陳方

摘 要：本文以“自主探索”為主線，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作、交流、探索等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，建構(gòu)“三角形邊的關(guān)系”模型，讓學(xué)生在親身經(jīng)歷中體驗(yàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之美、抽象之美，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升了教學(xué)有效性.

關(guān)鍵詞：自主探索；數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，雖然師生互動(dòng)頻繁，但是師生互動(dòng)大多以“師問生答”為主.“師問生答”看似“以生為主”，體現(xiàn)了學(xué)生的主體價(jià)值，然實(shí)際上卻依然延續(xù)著“以師為中心”的教學(xué)模式，學(xué)生的思路被教師牽著走，學(xué)生的學(xué)習(xí)形式依然為被動(dòng)接受，學(xué)生探索數(shù)學(xué)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的能力也沒有得到實(shí)質(zhì)性的提升［1］.基于此，教師在教學(xué)中應(yīng)設(shè)計(jì)一些自主探索活動(dòng)，以此激發(fā)學(xué)生深度思維，提升學(xué)習(xí)品質(zhì).

在探索“三角形邊的關(guān)系”時(shí)，筆者以實(shí)踐活動(dòng)為主線，通過實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、抽象等教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探索建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，以此激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力.

1 教學(xué)分析

在探索該內(nèi)容前，學(xué)生已經(jīng)知曉三角形有3條邊、3個(gè)頂點(diǎn)、3個(gè)角，知曉什么是“首尾相連”，這些內(nèi)容為本節(jié)教學(xué)的順利開展做好了知識(shí)上的準(zhǔn)備.探索“三角形三邊關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)易于操作和理解，符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平，這也為開展自主探索活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力提供了良好的契機(jī).加之小學(xué)生動(dòng)手能力強(qiáng)，想象力豐富，敢于探索和交流，這些優(yōu)秀的品質(zhì)和能力都為建構(gòu)高效課堂提供了重要保障.

2 課前互動(dòng)

師：現(xiàn)在我們一起玩?zhèn)€游戲好不好.（聽說玩游戲，個(gè)個(gè)興奮不已）

師：現(xiàn)在跟著老師一起做，雙手張開，十指相對(duì)，然后從拇指依次打開，是否能夠打開呢？（學(xué)生與教師一起動(dòng)手游戲）

生齊聲答：可以.

師：很好，如果像這樣，中指彎曲，其他手指兩兩相對(duì)，這時(shí)有兩個(gè)手指打不開了，猜一猜會(huì)是哪兩個(gè)呢？

生2：食指.

生3：無名指.

生4：小拇指.

師：現(xiàn)在我們?cè)撛趺崔k呢？

生5：我們可以動(dòng)手做啊，試試不就知道了嗎？

師：很好！其實(shí)學(xué)數(shù)學(xué)有時(shí)和玩游戲一樣，當(dāng)難以得到結(jié)論時(shí)，不妨動(dòng)手試一試，可能會(huì)收獲意外的驚喜哦！

【設(shè)計(jì)意圖】教師在課前設(shè)計(jì)游戲環(huán)節(jié)，其目的主要有兩個(gè)：一是為學(xué)生建構(gòu)一個(gè)平等的、自由的、和諧的學(xué)習(xí)氛圍，活躍了課堂氛圍，拉近了師生距離；二是引導(dǎo)學(xué)生在遇到問題時(shí)可嘗試通過“動(dòng)手做”來解決問題，培養(yǎng)學(xué)生“實(shí)踐出真知”的探索精神.

3 教學(xué)過程

片斷1 提出問題，初步探索

3.1 回顧舊知，提出問題

師：大家看一下，這些是什么圖形？（教師PPT展示三角形圖形）

生齊聲答：三角形.

師：根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)說一說，三角形中都有什么呢？

生1：三角形有3條邊、3個(gè)頂點(diǎn)、3個(gè)角.

師：很好，今天我們就先來研究3條邊.

師：3條邊相當(dāng)于什么呢？直線？線段？

生齊聲答：線段.

師：這樣問題就轉(zhuǎn)化為研究3條線段，那么是不是任意3條線段都可以呢？（有的學(xué)生回復(fù)“是”，有的學(xué)生回復(fù)“不是”）

師：看來這個(gè)問題大家存在不同的看法，那么接下來我們要怎么辦呢？剛剛游戲環(huán)節(jié)我們是如何處理的呢？

生齊聲大：動(dòng)手試.

