管君陽

摘要：文章論述“命題、公理、定理”一課的前期備課、試講、磨課、課后反思等環(huán)節(jié)，促使教師思考如何讀懂課堂和學(xué)生，即了解學(xué)科知識(shí)和歷史發(fā)展，熟悉學(xué)生學(xué)情，掌握多媒體的運(yùn)用等。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；歐氏幾何

對(duì)學(xué)生來說，“命題與證明”的學(xué)習(xí)是第一次接觸演繹推理，了解公理體系，這能為高中集合這一知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)作好鋪墊，具有承前啟后的作用。

要想打造初中數(shù)學(xué)高效課堂，教師必須奏響“三部曲”，從課前的深入備課、課中的創(chuàng)新設(shè)計(jì)、課后的及時(shí)反思著手。筆者借“命題、公理、定理”一課的教學(xué)實(shí)踐契機(jī)，談?wù)勅绾未蛟斐踔袛?shù)學(xué)高效課堂。

一、序曲：備課要“深”

（一）理解概念教學(xué)及其相關(guān)知識(shí)

教師要檢索文獻(xiàn)，爭(zhēng)取從較高的角度理解“概念教學(xué)”。經(jīng)過學(xué)習(xí)，筆者對(duì)以下內(nèi)容有了更清晰的認(rèn)知：第一，數(shù)學(xué)概念的分類包括對(duì)象性概念、度量性概念、觀念性概念；第二，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過程包括引入概念、形成概念、鞏固與運(yùn)用概念；第三，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的知識(shí)內(nèi)涵解析；第四，數(shù)學(xué)概念的定義方式分類包括描述性定義、形式性定義、發(fā)生式定義、關(guān)系性定義。

（二）梳理幾何教學(xué)的歷史發(fā)展

歷史上的幾何教學(xué)正是先以《幾何原本》為基礎(chǔ)，后依托《幾何基礎(chǔ)》，最后形成了目前的初中幾何課程標(biāo)準(zhǔn)，即主要以歐氏幾何為主體，簡(jiǎn)化其中的公理定理，形成適合學(xué)生的演繹推理幾何。六年級(jí)時(shí)，學(xué)生接觸了直觀幾何課程與實(shí)驗(yàn)幾何課程，八年級(jí)再學(xué)習(xí)綜合幾何課程，有助于培養(yǎng)他們的邏輯思維和理性精神。

（三）了解學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)現(xiàn)狀

學(xué)生在之前學(xué)習(xí)了“圖形的變換”“全等三角形”等知識(shí)，對(duì)具體的圖形很熟悉，對(duì)“垂直”“推導(dǎo)”這些數(shù)學(xué)術(shù)語也不陌生。但是，他們對(duì)抽象的圖形較為陌生，對(duì)平面幾何概念之間的實(shí)質(zhì)聯(lián)系也未能建立關(guān)聯(lián)。七年級(jí)教材中已經(jīng)涉及幾何的學(xué)習(xí)和求證，但學(xué)生想當(dāng)然地將“幾何”等同于“證明”，有些學(xué)生還會(huì)片面地將“幾何圖形”直接與“三角形”掛鉤。

雖然教學(xué)準(zhǔn)備工作分為三個(gè)部分，但它們有著共通性——揭示教材在實(shí)際教學(xué)過程中的功能是教材研究的基本課題。也就是說，教材發(fā)揮怎樣的功能，期待怎樣的理想教材，依存于人們對(duì)包括教師的作用在內(nèi)的整個(gè)教學(xué)過程有著怎樣的構(gòu)想。只有深入備課，教師才能積累可重復(fù)使用的鮮活的教學(xué)資源，幫助學(xué)生拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間。

二、主題曲——上課要“新”

為將“從一些基本事實(shí)，證明一些命題的正確性”這一數(shù)學(xué)核心內(nèi)容傳遞給學(xué)生，筆者基于學(xué)生的學(xué)情，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知，感悟新知，運(yùn)用新知。

