呂慶華

含參不等式恒成立問題具有較強(qiáng)的綜合性，且難度一般較大，通常會(huì)綜合考查方程、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識點(diǎn)的應(yīng)用.解答這類問題，可以從不同的角度入手，尋找到不同的解題思路.下面介紹幾個(gè)破解含參不等式問題的“妙招”，以幫助大家提升解題的效率.

一、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合法是解答數(shù)學(xué)問題的常用方法.通過數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)、位置關(guān)系問題，即可通過研究圖形，破解不等式恒成立問題.在研究圖形時(shí)，要特別關(guān)注臨界的情形，如有1個(gè)交點(diǎn)、有2個(gè)交點(diǎn)、相切等情形.

例1.若當(dāng) x ∈（1，2）時(shí)，不等式（x -1）2

解：

不等式兩邊的式子都是簡單基本函數(shù)，于是分別畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為f2（x）=loga x 的圖象始終在 f1（x）=（x -1）2的上方的位置關(guān)系問題.結(jié)合圖形來分析 f2（x）=loga x 的圖象始終在f1（x）=（x -1）2的上方的臨界情形：兩個(gè)圖象的最高點(diǎn)在同一個(gè)位置，即可解題.

二、分離參數(shù)

對于含有參數(shù)的不等式恒成立問題，通常需將參數(shù)與變量分離，可先將不等式化為一邊有參數(shù)、另一邊無參數(shù)的形式；再根據(jù)已知條件，討論不含有參數(shù)的式子的取值范圍，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍.

例2.已知函數(shù) f （x）=ax -4x -x2，當(dāng) x ∈（0，4]時(shí)，f （x）<0恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.

解：

解答本題，要先將實(shí)數(shù) a 與變量 x 分離開；再根據(jù) g（x） 的單調(diào)性求得當(dāng) x ∈（0，4] 時(shí) g（x） 的值域，進(jìn)而求出實(shí)數(shù) a 的取值范圍.在分離參數(shù)時(shí)，要注意判斷參數(shù)的正負(fù)值是否會(huì)對不等式的符號產(chǎn)生影響.

三、分類討論

由于參數(shù)的取值往往不確定，所以在解答不等式恒成立問題時(shí)，我們通常需要對參數(shù)或某些變量進(jìn)行分類討論.確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)和對象是用分類討論法解題的關(guān)鍵.

例3

解；

該不等式為二次式，且二次項(xiàng)的系數(shù)大于0，但方程的判別式對函數(shù) F（x） 和m的取值有影響.于是采用分類討論法，分△ ≥ 0和△< 0 兩種情況討論 F（x） ≥ 0 時(shí) m 的取值.

雖然不等式恒成立問題的難度較大，但是我們只要掌握了解答此類問題的幾個(gè)“妙招”，就能在解題時(shí)做到游刃有余.