3.2 動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，初步探索

師：老師為大家準(zhǔn)備了5根長(zhǎng)度和顏色均不同的小棒，現(xiàn)在將小棒看成線段，開啟探究之旅.該實(shí)驗(yàn)以小組合作的方式進(jìn)行，請(qǐng)各組組長(zhǎng)安排好實(shí)驗(yàn)員和記錄員.實(shí)驗(yàn)步驟：① 分別測(cè)量5根長(zhǎng)度并記錄（按照顏色做好登記）；② 任意選3根“拼一拼”，記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).實(shí)驗(yàn)過程大家都清晰了嗎？

生齊聲答：清楚了.

接下來教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生實(shí)驗(yàn)、記錄、發(fā)現(xiàn).

【設(shè)計(jì)意圖】在教學(xué)中，教師從學(xué)生已有認(rèn)知出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生回顧了三角形的特征，引出本節(jié)重點(diǎn)研究的內(nèi)容“3條邊”.在教學(xué)中明確三角形都有3條邊，并強(qiáng)調(diào)“3條邊”也就是“3條線段”，為后面探究長(zhǎng)度掃清了障礙.另外教師伺機(jī)設(shè)問，誘發(fā)學(xué)生對(duì)“任意長(zhǎng)度的線段”進(jìn)行猜想，引出本節(jié)課研究的主題.在猜想中學(xué)生產(chǎn)生了分歧，繼而激發(fā)學(xué)生“動(dòng)手試”的熱情，為接下來的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)做好了知識(shí)準(zhǔn)備和情感基礎(chǔ)，有助于提升實(shí)驗(yàn)效果.在初步探索階段，教師將主動(dòng)權(quán)交由學(xué)生，為學(xué)生營(yíng)造了自主探索和合作交流的教學(xué)環(huán)境，鼓勵(lì)學(xué)生通過“動(dòng)手試”去感知三角形三邊的關(guān)系，同時(shí)要求學(xué)生記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果，繼而為后面探索三角形邊的關(guān)系提供了數(shù)學(xué)依據(jù).

片斷2 展示交流，深入探索

師：各組基本已經(jīng)實(shí)驗(yàn)完畢了，你們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是什么？

生2：有些可以拼，有些不可以拼.

師：是嗎？（生點(diǎn)頭表示贊同）

師：好的.現(xiàn)在我們一起來分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

師：現(xiàn)在我們分別拿出1cm、2cm和4cm的小棒，結(jié)合你們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果說一說，你們有沒有圍成三角形呢？

生3：實(shí)驗(yàn)結(jié)果是“不能”.

師：大家現(xiàn)在重新動(dòng)手做一做，真的不能圍成嗎？（生繼續(xù)實(shí)驗(yàn)）

生3：還是不能.

師：是嗎？為什么我拼成了呢？（教師投影展示自己的拼圖結(jié)果，圖1）

師：我這個(gè)不是三角形嗎？

生4：不是，三角形的三邊是首尾相連的.

師：哦！我竟然把“首尾相連”忘記了.如何將兩根短的小棒繼續(xù)往下壓是不是就可以了呢？（教師動(dòng)手操作，并投影展示實(shí)驗(yàn)過程）

師：已經(jīng)壓到了極限，還是不行，看來1cm、2cm、4cm這三根小棒確實(shí)圍不成.

師：如果用1cm、2cm、3cm這三根小棒拼呢？

生5：這個(gè)也拼不成.

師：具體說一說，為什么不能拼呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：因?yàn)閮筛痰男“羝丛谝黄饎偤煤烷L(zhǎng)的小棒一樣長(zhǎng)，我們也嘗試讓兩個(gè)短的拱起來一點(diǎn)，但是一動(dòng)兩個(gè)小棒就分開了，所以不能圍成三角形.

師：說得很好，我們一起動(dòng)手做一做，驗(yàn)證一下，是不是這樣呢？（教師讓學(xué)生動(dòng)手拼，為后期揭示三角形邊的關(guān)系打下堅(jiān)持的基礎(chǔ)）

師：剛剛我們分別用1cm、2cm、4cm和1cm、2cm、3cm拼都失敗了，誰來提供一組能夠圍成三角形的數(shù)據(jù)呢？（教師讓學(xué)生從自己的匯總表里查詢）

生6：用2cm、3cm、4cm能夠圍成.

