李愛蓮

摘 要：在教育體制改革不斷深化的背景下，教師選擇與運用教學(xué)方式時應(yīng)保持與時俱進的態(tài)度，全面契合小學(xué)階段數(shù)學(xué)素質(zhì)教育提出的核心要求?！皵?shù)形結(jié)合”是幫助學(xué)生更為快速構(gòu)建思維框架、處理實際數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵思想方法，其教學(xué)作用極為值得重視?，F(xiàn)基于數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價值及教師努力方向，重點論述學(xué)生掌握知識點、建立綜合思維、提高解題能力時，教師應(yīng)給予的數(shù)形結(jié)合思想策略。數(shù)與形相統(tǒng)一的數(shù)學(xué)課堂，對同步減輕小學(xué)數(shù)學(xué)障礙、提升教學(xué)效率具有顯著作用。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；教學(xué)方法

【中圖分類號】G623.5? ? ? ? ? ?【文獻標(biāo)識碼】A? ? ? ? ? ? ?【文章編號】2097-2539（2023）16-0202-04

在新課改背景下，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教材也現(xiàn)出了較顯著變化，其中各類知識表現(xiàn)出了極顯著的科學(xué)化和系統(tǒng)化特點，因此對學(xué)生提出了更為明確的邏輯思維能力上的要求。此時若想順利掌握教材中的所有知識點，對學(xué)生而言可謂難度頗大，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能會遇到很多的難題，最終導(dǎo)致對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去信心和積極性，也無法取得良好的學(xué)習(xí)效果。此時，教師應(yīng)持續(xù)進行教學(xué)方法創(chuàng)新，而作為先進理念和方法之一種，“數(shù)形結(jié)合”思想在課堂上的運用，將顯現(xiàn)出極強的教學(xué)助力與學(xué)生激勵潛能，可以收得良好的效果。

1.“數(shù)形結(jié)合”思想簡述

數(shù)形結(jié)合思想是一種科學(xué)化、新型的數(shù)學(xué)思想方法，它于數(shù)學(xué)教學(xué)活動期間所產(chǎn)生的實際應(yīng)用價值極為顯著。在進行數(shù)學(xué)研究活動期間，數(shù)、形是兩種基礎(chǔ)性的研究對象，研究者能夠借助一些特殊條件，做這兩種研究對象的合理轉(zhuǎn)換，這就是所謂數(shù)形結(jié)合。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時一般可分成兩種情況，第一種情況是借助“數(shù)”所擁有的精確性優(yōu)勢，對“形”的一些特性加以闡述；第二種情況是從“形”的角度出發(fā)，站在幾何視角對“數(shù)”的關(guān)系加以闡述。而對部分復(fù)雜或者特殊的問題，則可能兩種情況兼而有之，即存在一種狹義上的具體“數(shù)形結(jié)合”策略。總的說來，無論哪種情況，在進行具體應(yīng)用時，其所折射出的是事物兩方面屬性，換言之，數(shù)形結(jié)合方法即是把數(shù)量關(guān)系、抽象數(shù)學(xué)語言同直觀位置關(guān)系、幾何圖形相關(guān)聯(lián)，從而讓抽象思維和形象思維彼此映照，共同服務(wù)于優(yōu)化解題思路、發(fā)展核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

2.數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用價值

（1）幫助學(xué)生掌握基本知識點

利用圖像的形式把抽象一些、復(fù)雜一些數(shù)學(xué)問題加以表述，這會讓有關(guān)概念表達變得準(zhǔn)確，信息傳播變得高效。從教師視角探索，則很顯然增添了知識的一種展示方式，從而讓課堂元素更加豐富、課堂氛圍更為活潑。而從學(xué)生角度來看，此做法有助于其對有關(guān)概念的理解，相關(guān)作用是顯而易見的，尤其是在數(shù)學(xué)動態(tài)過程理解方面，它的優(yōu)勢更是無可取代。兩個角度的作用彰顯，均可說明數(shù)形結(jié)合與幫助學(xué)生掌握基本知識點要求之間的密切關(guān)系。

