王希

［摘 要］唯有經(jīng)歷貼近真實(shí)的、主動(dòng)探究的、創(chuàng)造式的活動(dòng)，學(xué)生才能深入數(shù)學(xué)知識(shí)脈絡(luò)，深刻把握知識(shí)內(nèi)核。項(xiàng)目化學(xué)習(xí)基于學(xué)科大概念，以項(xiàng)目或者任務(wù)為載體，驅(qū)動(dòng)學(xué)生在問(wèn)題情境中自主開(kāi)展實(shí)踐性學(xué)習(xí)活動(dòng)，自主構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)框架，為解決學(xué)習(xí)碎片化現(xiàn)象提供了合適的方法導(dǎo)向，便于學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)知識(shí)本質(zhì)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，融通數(shù)學(xué)思維和技能。

［關(guān)鍵詞］項(xiàng)目化學(xué)習(xí)；大概念；核心素養(yǎng)；小學(xué)數(shù)學(xué)

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）20-0048-04

項(xiàng)目化學(xué)習(xí)（PBL）是基于學(xué)科核心概念，以項(xiàng)目或者任務(wù)為載體，驅(qū)動(dòng)學(xué)生在問(wèn)題情境中自主開(kāi)展實(shí)踐性學(xué)習(xí)活動(dòng)。項(xiàng)目化學(xué)習(xí)可以融通數(shù)學(xué)思維與技能，那么如何以項(xiàng)目任務(wù)的形式，引導(dǎo)學(xué)生形成整體性的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知，明確概念本質(zhì)？這就要求教師熟知學(xué)科整體結(jié)構(gòu)中的大概念，圍繞知識(shí)核心進(jìn)行教學(xué)目標(biāo)的重構(gòu)，設(shè)計(jì)活動(dòng)項(xiàng)目，再將項(xiàng)目?jī)?nèi)容付諸實(shí)踐。下面，筆者以“兩位數(shù)的再認(rèn)識(shí)”為例進(jìn)行具體說(shuō)明。

一、在領(lǐng)域結(jié)構(gòu)中厘定大概念

將學(xué)習(xí)內(nèi)容置于學(xué)科相應(yīng)的領(lǐng)域結(jié)構(gòu)中審視，明確其在知識(shí)系統(tǒng)中的地位和作用，提煉出能反映知識(shí)整體的本質(zhì)核心及內(nèi)在關(guān)系的概念，或具有廣泛的適用性和解釋力，以及具有概括遷移價(jià)值的原理、思想或方法，這些即為大概念。

小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域包含“數(shù)與運(yùn)算”“數(shù)量關(guān)系”兩大主題（如圖1）。課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)，量之間的關(guān)系表達(dá)離不開(kāi)數(shù)與運(yùn)算，而數(shù)與運(yùn)算均要以計(jì)數(shù)單位為核心予以統(tǒng)領(lǐng)。“數(shù)的認(rèn)識(shí)”中，從整數(shù)到小數(shù)、分?jǐn)?shù)，都是由數(shù)量到數(shù)的抽象過(guò)程，核心概念就是用抽象符號(hào)表達(dá)數(shù)的意義。其中，整數(shù)具體表達(dá)為“十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法”，用0～9這10個(gè)數(shù)，以及十進(jìn)制、位值制的計(jì)數(shù)規(guī)則，就能表征任意對(duì)象的數(shù)量。這是計(jì)數(shù)單位在整數(shù)中的表現(xiàn)形式，小數(shù)和分?jǐn)?shù)的表達(dá)也是類似的抽象方式?！皵?shù)與運(yùn)算”中，算理、算法的理解最終也要追溯到計(jì)數(shù)單位對(duì)數(shù)義的表達(dá)，具有一致性。因此，“十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法”可以看作是一套完整的符號(hào)表征系統(tǒng)，是統(tǒng)攝整數(shù)的大概念，能真正凸顯數(shù)的本義，也是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域結(jié)構(gòu)中的主要線索之一。

