中加高校常微分方程課程比較與探討

任佼佼 吳聰

摘? 要? 通過比較分析滑鐵盧大學(xué)和成都大學(xué)常微分方程課程的課程設(shè)置、課程內(nèi)容、教學(xué)過程及考核方式，為我國該課程的教學(xué)改革提供一定的啟發(fā)和思路，應(yīng)繼續(xù)保持國內(nèi)該課程基礎(chǔ)模塊做得比較好的優(yōu)勢，加強對應(yīng)用模塊特別是拓展模塊的改進，并針對不同專業(yè)開設(shè)具有專業(yè)特色的常微分方程課程，理論聯(lián)系實際，為培養(yǎng)創(chuàng)新型實踐人才而努力。

關(guān)鍵詞? 常微分方程；課程設(shè)置；考核方式

中圖分類號：G642.3? ? 文獻標(biāo)識碼：B

文章編號：1671-489X（2023）11-0149-04

0? 引言

常微分方程[1]是高校數(shù)學(xué)專業(yè)中一門承上啟下的課程，前有數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)和解析幾何，后有泛函分析、拓撲學(xué)和近世代數(shù)。常微分方程理論體系嚴(yán)謹(jǐn)、抽象程度高，并且實際應(yīng)用廣泛、實踐性強，是數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實際的一個重要觸角。它揭示了現(xiàn)實世界各種量與其變化率之間的關(guān)系，不僅解釋了各種自然現(xiàn)象而且闡明了越來越多的社會現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律。

隨著信息化時代的到來，科技快速發(fā)展，學(xué)生和教師的生活方式、學(xué)習(xí)方式也發(fā)生了翻天覆地的變化，這就要求高校的教育理念、人才培養(yǎng)機制與目標(biāo)、課程教學(xué)方式等要緊跟時代的步伐。隨著常微分方程課時的不斷壓縮，目前，該課程的課時只有68課時或48課時，甚至是32課時。那么，如何解決該課程內(nèi)容較多而課時少的矛盾呢？常微分方程是一門實踐性很強的課程，然而，教師在授課時往往只是理論知識的疊加，只針對各類微分方程的解法進行講解，如何解決重理論而輕實際的矛盾呢？根據(jù)筆者在加拿大滑鐵盧大學(xué)聯(lián)合培養(yǎng)時對常微分方程課程的思考與分析，對滑鐵盧大學(xué)和成都大學(xué)的該課程進行了比較、分析與思考[2]。

1? 比較與分析

1.1? 課程設(shè)置

滑鐵盧大學(xué)位于加拿大安大略省滑鐵盧市，是一所公立研究型大學(xué)，是加拿大U15研究型大學(xué)聯(lián)盟成員。它擁有加拿大最大的工程學(xué)院及世界最大的學(xué)習(xí)與實習(xí)合作教育（CO-OP），是北美地區(qū)最優(yōu)秀的大學(xué)之一，其數(shù)學(xué)、計算機科學(xué)及工程學(xué)科教學(xué)及研究水平居世界前列?；F盧大學(xué)一年分為三個學(xué)期：秋季（F：Fall term）、冬季（W：Winter term）和春季（S：Spring term）。

本科學(xué)生一般可以選擇其中兩個學(xué)期上課，另外一個學(xué)期和企業(yè)合作實習(xí)，將理論和實踐密切聯(lián)系起來?；F盧大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)院由六個子學(xué)院組成：應(yīng)用數(shù)學(xué)（Applied Mathematics）、組合與優(yōu)化（Combinatorics and Optimization）、計算機科學(xué)（David R. Cheriton School of Computer Science）、純數(shù)學(xué)（Pure Mathematics）、統(tǒng)計與精算科學(xué)（Statistics and Actuarial Science）以及數(shù)學(xué)商業(yè)與會計項目（Math， Business and Accounting Programs）。常微分方程是由數(shù)學(xué)系開設(shè)的課程，具體有以下7門課程：

1）Differential Equations for Engineers

（MATH218）（開課學(xué)期：F、S。課時：39課時）；

2）Differential Equations for Physics and

Chemistry（MATH228）（開課學(xué)期：線下F、W；線上W、S。課時：39課時）；

3）Introduction to Differential Equations

（AMTH250）（開課學(xué)期：F、W、S。課時：39課時）；

4）Introduction to Differential Equations

（Advanced Level）（AMTH251）（開課學(xué)期：F。課時：39課時）；

5）Differential Equations for Business and Economics（AMATH350）（開課學(xué)期：F、W。課時：39課時）；

