhǎng)的一半，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于原來(lái)圓的半徑，長(zhǎng)方形的面積相當(dāng)于原來(lái)圓的面積，又因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，所以圓的面積就等于圓的周長(zhǎng)的一半乘圓的半徑。通過(guò)化簡(jiǎn)，學(xué)生就能得到圓的面積計(jì)算公式。在這個(gè)過(guò)程中，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生比較“圓”和他們所畫的“長(zhǎng)方形”，進(jìn)而想象：如果將圓平均分成32等份會(huì)怎樣？如果將圓平均分成64等份會(huì)怎樣？平均分成1280分呢？……通過(guò)想象，滲透、融入數(shù)學(xué)的極限思想，讓學(xué)生感悟“極限”的數(shù)學(xué)方法。這樣的一種通過(guò)“畫數(shù)學(xué)”引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程，能培育學(xué)生的概括、抽象、推理等多重能力。

推理的過(guò)程就是學(xué)生抽象學(xué)習(xí)對(duì)象，并進(jìn)行去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的本質(zhì)化、數(shù)學(xué)化、形式化、公理化的過(guò)程。借助于“畫數(shù)學(xué)”，教師能有效地引導(dǎo)學(xué)生舍棄數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的非本質(zhì)屬性，提煉數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)推理有助于發(fā)展學(xué)生的高階思維，使學(xué)生形成高階認(rèn)知。“畫推理”為學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維、認(rèn)知和為學(xué)生的深度探究提供了有益的支撐和支持。

四、畫模型：讓結(jié)論得以凝練

從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)科中的每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，包括概念、法則、公理等都是一個(gè)個(gè)小小的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的一種本質(zhì)化、形式化、抽象化、公理化的提煉和概括。從這個(gè)意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)模型揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性，反映了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征。為了幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的概念、法則、公理等，教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫出數(shù)學(xué)模型，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)論得到“必要的凝聚”（鄭毓信語(yǔ)）［４］。引導(dǎo)學(xué)生畫出數(shù)學(xué)模型，不僅僅要彰顯數(shù)學(xué)模型的原生價(jià)值，更要彰顯數(shù)學(xué)模型的育人價(jià)值。

數(shù)學(xué)模型是一種符號(hào)化、形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的“本質(zhì)美”“簡(jiǎn)約美”“統(tǒng)一美”［５］。而“畫數(shù)學(xué)模型”更能彰顯出數(shù)學(xué)模型的一種內(nèi)在的形象美。借助于“畫模型”，能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、催生學(xué)生的數(shù)學(xué)想象，能鼓勵(lì)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新。可以這樣說(shuō)，“數(shù)學(xué)畫”是學(xué)生個(gè)性化、情意化的一種表達(dá)。它能引導(dǎo)學(xué)生更加地親近數(shù)學(xué)、喜愛數(shù)學(xué)，能讓學(xué)生找尋到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在興趣、意味等。比如，“乘法分配律”這部分內(nèi)容的數(shù)學(xué)模型就是“（a+b）×c=a×c+b×c”。為了促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型，教師一方面可以引導(dǎo)學(xué)生用日常的生活語(yǔ)言對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行意義賦予，比如讓學(xué)生舉出生活中應(yīng)用乘法分配律的例子；另一方面可以引導(dǎo)學(xué)生畫出這個(gè)數(shù)學(xué)模型。比如，筆者在教學(xué)中就引導(dǎo)學(xué)生畫出兩個(gè)等寬的長(zhǎng)方形，其中“a×c”表征一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，“b×c”表征另一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，而“（a+b）×c”表征整個(gè)大長(zhǎng)方形的面積等。如此，學(xué)生就能借助長(zhǎng)方形的面積示意圖來(lái)理解、建構(gòu)乘法分配律的意義模型。這樣的“圖畫模型”能夯實(shí)學(xué)生的模型表象，讓學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到乘法分配律的幾何意義。將抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)模型變成圖畫模型，能有效地培育學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

“畫模型”能有效地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，能讓學(xué)生形成“數(shù)學(xué)的眼光”和“數(shù)學(xué)的大腦”，進(jìn)而讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀照生活，用數(shù)學(xué)的大腦考量世界。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生“畫模型”，就是要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的深度化、直觀化、形象化的理解?？梢赃@樣說(shuō)，一切抽象的知識(shí)都可以用某種深入淺出的圖形或圖示方式表達(dá)出來(lái)。正如美國(guó)教育家布魯納所說(shuō)，“任何知識(shí)都可以用適當(dāng)?shù)姆绞浇探o任何年齡的任何兒童”。

畫畫是學(xué)生的一種天賦性的愛好，畫筆是學(xué)生探索未知世界的一種“武器”。同樣的，“畫數(shù)學(xué)”給學(xué)生提供了一種深入研究數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“秘密武器”［６］。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮“畫數(shù)學(xué)”的育人效應(yīng)，彰顯“畫數(shù)學(xué)”的育人價(jià)值，讓學(xué)生充分地“畫數(shù)學(xué)”。通過(guò)“畫題意”“畫意義”“畫推理”“畫模型”等，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)課程的開發(fā)，也促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)?！爱嫈?shù)學(xué)”彰顯著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)力量，是學(xué)生生命實(shí)踐智慧的確證與表征。

參考文獻(xiàn)：

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［２］ 蔡寶塔. 例談幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［Ｊ］. 亞太教育，２０１９（０２）：５５.

［３］ 俞正強(qiáng). 種子課—— 一個(gè)數(shù)學(xué)特級(jí)教師的思與行［Ｍ］. 北京：教育科學(xué)出版社，２０１３.

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