教學(xué)實(shí)踐包括四個(gè)環(huán)節(jié)，分別是引入概念、形成概念、明確概念內(nèi)涵、初步應(yīng)用概念。引入概念，是指通過生活實(shí)例或者已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，指出判斷性語句中需要研究細(xì)化的部分，明確本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。形成概念，是指通過如下八個(gè)語句：第一，能被2整除的數(shù)叫作偶數(shù)；第二，有一個(gè)角是90°的三角形稱為直角三角形；第三，對(duì)頂角相等；第四，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互為平行；第五，畫∠AOB的角平分線；第六，兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行；第七，等角的余角是否相等；第八，互為補(bǔ)角的兩個(gè)角都是銳角，幫助學(xué)生再認(rèn)識(shí)陳述句，感受陳述句在數(shù)學(xué)中具有普遍存在性。明確概念內(nèi)涵，是指明確概念包含的對(duì)象，并通過深挖概念里的關(guān)鍵詞深化對(duì)定義、命題、公理的理解。初步應(yīng)用概念，是指應(yīng)用定義、命題的概念解決課后習(xí)題和變式訓(xùn)練，鞏固理解。

通過兩次試講，筆者列出表格，比較三個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中有改動(dòng)的部分，如表1所示。

引入概念是教學(xué)環(huán)節(jié)的重中之重，能起到承前啟后、建立知識(shí)聯(lián)系的作用。筆者嘗試了兩種方案后，發(fā)現(xiàn)開門見山直奔主題這一方式效果不錯(cuò)。

在第一次試講時(shí)，筆者運(yùn)用生活素材引入概念。教學(xué)情境如下：電視機(jī)在播放乒乓球比賽，奶奶邊看比賽邊說：“打得好！可惜播音員不識(shí)數(shù)?！睂O子問：“人家怎么不識(shí)數(shù)??？”奶奶說：“明明兩個(gè)人在打球，他卻說在單打。明明四個(gè)人在打球，他卻說在雙打?！边@個(gè)情境的引入，大大提高了學(xué)生的課堂參與度高。但是，課后筆者反思：“真的會(huì)有人不知道單打和雙打的含義嗎？這個(gè)生活實(shí)例是不是為了貼近生活而貼近生活？雖然生活實(shí)例的引入可以激發(fā)學(xué)生的興趣，引出課題，但是學(xué)生對(duì)為什么要學(xué)定義、命題的概念還不夠清晰，教學(xué)只停留在了表面?！睘榱烁玫亟忉寣W(xué)習(xí)本課的理由，筆者準(zhǔn)備與之前的教學(xué)內(nèi)容聯(lián)系起來，更加自然地導(dǎo)出定義的概念。

在第一次試講后，筆者發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容在40分鐘的時(shí)間里很難完成。為此，筆者做出了一些改變，即突出教學(xué)重點(diǎn)，精煉教學(xué)內(nèi)容。這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是體會(huì)定義、命題、公理、定理之間的區(qū)別和聯(lián)系。為了給學(xué)生足夠的時(shí)間來觀察、辨析，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，筆者在第二次試講之前把 “定義對(duì)象的明確問題”和“如何給名詞下定義”刪除了。筆者也發(fā)現(xiàn)把“寫出一個(gè)是命題的句子和一個(gè)不是命題的句子”放在命題概念之后，不僅不能幫助學(xué)生加深對(duì)命題語句特點(diǎn)的理解，還弱化了上述八個(gè)語句辨析陳述句的效果，學(xué)生對(duì)這個(gè)練習(xí)的目的性感到茫然。為此，筆者在第二次試講設(shè)計(jì)中也將它刪除了。

在第二試講中，筆者的教學(xué)節(jié)奏緊湊，提高了學(xué)生的參與度。但是，課后筆者反思：“學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)前后是否有不同？學(xué)習(xí)后是否引導(dǎo)他們思考了幾何本質(zhì)的問題？”筆者意識(shí)到定義、命題、公理概念的解讀，命題的先條件后結(jié)論的結(jié)構(gòu)講述都不是重點(diǎn)，讓學(xué)生理解幾何的本質(zhì)——公理化，才是教學(xué)的重點(diǎn)。