二、在知識(shí)主線中整合核心內(nèi)容

根據(jù)數(shù)學(xué)教材編排的相關(guān)內(nèi)容順序，整數(shù)的教學(xué)主要包含認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)、認(rèn)識(shí)11～20各數(shù)、認(rèn)識(shí)100以內(nèi)的數(shù)、認(rèn)識(shí)萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)、認(rèn)識(shí)多位數(shù)。0～9的認(rèn)識(shí)是讓學(xué)生初步體會(huì)運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)量，培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)；在蘇教版和人教版教材中，“10的認(rèn)識(shí)”是獨(dú)立課時(shí)，讓學(xué)生初步感受數(shù)從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)折，具有開(kāi)啟體會(huì)十進(jìn)位值制意義的基礎(chǔ)地位；100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)是數(shù)的表征開(kāi)始構(gòu)建成形；萬(wàn)以內(nèi)數(shù)和多位數(shù)的認(rèn)識(shí)是對(duì)十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法的拓展延伸，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移應(yīng)用的能力?？梢?jiàn)，兩位數(shù)的再認(rèn)識(shí)是統(tǒng)領(lǐng)知識(shí)主線的關(guān)鍵內(nèi)容，也是培養(yǎng)學(xué)生遷移計(jì)數(shù)能力的基石。

三、在概念維度下確定項(xiàng)目目標(biāo)

好的項(xiàng)目設(shè)計(jì)，需要依據(jù)大概念的具體維度對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

首先，要將大概念蘊(yùn)含在設(shè)計(jì)的問(wèn)題之中，形成項(xiàng)目實(shí)踐目標(biāo)，以及要能從項(xiàng)目中提煉出知識(shí)結(jié)構(gòu)的核心問(wèn)題。

其次，學(xué)生能以數(shù)學(xué)的眼光理解任務(wù)內(nèi)容，用數(shù)學(xué)的思維思考項(xiàng)目的核心本質(zhì)，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)對(duì)項(xiàng)目的理解，用適合的數(shù)學(xué)工具解決問(wèn)題。

最后，在項(xiàng)目交流中，學(xué)生能正確評(píng)價(jià)自己和別人的項(xiàng)目成果，應(yīng)用核心知識(shí)轉(zhuǎn)化為評(píng)價(jià)依據(jù)，在評(píng)價(jià)總結(jié)過(guò)程中感知知識(shí)的價(jià)值所在。

在大概念具體化維度的引領(lǐng)下，項(xiàng)目設(shè)計(jì)以“在計(jì)數(shù)從量到質(zhì)的轉(zhuǎn)變中體會(huì)十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法的原理，能基于計(jì)數(shù)規(guī)則創(chuàng)造符號(hào)來(lái)表征數(shù)量”為出發(fā)點(diǎn)，設(shè)計(jì)詳細(xì)的項(xiàng)目實(shí)踐目標(biāo)（見(jiàn)表1），將認(rèn)識(shí)10、認(rèn)識(shí)11～20各數(shù)、認(rèn)識(shí)100以內(nèi)的數(shù)整合起來(lái)，重構(gòu)成跨學(xué)期的學(xué)習(xí)項(xiàng)目——“兩位數(shù)的再認(rèn)識(shí)”。

四、在目標(biāo)指導(dǎo)下實(shí)施具體任務(wù)

項(xiàng)目化學(xué)習(xí)相比常規(guī)的課堂探究活動(dòng)有著特別的優(yōu)勢(shì)，它不僅能突破教材中課時(shí)分散的限制，圍繞大概念將兩位數(shù)的內(nèi)容整合起來(lái)教學(xué)，還能突破時(shí)空限制，設(shè)計(jì)成“課前+課中+課后”“校內(nèi)+校外”的長(zhǎng)程活動(dòng)，為學(xué)習(xí)的實(shí)施提供便利。因此，根據(jù)項(xiàng)目實(shí)踐的具體目標(biāo)，可在不同時(shí)間段設(shè)置相應(yīng)的項(xiàng)目任務(wù)，滲透核心素養(yǎng)的培養(yǎng)（見(jiàn)表1），為學(xué)生形成扎實(shí)的結(jié)構(gòu)思維做鋪墊。以下是具體實(shí)施過(guò)程。

