吳金橋

若 f （x）=g （h （x） ），則稱該函數(shù)為復(fù)合函數(shù).復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由外函數(shù) g（x） 與內(nèi)函數(shù) h （x） 的單調(diào)性決定.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題側(cè)重于考查簡單基本函數(shù)以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.很多同學(xué)在遇到復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時束手無策，那么如何破解這類問題呢？下面舉例說明.

一、外函數(shù)為對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)

判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)遵循的原則：同增異減，即若內(nèi)外兩個函數(shù)的增減性相同，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，若內(nèi)外兩個函數(shù)的增減性不同，則復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).當(dāng)外函數(shù)為對數(shù)函數(shù)時，應(yīng)確保內(nèi)函數(shù)必須恒為正數(shù).那么在解題時要先考慮原函數(shù)的定義域；再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性.

二、外函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)

當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)確定時，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性也就確定了，即底數(shù)大于0時，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)小于0時，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減.因此解答外函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題，應(yīng)特別關(guān)注內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性.

三、三重復(fù)合函數(shù)

當(dāng)一個函數(shù)由三個函數(shù)復(fù)合而成時，應(yīng)分清外、中、內(nèi)三層函數(shù)，判斷出每個函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；然后根據(jù)“兩增一減為減，兩減一增為增，三增為增，三減為減”的原則，判斷出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.

可見，求解復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，關(guān)鍵是判斷復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，這就需要一層層討論各個函數(shù)的單調(diào)性，“化整為零”，各個擊破，才能“化難為易”，判斷出復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，求得問題的答案.

（作者單位：江蘇省泰興市第三高級中學(xué)）