師：很好，我們一起“拼一拼”.（教師繼續(xù)投影展示實(shí)驗(yàn)過程）

師：我們成功了嗎？

生7：成功了.這個(gè)圖形有3條邊、3個(gè)頂點(diǎn)、3個(gè)角，3個(gè)小棒首尾相連，符合三角形的特征.

【設(shè)計(jì)意圖】通過剛剛的實(shí)驗(yàn)，學(xué)生得到不同的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).為了便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，教師將實(shí)驗(yàn)結(jié)果分為“不能圍成”和“圍成”兩種情況進(jìn)行討論.對(duì)于不能圍成的情況，教師又將其分為了兩種情況，分別為兩邊之和小于第三邊和兩邊之和等于第三邊.對(duì)于兩邊之和小于第三邊的情況，是明顯圍不成的，在此環(huán)節(jié)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“首位相連”的問題.對(duì)于兩邊之和等于第三邊，教師引導(dǎo)學(xué)生在操作、觀察、實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，用自己的語言進(jìn)行表達(dá)，其目的引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注三邊間的長(zhǎng)度關(guān)系，為后面建構(gòu)三邊關(guān)系模型架橋鋪路.有了前面兩種不能圍成的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在理解圍成的情況自然也就水到渠成了.相信，通過以上探究，不僅深化了學(xué)生對(duì)三角形定義及特征理解，而且也讓學(xué)生對(duì)三根小棒的長(zhǎng)度關(guān)系有了一定的感知，有利于后期的探索發(fā)現(xiàn).

片斷3 探索發(fā)現(xiàn)，建構(gòu)模型

3.3 引導(dǎo)思考，揭示主題

師：看來現(xiàn)在有3條線段還不夠，還需要滿足一定的條件，那么這個(gè)條件會(huì)和什么有關(guān)呢？

生8：與線段的長(zhǎng)度有關(guān).

師：很好，現(xiàn)在我們?cè)僦匦禄仡櫼幌聞倓偣餐瑢?shí)驗(yàn)的過程：第一次我們拿出了3根長(zhǎng)度分別為1cm、2cm和4cm的小棒，結(jié)果不能圍成；第二次又用1cm、2cm、3cm三根小棒拼，結(jié)果又失敗了；第三次用長(zhǎng)度分別為2cm、3cm、4cm的拼，終于圍成的三角形.（教師板書實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及結(jié)果，便于學(xué)生對(duì)比）

師：這些小棒代表三條邊，研究小棒的長(zhǎng)度關(guān)系其實(shí)就是研究三角形三邊的關(guān)系，這也就是我們今天要研究的重點(diǎn).

師：觀察圖形并結(jié)合以上數(shù)據(jù)，思考一下：若想圍成三角形，3條線段的長(zhǎng)度到底有什么樣的關(guān)系呢？（學(xué)生獨(dú)立思考后，進(jìn)行小組交流）

3.4 互動(dòng)交流，建構(gòu)模型

師：誰來分享一下你們的交流結(jié)果？

生9：我發(fā)現(xiàn)兩條短的線段的長(zhǎng)度之和要大于那條長(zhǎng)的線段.

師：能夠具體說一說嗎？

生9：在第一種情況中，三條線段的長(zhǎng)度分別為1cm、2cm、4cm，兩條較短的線段之和為3cm，小于4cm，沒有圍成三角形.利用這種方法我又驗(yàn)證了其他兩種情況，發(fā)現(xiàn)第二種情況是兩個(gè)較短的線段之和等于第三條線段，沒有圍成三角形，而第三種情況，兩條較短的線段的長(zhǎng)度之和為5cm，大于4cm，圍成了三角形.

師：很好.思考一下：是否可以將“兩條短的線段之和”改成“任意兩條線段之和”呢？

生10：可以，任意中就包含兩條短的，而若兩條短的相加都比長(zhǎng)的長(zhǎng)，那么一長(zhǎng)一短相加肯定比短的長(zhǎng).

師：很好！請(qǐng)大家思考一下，對(duì)于第三種情況，如何用數(shù)學(xué)式子來表示這樣的關(guān)系呢？

生11：2+3＞5，2+4＞3，3+4＞2.

師：你們同意他的想法嗎？

生齊聲答：同意.

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中任選兩組能夠圍成三角形的數(shù)據(jù)，看看是否也滿足以上的條件呢？（生積極驗(yàn)證）

師：是否滿足呢？

生齊聲答：滿足.