1.應(yīng)用原理，合作創(chuàng)造

弗賴登塔爾認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是進(jìn)行再創(chuàng)造，即由學(xué)生本人把要學(xué)習(xí)的東西發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)。顯然，“做數(shù)學(xué)”本身也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的。經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過(guò)程，能使學(xué)生在參與問(wèn)題解決的過(guò)程中體悟核心概念，建構(gòu)屬于自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

如圖2所示，通過(guò)自主閱讀和思考，強(qiáng)化了對(duì)計(jì)數(shù)原理的認(rèn)知后，小組成員需要聚集在一起分享自己的想法和收獲。有的小組在思維的碰撞和糾偏中，有條理地總結(jié)兩位數(shù)創(chuàng)造的要點(diǎn)，討論出理想的創(chuàng)造方案。有的小組會(huì)選擇在討論后每個(gè)成員出一套方案，然后由每個(gè)人說(shuō)明設(shè)計(jì)理念和優(yōu)勢(shì)所在，再共同評(píng)選出大家一致認(rèn)可的方案。其中，每一步的分享、討論與篩選，都是培養(yǎng)學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)思維最自然、最有趣的方式。

對(duì)于設(shè)計(jì)方案的創(chuàng)造與改進(jìn)，不同小組的呈現(xiàn)結(jié)果必然會(huì)有層次差異，這樣的差異會(huì)反映到項(xiàng)目成果中。因此，教師要提前收集各小組方案，進(jìn)行初步的分類和篩選，目的有兩點(diǎn)：一是課堂上需要有典型案例的分享，以及代表性資源的對(duì)比評(píng)價(jià)；二是精選部分作品適應(yīng)課時(shí)容量，盡量圍繞核心目標(biāo)展開(kāi)研討，做到課堂的提質(zhì)增效。圖3是筆者整理的部分設(shè)計(jì)作品，包含失敗的、有待改進(jìn)的和比較成功的代表類型。其中，方案1每個(gè)數(shù)字都用一個(gè)新的符號(hào)表示；方案2是將算籌的縱式和橫式交換了位置；方案3～5分別使用了字母、文字、圖形的不同方式表征兩位數(shù)。

2.介紹推廣，以教促學(xué)

能促使學(xué)生加深記憶、靈活應(yīng)用的方法就是把知識(shí)教給別人讓別人探索，進(jìn)行項(xiàng)目推廣本質(zhì)上也是以教促學(xué)的一種變式。

在設(shè)計(jì)方案定型后，小組兩人之間需要把自己創(chuàng)造的兩位數(shù)介紹給對(duì)方，在有限的時(shí)間內(nèi)教會(huì)對(duì)方自己新創(chuàng)的兩位數(shù)，并讓對(duì)方說(shuō)出計(jì)數(shù)規(guī)則與組合原理。讓他人了解、接受、喜歡上自己創(chuàng)造的事物，能大大激發(fā)學(xué)生的興趣和熱情。

在這個(gè)過(guò)程中，教師應(yīng)參與其中并進(jìn)行幫助和指導(dǎo)。為了不打擊部分學(xué)生的信心，也為了學(xué)生能更好地理解計(jì)數(shù)法，可以及時(shí)給予失敗小組幫助，提供整改的機(jī)會(huì)。整改方案的前后對(duì)比是項(xiàng)目實(shí)踐中寶貴的生成性資源，它體現(xiàn)的是學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知從淺表到本質(zhì)的轉(zhuǎn)變過(guò)程，也能更加動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)設(shè)計(jì)原理的合理性，極具研討價(jià)值。

3.課堂研討，項(xiàng)目反饋

項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的主要特征除了“做中學(xué)”“用中學(xué)”“創(chuàng)中學(xué)”，還有作品化。教與學(xué)都圍繞著作品的生成，按有形的任務(wù)線索展開(kāi)，關(guān)注顯性素材的準(zhǔn)備和使用。成果產(chǎn)生的過(guò)程也是學(xué)習(xí)結(jié)果在物化作品中的界定。