（2）幫助學(xué)生建立綜合化思維

數(shù)形結(jié)合思想可以形成幫助學(xué)生構(gòu)建產(chǎn)生各學(xué)科間立體思維關(guān)聯(lián)的作用，特別是可以在建立代數(shù)同幾何二者關(guān)系上產(chǎn)生明顯作用，即學(xué)生能夠利用讀圖獲取有關(guān)數(shù)字信息，或者把數(shù)字信息向圖像方向有效轉(zhuǎn)化，或者二者兼而有之，在同一思維框架下同步應(yīng)用以圖識數(shù)，以數(shù)補形的方式，而相關(guān)做法可以在學(xué)生后期學(xué)習(xí)時產(chǎn)生積極作用，其作用與影響通常會以綜合化思維形式潛移默化地表現(xiàn)出來，是綜合能力的一種外化表現(xiàn)。

（3）幫助學(xué)生形成解題的能力

利用圖形方式能夠直觀展示數(shù)學(xué)體系，從而使大小關(guān)系、數(shù)量關(guān)系或者比例關(guān)系的對比效果變得突出，換言之，數(shù)形結(jié)合所具有的優(yōu)勢在于它的信息密度成倍增加，傳統(tǒng)應(yīng)用題之中要有很多文字進行已知條件描述的做法，用一張圖表便能充分展現(xiàn)。在這種情況下，學(xué)生將有更多機會快速獲得已知條件，看到問題所指方向，從而加快自我解決問題進程，相應(yīng)的問題解決準(zhǔn)確度也將同步提升。

3.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用策略

（1）基本概念理念的運用

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)期間，數(shù)學(xué)概念是基礎(chǔ)和關(guān)鍵所在，所以數(shù)學(xué)教師要把它看作教學(xué)的重點關(guān)注對象。然而小學(xué)數(shù)學(xué)中有些概念雖然難度不大，但又顯然具有一定抽象性，且語言描述上是高度概括化的。小學(xué)生受限于自我心理發(fā)展規(guī)律，在理解此類數(shù)學(xué)概念時可能存在一定程度困難，此時教師應(yīng)做相應(yīng)教學(xué)安排，既充分留意基本數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理所具有的應(yīng)用潛能，又利用多元化教學(xué)策略，給學(xué)生熟知、認可相關(guān)內(nèi)容創(chuàng)造條件。在此期間，如果學(xué)生僅采取數(shù)學(xué)概念文字表述分析做法，會有陷入認知誤區(qū)的可能性，所以教師要看到數(shù)形結(jié)合思想所具備的一些實用性作用，引導(dǎo)學(xué)生分析和理解數(shù)學(xué)知識，讓一些抽象的數(shù)學(xué)知識以直觀化和生動化面貌呈現(xiàn)在學(xué)生面前。

例如，在分?jǐn)?shù)意義和性質(zhì)內(nèi)容指導(dǎo)時，教師需要確認本課的重點目標(biāo)在于使學(xué)生理解分?jǐn)?shù)意義、分?jǐn)?shù)性質(zhì)，而相關(guān)內(nèi)容的抽象性特點，恰恰需要教師重視數(shù)形結(jié)合思想。教師可在教學(xué)期間用繪制蛋糕圖像等做法完成教學(xué)。具體實施過程中，教師可將蛋糕劃分不均等的幾份，且為各部分標(biāo)記相應(yīng)分?jǐn)?shù)。這類做法可有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，幫助其發(fā)展數(shù)學(xué)概念認知能力。

（2）數(shù)形結(jié)合觀念培養(yǎng)的運用

學(xué)生需要具有清晰的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀念，特別是要具有足夠明確的綜合化思維，數(shù)形結(jié)合思想中的“結(jié)合”二字，恰恰可說明該思想方法的綜合化思維啟發(fā)作用，為此教師可重視數(shù)形結(jié)合方式，為學(xué)生創(chuàng)造綜合化思維發(fā)展的有利條件。