首先，通過比對(duì)上述八個(gè)語句，開門見山地引入定義、命題的概念。從定義到命題這一順序讓學(xué)生明確它們之間的關(guān)系——它們都是作出判斷。那么，接下來的問題就是研究判斷的內(nèi)容與判斷類型的識(shí)別。

其次，將“命題、公理、定理概念的辨析”放在介紹歐氏幾何和公理之后，作為本節(jié)課的收尾。例如，筆者設(shè)計(jì)了幾個(gè)辯論題：“所有的命題都是公理”“所有的真命題都是定理”“所有的定理都是命題”“所有的公理都是真命題”。通過這個(gè)例題，學(xué)生再次回到概念里，理解“幾何學(xué)習(xí)重要的不在于研究對(duì)象是什么，而在于對(duì)象間的互相關(guān)系，即邏輯結(jié)構(gòu)”。最終，學(xué)生能擺脫空間觀念的直覺，通過邏輯演繹推導(dǎo)出命題。

最后，筆者利用慕課視頻把“歐式幾何、幾何公理化的起源”放到教學(xué)設(shè)計(jì)中，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的歷史和發(fā)展，既開闊了學(xué)生的視野，達(dá)到知識(shí)點(diǎn)的全面覆蓋，又不增加教學(xué)內(nèi)容，能在40分鐘內(nèi)高效實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

大概念的揭示和意義獲得在于合理利用多種資源和活動(dòng)，所以教師的工作不是灌輸教材內(nèi)容，而是學(xué)會(huì)使用教材來協(xié)助完成目標(biāo)。在日常教學(xué)中，教師需要學(xué)會(huì)優(yōu)化教學(xué)資源，創(chuàng)新課堂活動(dòng)，使數(shù)學(xué)課堂真正地活起來。

三、尾聲——反思要“勤”

反思是教師成長(zhǎng)的必由之路。通過這節(jié)課的備課，筆者不僅在課堂上，還在學(xué)科知識(shí)上對(duì)“命題、定理、公理”這一概念有了再認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步了解了數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程。通過試講，筆者認(rèn)識(shí)到，學(xué)情不同的學(xué)生在學(xué)習(xí)新課題時(shí)，已經(jīng)具有了日常概念和先入之見，這些會(huì)使具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)變得容易或困難。因此，筆者要利用實(shí)際課堂中的互動(dòng)，以及課前、課后的調(diào)整，融合數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)、相關(guān)歷史知識(shí)，最終設(shè)計(jì)和實(shí)踐本節(jié)課，并由此建構(gòu)屬于自己的教學(xué)知識(shí)體系。

這次嘗試可謂是一次高效的創(chuàng)新教學(xué)實(shí)踐，課后大部分學(xué)生對(duì)概念的理解、歐式幾何的起源、幾何公理化的由來達(dá)到了一定的認(rèn)知高度。但是，筆者為這節(jié)課作了大量的準(zhǔn)備，兩次試講，教研組多次的磨課、評(píng)課，使得筆者對(duì)這節(jié)課如何引入、講解都了然于胸，并有了充足的課堂預(yù)案。

作為初中一線數(shù)學(xué)教師，筆者曾反復(fù)思考課堂教學(xué)內(nèi)容來源于何處，教材無疑是教師的第一指揮棒，但如果只是單純講授教材，按部就班地完成課堂預(yù)案，學(xué)生很難成功地構(gòu)建自己的知識(shí)體系，而這次教學(xué)實(shí)踐為筆者今后的數(shù)學(xué)教學(xué)提供了思路。

高效課堂教學(xué)的背后，濃縮著教師的艱辛付出。初中數(shù)學(xué)教師在引導(dǎo)學(xué)生的同時(shí)，也要堅(jiān)持學(xué)習(xí)，將知識(shí)有機(jī)地串聯(lián)起來，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)更契合的教學(xué)情境。只要教師用心奏響高效課堂“三部曲”，努力做到備課要“深”、課堂要“新”、反思要“勤”，初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)就能在和諧的樂章中實(shí)現(xiàn)高效的目標(biāo)！

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（作者單位：上海市市北初級(jí)中學(xué)）