6）Ordinary Differential Equations 2（AMA-TH351）（開課學(xué)期：F、S。課時：39課時）；

7）Introduction to Dynamical Systems

（AMATH451）（開課學(xué)期：W。課時：39課時）。

從課程設(shè)置上，可以看出滑鐵盧大學(xué)是由簡到難進行課程設(shè)置，并且針對特定專業(yè)Engineers， Physics and Chemistry， Business and Economics都有特定課程。同時在對課程進行分解的前提下，單課程也可以達到39課時。成都大學(xué)是四川省成都市的一所綜合性大學(xué)，是成都市重點建設(shè)大學(xué)。根據(jù)基本科學(xué)指標(biāo)數(shù)據(jù)庫2022年1月發(fā)布的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示：成都大學(xué)工程學(xué)科進入ESI全球前1%，標(biāo)志著成都大學(xué)工程學(xué)學(xué)科邁入國際一流學(xué)科行列，充分展示了成都大學(xué)工程學(xué)學(xué)科的學(xué)科實力和國際影響力。成都大學(xué)沒有數(shù)學(xué)學(xué)院，其數(shù)學(xué)系隸屬于計算機學(xué)院，目前常微分方程只針對信息與計算科學(xué)專業(yè)開設(shè)，學(xué)時48課時，教材使用的是高等教育出版社出版，王高雄等編著的《常微分方程》[1]。經(jīng)濟、商業(yè)、工程、物理、化學(xué)專業(yè)均未開設(shè)該課程。常微分方程不是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的專屬，它是一門理論聯(lián)系實際的課程，能描述量與其變化率之間的關(guān)系，能夠描述越來越多的自然現(xiàn)象乃至社會現(xiàn)象，比如：利用常微分方程以及放射性物質(zhì)的衰變特征來辨別名畫真?zhèn)?；利用常微分方程及放射現(xiàn)象測定考古發(fā)現(xiàn)物的年齡；利用常微分方程掌握深水炸彈的水下運動情況；利用常微分方程研究社會經(jīng)濟、人口增減規(guī)律以及刑事偵查案件中受害者的死亡時間等等。因此，基于常微分方程的理論及應(yīng)用價值，成都大學(xué)應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)科性質(zhì)及學(xué)科發(fā)展需求，針對各專業(yè)增設(shè)此課程。

1.2? 課程內(nèi)容

成都大學(xué)的常微分方程課程采用的教材[1]所包含的內(nèi)容有：常微分方程的模型應(yīng)用介紹、基本概念和發(fā)展歷史；一階微分方程的初等解法及解的存在定理；高階微分方程及線性微分方程組的解法；非線性微分方程穩(wěn)定性、奇點、極限環(huán)以及混沌；一階線性偏微分方程，共七章內(nèi)容，往往由于課時等原因，非線性微分方程及一階線性偏微分方程的內(nèi)容一般列為自學(xué)內(nèi)容。

滑鐵盧大學(xué)的常微分課程一般無固定教材，授課教師會根據(jù)自己的授課筆記進行講解，各課程的大致內(nèi)容如下。

1）MATH218： First order equations， second order linear equations with constant coefficients， series solutions， the Laplace transform method， systems of linear differential equations. Applications in engineering are emphasized.

2）MATH228： First-order equations， second-order linear equations with constant coefficients， series solutions and special functions， the Laplace transform method. Applications in physics and chemistry are emphasized.

3）AMATH250： Physical systems which lead to differential equations （examples include mechanical vibrations， population dynamics， and mixing processes）. Dimensional analysis and dimensionless variables. Solving linear differential equations： first- and second-order scalar equations and first-order vector equations. Laplace transform methods of solving differential equations.

4）AMATH251： AMATH 251 is an advanced-level version of AMATH 250. This course offers a more theoretical treatment of differential equations and solution methods. In addition， emphasis will be placed on computational analysis of differential equations and on applications in science and engineering.

5）AMATH350： First order ordinary differential equations. Applications to continuous compounding and the dynamics of supply and demand. Higher order linear ordinary differential equations. Systems of linear ordinary differential equations. Introduction to linear partial differential equations. The Fourier Transform and the diffusion equation. Discussion of the Black-Scholes partial differential equations， and solutions thereof.

