? 吉林師范大學數(shù)學與計算機學院 聶海晶

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歸納推理能力的培養(yǎng)對于數(shù)學教育而言十分重要,因為要培養(yǎng)學生的思維能力,就要訓練學生的歸納推理能力[1].從數(shù)學本身出發(fā),現(xiàn)代數(shù)學逐漸走向規(guī)范、嚴謹,但是一些公理、符號都是數(shù)學家們思想的碰撞產(chǎn)生的,歸納推理是得到數(shù)學結(jié)論的必要途徑.從數(shù)學與生活的角度來看,數(shù)學學科本身更多的是確定性的結(jié)論,而現(xiàn)實生活中則需要我們進行預測、推理、驗證.

學生歸納推理能力的培養(yǎng)是數(shù)學教育與教學的一個熱點話題.“推理能力”是《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》初中階段所強調(diào)的核心素養(yǎng)表現(xiàn)之一,也是《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》中的重要內(nèi)容.關(guān)于歸納推理能力的理論研究十分廣泛,但是關(guān)于一線教師教學實踐中提升學生歸納推理能力的教學設(shè)計并不多見.筆者則根據(jù)歸納推理的“個別的看、重復的看、想象的看、抽象的看、一般的看”五個認識階段,對“圖形與幾何”部分知識點進行教學設(shè)計的研究[2].

1 歸納推理能力的內(nèi)涵

歸納是很多學科所共同探討的概念,學者們一般認為,歸納是由個別到一般的過程,比較常見的一種定義方式是:“歸納是指由某一類事物的部分對象具有某個屬性,推斷出這一類事物都具備某個屬性的推斷方式[3].這種定義方式缺乏學科針對性,特別缺少數(shù)學學科元素.波利亞[4]則在《怎樣解題》中指出:“歸納是通過觀察和組合特殊的例子來發(fā)現(xiàn)普遍規(guī)律的過程.”李興貴[2]則根據(jù)波利亞的觀點,將數(shù)學歸納推理定義為:“數(shù)學歸納推理是通過觀察和組合特殊事例的量性特征來發(fā)現(xiàn)一類事物的量化模式的創(chuàng)造性思維活動過程.”

2 中學生歸納推理能力現(xiàn)狀

武錫環(huán)[1]提出了“數(shù)學歸納推理的認知模型”,借助這一模型編制試題對初中三個年級的測試顯示,初二年級是數(shù)學歸納推理發(fā)展的關(guān)鍵期,且中學生歸納推理能力的發(fā)展落后于演繹推理能力,因此在數(shù)學教學過程中要多側(cè)重學生數(shù)學歸納推理能力培養(yǎng).黃煜烽[5]也指出在整個中學階段,歸納推理能力的發(fā)展在初二階段處于迅速期,枚舉歸納法是促進學生歸納推理能力發(fā)展的主要方法.

3 初中幾何教學的現(xiàn)狀

初中生普遍感覺圖形與幾何難以理解,對其邏輯證明往往無從下手.那么,產(chǎn)生這種狀況的原因是什么呢?馬海燕[6]通過調(diào)查分析得到初中生對證明的一般性和必要性掌握得不夠扎實,大部分學生從實驗幾何到論證幾何的過渡期沒達到課標的要求.受應試教育的影響,幾何教學中教師通常只要求學生記住相關(guān)的概念、公式等,然后通過反復做題記住知識點,而這卻忽略了對學生幾何思維的訓練.

4 教學片段設(shè)計

對人教版教材八年級數(shù)學上下冊“圖形與幾何”這部分知識點進行整理,發(fā)現(xiàn)相關(guān)概念共有72個,其中可以通過歸納、類比得出的有32個,占比達45%.從上述數(shù)據(jù)可以看出,“圖形與幾何”很多知識點都是通過歸納推理得到的.下面按照李興貴總結(jié)出的歸納推理五個認知階段對“勾股定理”和“全等三角形”進行教學設(shè)計,側(cè)重對學生歸納推理能力的培養(yǎng).

數(shù)學歸納推理的基本內(nèi)涵及認知過程分析如下.

探究1：勾股定理.

借助信息技術(shù),播放勾股定理相關(guān)數(shù)學史的視頻片段,引出新課主題,與學生一同探究勾股定理.

問題1一般三角形三邊之間的關(guān)系是否適用于直角三角形?

學生活動:獨立思考,直角三角形三邊之間也符合兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.(學生根據(jù)以往學過的知識給出回答即可.)

教師活動:點評學生的回答,將滿足三邊關(guān)系的一次不等式轉(zhuǎn)換成關(guān)于邊的二次不等式,并大膽猜測直角三角形直角邊a,b和斜邊c滿足a2+b2=c2.

問題2如何驗證猜想?