“兩位數(shù)的再認(rèn)識(shí)”的項(xiàng)目成果包含兩部分，一是兩位數(shù)的創(chuàng)造方案，二是設(shè)計(jì)推廣成效。課堂中，教師要圍繞這兩點(diǎn)設(shè)計(jì)研討、反饋的流程（如圖4），每個(gè)流程須緊扣實(shí)踐目標(biāo)和項(xiàng)目環(huán)節(jié)，以大問(wèn)題展開(kāi)，即以提問(wèn)的形式復(fù)盤作品產(chǎn)生的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生思考互動(dòng)，生成要點(diǎn)，提煉知識(shí)核心思想。

流程①是資料閱讀的反饋。

問(wèn)題：根據(jù)我國(guó)數(shù)字發(fā)展史，你認(rèn)為古人是怎么設(shè)計(jì)兩位數(shù)的？這樣的設(shè)計(jì)好在哪里？為你們小組兩位數(shù)的創(chuàng)造提供了怎樣的經(jīng)驗(yàn)？

[經(jīng)驗(yàn)舉例]

①古人最開(kāi)始用手指數(shù)的時(shí)候數(shù)到10不夠數(shù)了，對(duì)數(shù)字繼續(xù)地創(chuàng)造產(chǎn)生了影響。

②無(wú)論是用繩結(jié)、算籌還是阿拉伯?dāng)?shù)字記數(shù)，都習(xí)慣10個(gè)符號(hào)為一組進(jìn)行組合變化。

③算籌和阿拉伯?dāng)?shù)字中，不同數(shù)位上的符號(hào)一樣時(shí)，表示的數(shù)量不一樣。

流程②是計(jì)數(shù)原理的討論。

問(wèn)題：你們小組認(rèn)為設(shè)計(jì)兩位數(shù)的關(guān)鍵要點(diǎn)是什么？

[要點(diǎn)舉例]

①兩位數(shù)的組成是有規(guī)律的，個(gè)位每滿10，十位上就會(huì)增加1。

②不同數(shù)位上的數(shù)表示的意義不同。

③ 需要一些基礎(chǔ)符號(hào)才能組成不同的兩位數(shù)。

流程③是作品的展示與分析。

問(wèn)題：每樣作品有什么特點(diǎn)？對(duì)照設(shè)計(jì)關(guān)鍵要點(diǎn)說(shuō)說(shuō)好（或不好）在哪里？不同的作品之間有什么異同，產(chǎn)生了什么影響？

[分析舉例]

①方案1設(shè)計(jì)的每個(gè)符號(hào)都不相同，有一個(gè)數(shù)就創(chuàng)造一個(gè)符號(hào)來(lái)與之匹配，那么無(wú)窮的數(shù)就要?jiǎng)?chuàng)造無(wú)窮的符號(hào)來(lái)表示，造成了創(chuàng)造和使用的困難。

②方案2是改編的算籌計(jì)數(shù)法，需要用到橫縱兩組數(shù)，比較煩瑣，不像方案3和方案4，只要記住10個(gè)符號(hào)就能表征所有兩位數(shù)。

③幾組成功的方案為了計(jì)數(shù)的簡(jiǎn)便，都改變了0～9的表征符號(hào)，說(shuō)明創(chuàng)造兩位數(shù)的前提是創(chuàng)造必要的基礎(chǔ)符號(hào)。個(gè)位只要滿10就需進(jìn)1，相同的符號(hào)“幾”在十位上就表示“幾十”。

④方案3的表征符號(hào)特別簡(jiǎn)潔，跟阿拉伯?dāng)?shù)字一樣都是1或2筆寫成，而且是熟悉的拼音。

流程④是推廣成果的分析。

問(wèn)題：成功推廣的小組是如何迅速教會(huì)他人默寫新的兩位數(shù)的？接受組為何能快速接受并學(xué)會(huì)？推廣失敗的小組失敗的原因是什么？