6）AMATH351： Second order linear differential equations with non-constant coefficients， Sturm comparison， oscillation and separation theorems， series solutions and special functions. Linear vector differential equations in Rn， an introduction to dynamical systems. Laplace transforms applied to linear vector differential equations， transfer functions， the convolution theorem. Perturbation methods for differential equations. Numerical methods for differential equations. Applications are discussed throughout.

7）AMATH451： A unified view of linear and nonlinear systems of ordinary differential equations in Rn. Flow operators and their classifications0： contractions， expansions， hyperbolic flows. Stable and unstable manifolds. Phase-space analysis. Nonlinear systems， stability of equilibria and Lyapunov functions. The special case of flows in the plane， Poincare-Bendixson theorem and limit cycles. Applications to physical problems will be a motivating influence.

滑鐵盧大學(xué)的常微分方程課程不僅開設(shè)了通用課程，而且開設(shè)了具有專業(yè)特色的課程，強調(diào)了該課程在其專業(yè)中的應(yīng)用，學(xué)生可以根據(jù)自己的專業(yè)進行課程選擇。與國內(nèi)不同的是：滑鐵盧大學(xué)除了講解各類微分方程（組）的解法之外，對拉普拉斯變換、偏微分方程、非線性系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性、流形以及最新學(xué)科前沿知識等也進行了詳細的講解，學(xué)生能夠全面地了解微分方程、了解微分方程在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用。

1.3? 教學(xué)過程

成都大學(xué)的課程一般按照自然班級開課，選課學(xué)生人數(shù)較多，通常教師采用講授式和啟發(fā)式[3]教學(xué)為主，以探究式、互動式和討論式教學(xué)為輔。教學(xué)手段一般采用板書與PPT相結(jié)合的方式，也可能會出現(xiàn)授課教師過于依賴PPT的現(xiàn)象。國內(nèi)的常微分方程的教學(xué)一般只涉及基礎(chǔ)模塊，應(yīng)用模塊和拓展模塊很少或幾乎沒有涉及，計算機和實際應(yīng)用相結(jié)合的內(nèi)容以及與本課程相關(guān)的最新前沿知識很少涉及。

滑鐵盧大學(xué)對各個課程都有詳細的規(guī)劃，常微分方程類課程都是0.5個學(xué)分，其課程的具體規(guī)劃：MATH218—LEC，TUT；MATH228—LEC，TUT；AMATH250—LEC，TST，TUT；AMATH 251—LEC，TUT；AMATH 350：LEC，TST；AMATH 351—LEC，TUT；AMATH451—LEC。其中，LEC（Lecture），課堂教學(xué)；TST（Test slot），期中考試；TUT（Tutorial），課堂討論。同時，教師在講解基礎(chǔ)模塊時，均不采用PPT輔助教學(xué)，全程板書講解，在講解應(yīng)用模塊和拓展模塊時，采用Matlab、Mathematic和Maple等軟件展示微分方程近似解曲線以及非線性微分方程平衡點的穩(wěn)定性問題，并使用多媒體展示最新前沿知識。

1.4? 考核方式

成都大學(xué)常微分方程的考核方式為閉卷筆試，最終的考核成績由平時成績（30%），期中成績（10%）和期末成績（60%）組成。平時成績根據(jù)出勤、課堂表現(xiàn)、作業(yè)等評定，期中考試和期末考試可采用開卷和閉卷兩種方式。滑鐵盧大學(xué)的考核成績同樣也是由平時成績，期中成績和期末成績組成，但所占比例不同，期末成績占比50%～60%，平時成績和期中成績總占比40%～50%，具體占比多少由授課老師決定。平時成績由作業(yè)、隨堂測試、課堂表現(xiàn)以及期末的演講組成，期中考試和期末考試可以是課堂上規(guī)定的短時間（2～3 h）內(nèi)完成，也可以是課下規(guī)定的相對長時間（24～48 h）內(nèi)完成，可以采取開卷或者閉卷考試，課下考試還可以利用網(wǎng)絡(luò)資源，充分考查學(xué)生的各種綜合能力?？荚嚨脑嚲砼c國內(nèi)試卷最大的不同是滑鐵盧大學(xué)的試卷至少有一題與最新前沿知識相關(guān)，將理論和實際緊緊聯(lián)系起來。

2? 思考與啟發(fā)