第一，以形輔數(shù)。以形輔數(shù)的做法，可幫助學(xué)生建立數(shù)感，形成更強的思維理解能力。所謂“數(shù)感”，側(cè)重于說明學(xué)生對數(shù)學(xué)所形成的一種獨有感覺或者感受，也可認為這是學(xué)習(xí)者理解數(shù)字與理解數(shù)學(xué)的能力，以及對數(shù)字和數(shù)量關(guān)系、計算結(jié)果的主觀感悟。在做小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)活動工作時，如果教師只在課堂上做數(shù)字或者它的數(shù)量關(guān)系客觀訴說，通常會讓學(xué)生形成生澀的、難于理解的心理感受，而如果能夠巧妙應(yīng)用數(shù)形結(jié)合策略，那么學(xué)生將建立較有益于未來發(fā)展的數(shù)感，站在具象化角度進行面前數(shù)學(xué)知識的再度審視。

針對學(xué)生進行數(shù)感培養(yǎng)的方法很多，教師通?？衫藐P(guān)聯(lián)于現(xiàn)實生活的方法做這方面努力。即數(shù)學(xué)從現(xiàn)實生活中來，生活中隨時隨地有供數(shù)學(xué)知識施展的平臺，教師可以在數(shù)學(xué)課堂上創(chuàng)設(shè)學(xué)生感覺到親切或者易于發(fā)生興趣的生活化問題，以此吸引學(xué)生的注意力，讓其一面建立舊知和新知的聯(lián)系，一面突破自我數(shù)感認知局限。如在認識分?jǐn)?shù)部分的教學(xué)時，教師應(yīng)要求學(xué)生做分?jǐn)?shù)大小的比較，此時學(xué)生初次接觸分?jǐn)?shù)，會有用整數(shù)對比方法對比分?jǐn)?shù)的錯誤思路，如在進行[12]、[14]兩數(shù)對比時，會認為前者小于后者，其依據(jù)在于2比4小。若教師向?qū)W生直接說明：在分子都為1的條件下，分母越大則分?jǐn)?shù)值越小，學(xué)生只能死記硬背，機械化記憶效果不夠理想，學(xué)生的數(shù)感形成效果也很難做到盡善盡美。所以教師便需要拋棄傳統(tǒng)教學(xué)觀念，利用數(shù)形結(jié)合中的以形輔數(shù)方法展開教學(xué)，例如，教師可讓學(xué)生直接面對生活之中所常見到的兩個大小相同的圓形紙片，嘗試進行分一分、剪一剪和比一比的操作。這種做法支持之下，學(xué)生將非常直觀而形象地體會到[12]有多大，[14]有多大，極為自然地得到[12]＞[14]的結(jié)論。學(xué)生可在此之后，基于教師的提示，用剛才所使用的方法自行比較其他一些分?jǐn)?shù)的大小，在得出正確答案后，再深入探索難度更大的分?jǐn)?shù)比較類問題。這種一步一步深入、以形輔數(shù)的做法，既可以使學(xué)生比較生動而形象地領(lǐng)會分子同為1條件下的分?jǐn)?shù)大小對比方法，又可以讓學(xué)生在形象化感知狀態(tài)下鍛煉自我邏輯思維能力及空間想象能力。