為了學生方便,引入網(wǎng)格紙進行計算.

(1)數(shù)學歸納推理認知第一階段:個別的看

教師活動:首先引入直角邊長都為1的直角三角形,以三角形三邊a,b,c為邊長分別向外作正方形,帶領(lǐng)學生通過計算發(fā)現(xiàn)三個正方形面積之間的關(guān)系.

(2)數(shù)學歸納推理認知第二階段:重復的看

教師活動:接著引入邊長為3,4,5的直角三角形,以三角形三邊a,b,c為邊長分別向外做正方形,帶領(lǐng)學生通過計算發(fā)現(xiàn)三個正方形面積之間的關(guān)系.提示學生用割補法求面積.

學生活動:學生先獨立思考,后小組討論,通過計算得出32+42=52,即a2+b2=c2,驗證猜想.

(3)數(shù)學歸納推理認知第三階段:想象的看

師生活動:學生自己在網(wǎng)格紙上任意畫出一個直角三角形,同桌之間互相驗證是否滿足“兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方和”.

(4)數(shù)學歸納推理認知第四階段:抽象的看

師生活動:現(xiàn)在沒有網(wǎng)格紙,只提供四張邊長為a,b,c的直角三角形,根據(jù)之前的三次探究進行拼接,利用拼接后的圖形面積之間的關(guān)系仍然可以得到a2+b2=c2.

(5)數(shù)學歸納推理認知第五階段:一般的看

師生活動:根據(jù)學生第三階段任意畫出的直角三角形進行勾股定理的驗證.學生通過歸納推理,驗證了勾股定理并且掌握了勾股定理的數(shù)學表達.

探究2：全等三角形.

利用多媒體教學設(shè)備為學生展示大小、形狀相同的兩個正方形,兩本完全相同的教學用書,體型一樣的兩只小貓.每位同學準備一張正方形卡紙.

(1)數(shù)學歸納推理認知第一階段:個別的看

教師活動:引導學生利用直尺測量出自己手中數(shù)學書的長和寬,再和同桌交換,驗證數(shù)值是否相等,接著引出新課——全等三角形.

學生活動:發(fā)現(xiàn)兩本教科書的長和寬相等,初步感知全等圖形在生活中的體現(xiàn).

(2)數(shù)學歸納推理認知第二階段:重復的看

教師活動:引導學生觀察展示的圖片,并追問學生圖片中“成對”的圖形具備什么特征?

學生活動:通過圖形感知全等圖形,對全等圖形有更深刻的理解.

(3)數(shù)學歸納推理認知第三階段:想象的看

教師活動:帶領(lǐng)學生拿出提前準備好的正方形卡紙,讓學生將卡紙沿對角線對折,然后沿折線剪開,并與同桌的三角形進行對比.

學生活動:學生會發(fā)現(xiàn)自己的三角形與同桌的可以完全重合.通過從生活中的全等到全等圖形最后到全等三角形,學生自己就可以總結(jié)出全等圖形的性質(zhì)和特征.

(4)數(shù)學歸納推理認知第四階段:抽象的看

師生活動:師生共同總結(jié)出關(guān)于全等圖形、全等三角形的概念.形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形;能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

(5)數(shù)學歸納推理認知第四階段:一般的看

師生活動:學完“全等圖形”的概念后,利用概念去判斷一些圖形是否存在全等關(guān)系.

在探究1中,以一般三角形三邊之間的關(guān)系作為切入點,同時引導學生猜測直角三角形三邊的關(guān)系,借助網(wǎng)格紙計算面積,歸納推理出直角三角形邊之間的關(guān)系.探究2仍然是三角形問題,借助多媒體從熟悉的生活案例展開探究,通過觀察總結(jié)出全等三角形的特點和性質(zhì),著重培養(yǎng)學生的歸納推理能力,并借助已有知識深刻理解新知.

綜上可知,“圖形與幾何”知識具有較強邏輯性,它是培養(yǎng)學生歸納推理能力重要的知識板塊.在“圖形與幾何”的教學中,應充分發(fā)揮這部分知識的特點,培養(yǎng)學生的歸納推理能力.第一,在教學過程中把握“圖形與幾何”的思想本質(zhì)和重要知識點,引導學生感受猜想、假設(shè)、歸納推理的過程與方法.第二,注意創(chuàng)設(shè)問題情境,選擇學生感興趣的、熟悉的領(lǐng)域?qū)дn,在實際情境中解決問題,促進學生歸納推理水平的發(fā)展.第三,采用單元教學,建立知識之間的緊密聯(lián)系,從單元的視角出發(fā)培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng),體現(xiàn)知識之間的邏輯性.第四,在練習、例題等解題訓練過程,注重對學生推理能力的考查.