過(guò)程：推廣組與接受組結(jié)合計(jì)數(shù)法解說(shuō)，最后全班共同討論。

流程⑤是回歸對(duì)已學(xué)兩位數(shù)的分析。

問(wèn)題：這些成功的創(chuàng)新數(shù)與我們學(xué)習(xí)的兩位數(shù)有什么相同之處？挑出你最喜歡的，說(shuō)說(shuō)理由。你對(duì)我們學(xué)習(xí)的兩位數(shù)有了什么新的認(rèn)識(shí)？

生成：制訂表征兩位數(shù)優(yōu)劣的判斷標(biāo)準(zhǔn)。

流程⑥是計(jì)數(shù)核心思想的深度提煉。

問(wèn)題：經(jīng)歷了兩位數(shù)再認(rèn)識(shí)的項(xiàng)目過(guò)程，你有何反思？（結(jié)合作品談?wù)劯倪M(jìn)意見(jiàn)和原理）你能繼續(xù)設(shè)計(jì)三位數(shù)嗎？

流程⑤和流程⑥的對(duì)比反思過(guò)程，其實(shí)都是對(duì)計(jì)數(shù)三要素的再次總結(jié)和細(xì)化。至此，當(dāng)再回答前文的問(wèn)題“為什么0～9都是一個(gè)數(shù)字，從10開(kāi)始就要用兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成？”時(shí)，學(xué)生已然胸有成竹，甚至遷移到多位數(shù)也不成問(wèn)題。因?yàn)樵谧鲰?xiàng)目的過(guò)程中，數(shù)字這套表征系統(tǒng)的核心概念已經(jīng)滲透到了他們的思維里。

項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的成果往往是多元而深入本質(zhì)的?；谡n程標(biāo)準(zhǔn)的知識(shí)大概念，明確了開(kāi)放性項(xiàng)目設(shè)計(jì)的方向，使學(xué)生能在實(shí)踐中呈現(xiàn)豐富的、多層面的解決方案，并不斷地在討論中暢通思路、優(yōu)化方案。教師在項(xiàng)目推進(jìn)中注重探索過(guò)程的思考，追問(wèn)以問(wèn)題“為何有的方案更優(yōu)”“怎樣使方案更優(yōu)”深入，系統(tǒng)地推動(dòng)學(xué)生研討、迭代和反思。雙方共同促進(jìn)了探究性實(shí)踐活動(dòng)的真正落地。

4.評(píng)價(jià)優(yōu)化，成果展示

對(duì)項(xiàng)目成果的評(píng)價(jià)主要聚焦于項(xiàng)目過(guò)程和作品，但評(píng)價(jià)形式、維度和時(shí)機(jī)可以是多樣的。以課中研討流程為例，流程③和流程④為生生互評(píng)，教師對(duì)各環(huán)節(jié)的總結(jié)和提示即為隱性的他評(píng)。課后可將優(yōu)秀成果、特色成果、優(yōu)化成果、拓展成果予以分類展評(píng)，促進(jìn)小組間的互相學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)拓展新研究。其中，評(píng)價(jià)維度與項(xiàng)目過(guò)程一脈相承，包括參與程度、各流程貢獻(xiàn)、學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解與思考、語(yǔ)言表達(dá)的適切性、成果的合理性等多個(gè)方面，重在運(yùn)用發(fā)展性評(píng)價(jià)，選出單項(xiàng)和綜合表現(xiàn)之星。最終，用教、學(xué)、評(píng)的一致性有效推動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思維協(xié)同發(fā)展，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地。

綜上，項(xiàng)目化學(xué)習(xí)頂層的大概念和具體項(xiàng)目?jī)?nèi)容，是學(xué)科項(xiàng)目化設(shè)計(jì)的重要組成部分，具有立足學(xué)科領(lǐng)域整體，建構(gòu)和遷移數(shù)學(xué)知識(shí)的獨(dú)特價(jià)值。利用項(xiàng)目化學(xué)習(xí)，以及利用探索知識(shí)本質(zhì)的設(shè)計(jì)和實(shí)踐整合碎片化教學(xué)內(nèi)容，對(duì)教學(xué)來(lái)說(shuō)是一種啟發(fā)性嘗試，也是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的一種方式。