不但分?jǐn)?shù)這種能夠比較直接運用圖形來闡述的數(shù)學(xué)知識可借助以形輔數(shù)方式，而且如“認知一億有多大”等純數(shù)學(xué)知識同樣可以應(yīng)用以形輔數(shù)做法，通常來講，對于十、百、千等數(shù)，小學(xué)生的數(shù)感是較為清晰的，它們能夠因生活實用性而形象感知一個班級的學(xué)生數(shù)量，一個年級的學(xué)生數(shù)量，乃至一個學(xué)校的學(xué)生數(shù)量，然而若數(shù)量過萬或者及億，就會遠遠超過其形象感知范圍，所以學(xué)生可能在面對這些數(shù)時，出現(xiàn)認知過于抽象、認知過于模糊的問題。此時教師可使學(xué)生聯(lián)系自己熟知的生活場景，做更進一步探索與感受，爭取把一億這樣的大數(shù)字，納入可感知的范圍之中。具體操作方法在于：教師引導(dǎo)學(xué)生用自己的數(shù)學(xué)教材當(dāng)作參照物，比較觀察如下課題：面前的一本數(shù)學(xué)教材大約有100頁，也就是50張紙的厚度，2本數(shù)學(xué)教材大約有100張紙的厚度，20本數(shù)學(xué)教材大約有1000張紙的厚度，由此再向下推算，可以推想得到1億張紙的厚度大約有1萬米，超過了珠穆朗瑪峰的高度。在此期間學(xué)生將會對不常見的數(shù)進行形象化感知，可以有效培養(yǎng)自我對于大數(shù)的數(shù)感。

第二，以數(shù)解形。用以數(shù)解形的方法，可以起到描述圖形，繼而幫助學(xué)生培養(yǎng)空間觀念的作用，而這同樣屬于學(xué)生綜合思維能力進步的必經(jīng)之路。在數(shù)學(xué)科學(xué)之中，空間觀念包括了長、寬、高等三個不同維度，它們共同表現(xiàn)出的客觀事物，帶給人們以整體化形象。其中所涉及的“形”是直觀與形象的，學(xué)生在理解時會相對容易一些，然而其中所隱含的一些數(shù)學(xué)語言和數(shù)量關(guān)系，同樣涉及了抽象的成分。數(shù)學(xué)教師在課堂上應(yīng)重視這些關(guān)聯(lián)的抽象成分，以之為著眼點做好以數(shù)解形的指導(dǎo)，從而使學(xué)生擁有空間思維觀念培養(yǎng)機會。在實際操作中教師應(yīng)明確小學(xué)階段學(xué)生的空間思維觀念，以及同觀念對應(yīng)知識，一般從生活中來，可以在教學(xué)時使學(xué)生認真觀察生活內(nèi)的部分實物原型，發(fā)現(xiàn)生活之同空間、同圖形相關(guān)的現(xiàn)象，再利用特定的視覺感受形式，找到空間觀念，如可于數(shù)學(xué)實踐活動契機下，親自嘗試動手操作，利用擺放、拼折、裁剪等，做觀察及比較，從而可以熟練應(yīng)用符號式數(shù)學(xué)語言，包括數(shù)字、算式等，把“形”之中所蘊含的內(nèi)容清晰表現(xiàn)出來，即利用富于邏輯特色的簡潔數(shù)學(xué)語言，重新描述直觀的圖形，這種做法能夠更好地促進學(xué)生空間想象力提升，使其空間觀念得到順利培養(yǎng)。學(xué)生可據(jù)此嘗試用數(shù)學(xué)視角重新進行生活事物的觀察，并掌握以語言概括描述這些事物的技巧。

例如，在指導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)長方體體積公式時，教師可先讓學(xué)生用一些體積是1立方厘米的小正方體塊，進行不同類型長方體的拼接，并把拼接結(jié)果填入表格之中，再利用對表格的梳理發(fā)現(xiàn)長方體體積計算規(guī)律：長方體的長、寬、高乘積，實際上等于小正方體個數(shù)。此處小正方體個數(shù)同最終拼接得到的長方體體積相關(guān)。學(xué)生利用以數(shù)解形的一些基本操作，自主觀察得到長方體體積公式，這個學(xué)習(xí)指導(dǎo)過程可以說明：合適的指導(dǎo)方法，會比較充分地展現(xiàn)學(xué)生自主能力，并不斷獲得空間思維觀念的進步機會。