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家再根據(jù)自己的結(jié)果分析一下，有沒有不能圍成的三角形也滿足以上條件呢？（生又繼續(xù)驗(yàn)證）

這樣通過觀察、實(shí)驗(yàn)、對(duì)比，最終總結(jié)歸納出了三角形邊的關(guān)系，即任意兩邊的和大于第三邊.

3.5 結(jié)合教材，鞏固強(qiáng)化

接下來，教師讓學(xué)生完成相應(yīng)的教材練習(xí)，教師巡視學(xué)生練習(xí)情況，從練習(xí)反饋來看，大多學(xué)生可以熟練應(yīng)用三角形三邊的關(guān)系解決問題了.

師：今天所學(xué)內(nèi)容大家還有什么疑問嗎？（生表示沒有疑問，已經(jīng)理解和掌握了今天所學(xué)內(nèi)容）

師：現(xiàn)在我就來考考大家，看看大家是不是真的沒有問題了呢？

師：現(xiàn)在任意畫一個(gè)三角形，已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，你能用數(shù)學(xué)式子來表示它們的關(guān)系嗎？

生12：這個(gè)簡(jiǎn)單，把剛剛具體數(shù)換成字母就可以了，也就是a+b＞c；a+c＞b；b+c＞a.

師：太棒了，看來大家個(gè)個(gè)都是學(xué)數(shù)學(xué)的小能手.

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)概念、公式、定理等內(nèi)容的形成往往需要一個(gè)逐步抽象的過程.為了提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，教師有必要在教學(xué)中安排一些自主探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、對(duì)比等數(shù)學(xué)活動(dòng)，將感性認(rèn)知升華至理性結(jié)論，以此提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的能力［2］.在以上建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程中，教師分三步展開，先是提出問題，明晰并不是任意三條線段都能圍成三角形，由此引發(fā)對(duì)線段長(zhǎng)度的思考；接下來通過數(shù)據(jù)分析，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型；最后借助具體應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生化特殊為一般，以此深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解.

片斷4 應(yīng)用模型，體驗(yàn)價(jià)值

師：既然大家已經(jīng)熟練地掌握了本節(jié)所學(xué)的內(nèi)容，接下來我們體驗(yàn)一下，在生活中有哪些重要的應(yīng)用吧.（教師PPT給出題目）

問題1：小明爸爸準(zhǔn)備釘一個(gè)三角木架，他選取了兩根長(zhǎng)度分別為50cm和35cm的木條，現(xiàn)在還剩下四根長(zhǎng)度分別為85cm、15cm、100cm、50cm的木條，他一時(shí)不知道選哪個(gè)好，你能幫幫他嗎？

問題2：如圖2，如果你是小明，你會(huì)選擇哪條路回家呢？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問題，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，又提升了學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)熱情.

4 教學(xué)思考

在教學(xué)三角形邊的關(guān)系時(shí)，教師打破了“師講生聽”的教學(xué)模式，在教學(xué)中以自主探索為主線，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)規(guī)律，建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型［3］.在教學(xué)中，教師從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)和已有認(rèn)知出發(fā)，借助游戲、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)環(huán)節(jié)緊緊地吸引了學(xué)生的注意力，為精彩的課堂生成奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).同時(shí)，教師在設(shè)計(jì)自主探索環(huán)節(jié)時(shí)，遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，設(shè)計(jì)了不同層次的探究活動(dòng)，如先讓學(xué)生通過“動(dòng)手拼”直觀感知不是任意三條線段都能圍成三角形；接下來，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圍成和不能圍成的情況進(jìn)行分析，啟發(fā)學(xué)生關(guān)注三條線段的長(zhǎng)度關(guān)系；最后，通過對(duì)比分析，逐漸建構(gòu)數(shù)學(xué)模型.另外，在教學(xué)中，教師巧妙地應(yīng)用設(shè)問，誘發(fā)學(xué)生進(jìn)行深度思考.如在教學(xué)中兩次重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了“任意”，一是“是否任意三條線段都能圍成三角形”，以此引導(dǎo)認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；二是對(duì)“是否需要滿足任意兩邊之和大于第三邊”，這樣通過設(shè)問，誘發(fā)學(xué)生進(jìn)行反思、質(zhì)疑，有助于知識(shí)的深化.

總之，教師要從學(xué)生出發(fā)，結(jié)合學(xué)生實(shí)際學(xué)情精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)探索，學(xué)會(huì)抽象，以此落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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