2.1? 優(yōu)化課程教育觀念

常微分方程的教學(xué)目標(biāo)：要求學(xué)生了解常微分方程建模的方法、過程和運算技能，掌握常微分方程的基本概念和理論。

通過常微分方程的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，從而實現(xiàn)該課程培養(yǎng)應(yīng)用型、創(chuàng)新型人才的目標(biāo)。

有了明確的教學(xué)目標(biāo)，教師就擁有了前行的指示燈。高等教育不同于初等教育，高等教育不僅要傳授理論知識，也要做好實驗?zāi)M以及及時了解最新學(xué)科前沿知識，切實做好理論聯(lián)系實際，深入了解常微分方程在各學(xué)科中的應(yīng)用，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

為充分落實常微分方程在各學(xué)科中的應(yīng)用，可以根據(jù)工程、經(jīng)濟、物理、化學(xué)等學(xué)科的人才培養(yǎng)需要，開設(shè)針對各學(xué)科特定的常微分方程課程。

2.2? 優(yōu)化整合教學(xué)內(nèi)容

對比滑鐵盧大學(xué)常微分方程的課程安排，國內(nèi)在基礎(chǔ)模塊方面做得比較好，但是在應(yīng)用模塊和拓展模塊方面相對欠缺。應(yīng)當(dāng)補充Matlab、Mathema-tic、Maple三大數(shù)學(xué)軟件對理論知識的驗證[4]，比如求解微分方程、微分方程平衡點穩(wěn)定性的驗證等。同時，將常微分方程知識與最新前沿知識聯(lián)系起來，讓學(xué)生切身感受到常微分方程和最新科學(xué)進展密切相關(guān)。不僅課堂教學(xué)需要引入數(shù)學(xué)軟件進行實驗驗證，而且課后應(yīng)當(dāng)留有適當(dāng)?shù)姆抡鎸嶒炦M行訓(xùn)練，針對與最新科學(xué)研究進展的聯(lián)系，教師根據(jù)其中某一點或者某兩點讓學(xué)生進行討論、查閱資料、撰寫報告，既可以鍛煉學(xué)生的文獻資料的查閱收集能力，又可以使其切實地體會常微分方程與實際應(yīng)用的緊密聯(lián)系。

2.3? 優(yōu)化課程考核方式

成都大學(xué)的該課程總成績由平時成績、期中考試以及期末考試組成，在整個教學(xué)過程中，備課、上課、布置作業(yè)、批改作業(yè)、答疑等一系列工作均由授課教師完成。作業(yè)的布置往往是針對課堂上講解的理論知識點的訓(xùn)練和鞏固，學(xué)生的練習(xí)題目一般情況下是一致的，因此，抄襲現(xiàn)象較為嚴(yán)重。我們可以借鑒滑鐵盧大學(xué)中比較好的做法，比如：課堂小測驗、期末演講以及小論文，同時期末考試的形式也可以不再局限于閉卷課堂測驗，可以采用開卷甚至課下考試的方式，充分利用網(wǎng)絡(luò)資源，考查學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握以及運用知識的情況。具體來說，考核可以擴展為平時成績（出勤、作業(yè)、課堂表現(xiàn)）、期中成績、期末考試、期末演講、小論文五部分，檢驗學(xué)生掌握知識以及運用知識的能力。

3? 結(jié)束語

本文對滑鐵盧大學(xué)和成都大學(xué)的常微分方程課程的課程設(shè)置、課程內(nèi)容、教學(xué)過程以及考核方式進行了比較和分析，國內(nèi)的常微分方程課程教學(xué)應(yīng)積極吸取國外教學(xué)的優(yōu)點，揚長避短。既要注重基礎(chǔ)知識的講解與訓(xùn)練，又要關(guān)注常微分方程的實驗環(huán)節(jié)，針對不同專業(yè)需與具體的專業(yè)實際緊密聯(lián)系起來，另外，要注重常微分方程在最新學(xué)科前沿知識中的應(yīng)用，讓學(xué)生真正體會到學(xué)有所用，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和實踐能力，進而為國家培養(yǎng)更多的創(chuàng)新型應(yīng)用人才[5]。

4? 參考文獻

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[3] 崔仁浩，劉萍．“常微分方程”課程啟發(fā)式教學(xué)初探[J].繼續(xù)教育研究，2016（3）：119-121.

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[5] 周霞，劉期懷，王先超.新工科背景下以O(shè)BE為導(dǎo)向的常微分方程課程教學(xué)改革[J].阜陽師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2020，37（4）：108-111.