又如，在為學(xué)生提供平面圖形面積公式推導(dǎo)學(xué)習(xí)方法時，教師同樣可以循此思路，即教師可在教學(xué)前準(zhǔn)備一些有關(guān)學(xué)具，使學(xué)生利用擺一擺或者拼一拼的活動，自主推導(dǎo)得到面積公式，像以兩個完全相等三角形能夠拼接成為平行四邊形等。教師同步提出問題，如平行四邊形底與三角形底的關(guān)系是怎樣的，三角形高與平行四邊形高二者的關(guān)系如何解釋，三角形和平行四邊形二者之間的面積關(guān)系怎樣表達，等等。按照這個思路，學(xué)生將比較容易得到三角形面積公式，同時基于以數(shù)解形的原理形成初步空間觀念。

第三，數(shù)形結(jié)合?！皵?shù)”與“形”的互變有較多體現(xiàn)，單一方向的變化可產(chǎn)生以形輔數(shù)或者以數(shù)解形的教學(xué)策略，而在講解一些重難點，或者稍復(fù)雜一些的習(xí)題時，教師可突顯出“數(shù)形結(jié)合”的思想應(yīng)用的交互性，即讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)進所涉及的“數(shù)”與“形”二者之間的典型互化關(guān)系。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)期間，所涉及基本原理往往是簡單的，但其中又不乏一些不易于理解的復(fù)雜知識點。教師在教學(xué)過程中不僅要對基礎(chǔ)知識點進行概念上、含義上的系統(tǒng)梳理，又要引導(dǎo)學(xué)生做更深層次、更廣闊視角的知識深度探索，使之得以獨立思考數(shù)學(xué)知識點的本質(zhì)，并不斷做好自我的知識內(nèi)化和吸收。在此期間，數(shù)形結(jié)合思想運用可使復(fù)雜問題被化簡，使學(xué)生從直觀視角進行各類數(shù)學(xué)問題的審視，從而提升其綜合思維。

教師應(yīng)當(dāng)尋找恰當(dāng)時機，發(fā)現(xiàn)并合理使用數(shù)形結(jié)合思想，據(jù)此引導(dǎo)學(xué)生學(xué)生有效攻克重點與難點，深化其學(xué)科綜合思維。例如，在分?jǐn)?shù)除法一課教學(xué)工作時，教師需要明確本次教學(xué)的難點是讓學(xué)生了解發(fā)現(xiàn)題目之中數(shù)量關(guān)系方法，并要求其明確分?jǐn)?shù)除法原理，找到分?jǐn)?shù)除以整數(shù)正確計算方法等。針對教學(xué)重點，教師可提出問題：打字員正在打一份文件，他在打20分鐘之后，還有[25]沒有打，那么此打字員平均每分鐘可打本文件的幾分之幾？在初讀此題時學(xué)生往往會產(chǎn)生茫然無措心理，不能正確列出式子，給出答案。這時教師可以板書圖形，讓學(xué)生看到：所有文件可視為“1”，并以一個大長方形表示這個“1”，接下來基于題意把它平均分為5份，把還沒有打的文件即[25]部分以藍色表示出來，把已經(jīng)打完的部分即[35]部分以紅色表示出來，然后教師再用另一種顏色把[35]部分長方形平均分成20份。通過不同顏色的標(biāo)注，原本抽象與復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得直觀起來，此時學(xué)生可在教師的提示下結(jié)合圖形進行原問題思考，并順利列出算式[35]÷20，再結(jié)合圖形進行算式的轉(zhuǎn)化，使之成為：[35]×[120]，從中領(lǐng)悟悟到分?jǐn)?shù)除法所蘊含的計算原理。在此前提下，教師再進行變式教學(xué)，使學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想方法處理與之相關(guān)問題，這可順利強化學(xué)生的分?jǐn)?shù)除法原理理解效果?？梢哉f，在做重難點內(nèi)容教學(xué)時，教師即可先提出一些比較典型的問題，并繪制圖形幫助學(xué)生理解各個問題之中的數(shù)量關(guān)系含義，接下來使學(xué)生依圖列式計算，于觀圖、用圖過程中順利理解代數(shù)運算基本原理，這對深化學(xué)習(xí)思維是非常有幫助的。

（3）用數(shù)形結(jié)合思想促進實際問題解決

數(shù)學(xué)作為一門和現(xiàn)實生活有密切關(guān)聯(lián)性的學(xué)科，它給予學(xué)生以應(yīng)用數(shù)學(xué)知識能力培養(yǎng)的作用無法避開。在此目標(biāo)牽制之下，教師需要重視幫助學(xué)生更好應(yīng)用數(shù)學(xué)知識進行實際問題處理為的作用，并據(jù)此導(dǎo)向功能，于運用數(shù)形結(jié)合思想期間，以處理問題為中心設(shè)計一些實用性策略。在具體策略應(yīng)用過程中，教師可結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想使學(xué)生接近于日常生活中經(jīng)常見到的經(jīng)典案例，達到對于學(xué)生解題能力的自然引領(lǐng)效果。

例如，A和B兩名學(xué)生共有70枚郵票，目前已知學(xué)生B的郵票數(shù)量較學(xué)生A多12張，則兩名學(xué)生分別有多少張郵票？對于此生活實用類問題，很多小學(xué)生初次接觸到時，會有無從下手之感，為給學(xué)生以比較充分的問題探究助力，教師可合理使用數(shù)形結(jié)合方面思想，啟迪學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中特別關(guān)注由已知條件著手繪制圖形的做法，從而使學(xué)生產(chǎn)生問題深入探索意識和探索能力。為使學(xué)生能夠以形象化方式理解并掌握題目之中各已知條件，教師可以于教學(xué)期間利用線段圖進行思路引領(lǐng)，提示學(xué)生思考題目之中哪一個已知條件能夠被看作單位“1”，學(xué)生可以于思考后給出答案，接下來教師引導(dǎo)學(xué)生利用線段圖，把A、B學(xué)生所持有的郵票數(shù)量關(guān)系以線段進行表示。當(dāng)線段圖繪制完成之后，學(xué)生便能清晰發(fā)現(xiàn)題目內(nèi)所給已知條件，并對其順利加以理解。教師在此之后應(yīng)當(dāng)給學(xué)生安排足夠思考時間，讓其可以利用獨立思考或者小組合作的方式進行問題探討，分析得到解決問題思路。

關(guān)于以數(shù)形結(jié)合思想帶動實際問題有效解決，教師所應(yīng)注意的要點如下：其一，指導(dǎo)應(yīng)用時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生借助繪制圖形方式，合理分析題目之中所提及已知條件，據(jù)此使學(xué)生比較充分地領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想具體應(yīng)用方法。其二，在教學(xué)活動持續(xù)過程中，教師應(yīng)將注意力放在學(xué)生的數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)上，而非止步了對具體問題的解決，即應(yīng)使學(xué)生于遇到數(shù)學(xué)問題后，可以迅速找到數(shù)形結(jié)合思想的落腳點，完成對于題目內(nèi)已知條件的客觀與全面分析。其三，考慮到小學(xué)生抽象思維能力的不足，以及對形象思維理解的依賴，教師可于運用數(shù)形結(jié)合思想解決具體問題期間，認真做好應(yīng)用示范工作，以示范培養(yǎng)學(xué)生的規(guī)范繪圖與用圖習(xí)慣。

4.結(jié)語

綜上所列，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動持續(xù)期間，數(shù)形結(jié)合思想運用范圍很廣，無時不在、無處不在的數(shù)形結(jié)合思想，對于學(xué)生掌握知識點、建立綜合思維、提高解題能力幫助很大。本文從數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用價值，也就教師努力方向出發(fā)，做了課堂教學(xué)工作持續(xù)期間具體操作策略的分析，相關(guān)探究成果明確：教師需要不斷研討借助數(shù)形結(jié)合思想做數(shù)學(xué)教學(xué)新路徑創(chuàng)新的方法，以便滿足小學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律要求，引領(lǐng)其走向深度學(xué)習(xí)。

參考文獻

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[4]管愛梅.數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2022（21）．

[5]蔣燕.數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].數(shù)學(xué)之友，2023（02）.