“用100以內(nèi)的加減法解決的實際問題”的內(nèi)容分析及教學(xué)建議

李小元

［摘 要］在分析西師版教材中“用100以內(nèi)的加減法解決的實際問題”的基礎(chǔ)上，給出相關(guān)教學(xué)建議：根據(jù)實際問題的數(shù)量關(guān)系類別，梳理數(shù)量關(guān)系的滲透分布情況；按語義結(jié)構(gòu)類別，對實際問題情境進行分類統(tǒng)計分析；依據(jù)分析結(jié)果提出重視用加減法的含義理解基本數(shù)量關(guān)系、增加基本數(shù)量關(guān)系的變式問題、自然滲透解決問題的步驟與方法。

［關(guān)鍵詞］100以內(nèi)的加減法；實際問題；內(nèi)容分析；教學(xué)建議

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）20-0078-03

新課改以來，小學(xué)數(shù)學(xué)新教材打破傳統(tǒng)教材中“應(yīng)用題”編排體系，讓實際問題跟隨各領(lǐng)域知識的學(xué)習(xí)進行編排。新課標中沒有明確要求哪個年級應(yīng)該出現(xiàn)哪些實際問題，新教材對簡單實際問題的內(nèi)容體系的體現(xiàn)也不明顯，使得部分一線教師對簡單實際問題要教什么、教到什么程度的理解不夠。筆者從數(shù)量關(guān)系、問題情境的語義結(jié)構(gòu)兩個角度，對西師版教材中“用100以內(nèi)的加減法解決的實際問題”的例題和習(xí)題進行梳理和分析，同時提出教學(xué)建議。

一、教材中數(shù)量關(guān)系知識的滲透情況

在課程改革以前，我國傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有11種簡單的應(yīng)用題，其中的數(shù)量關(guān)系可歸納為四類：部總關(guān)系、相差關(guān)系、份總關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系。

部總關(guān)系、份總關(guān)系實際上就是“合”與“分”的關(guān)系?！昂稀钡挠嬎惴椒ㄓ屑臃ê统朔?，用加法求總數(shù)或求被減數(shù)，用乘法求相同加數(shù)的和?！胺帧钡挠嬎惴椒ㄓ袦p法和除法，用減法求剩余、求減數(shù)、求加數(shù)，用除法解決“把一個數(shù)平均分成幾份”和“求一個數(shù)包含幾份另一個數(shù)”問題。

相差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系都是對兩個數(shù)量進行比較，一般稱為比較關(guān)系。相差關(guān)系的計算方法有減法和加法，用減法求“兩數(shù)相差多少”和“比一個數(shù)少幾的數(shù)”，用加法求“比一個數(shù)多幾的數(shù)”。倍數(shù)關(guān)系的計算方法有除法和乘法，用除法解決“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”和“已知一個數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)”，用乘法求“一個數(shù)的幾倍是多少”。

雖然這一整套“傳統(tǒng)應(yīng)用題”的類型名稱和數(shù)量關(guān)系式不要求教給學(xué)生（因為學(xué)生面對一個實際問題時選擇運算方法的主要依據(jù)是運算的含義），但是教師應(yīng)該做到心里有數(shù)，因為厘清數(shù)量關(guān)系在教材的滲透情況，有助于教師把握教學(xué)的脈絡(luò)和處理教材。

2012年出版的西師版教材中，“用100以內(nèi)的加減法解決的實際問題”主要涉及兩類數(shù)量關(guān)系：一是部總關(guān)系，部分量+部分量=總量，總量-部分量=部分量；二是相差關(guān)系，較大數(shù)-較小數(shù)=相差數(shù)，較大數(shù)-相差數(shù)=較小數(shù)，較小數(shù)+相差數(shù)=較大數(shù)。

部總關(guān)系的數(shù)量關(guān)系，主要滲透在一年級上冊第二、三單元“10以內(nèi)數(shù)的認識和加減法（一）”“10以內(nèi)數(shù)的認識和加減法（二）”，以及一年級上冊第五、六單元“20以內(nèi)的進位加法”“20以內(nèi)的退位減法”內(nèi)容中。在“10以內(nèi)的加法和減法（一）”“10以內(nèi)的加法和減法（二）”這兩個單元中，教材側(cè)重通過“看圖寫算式”的形式引導(dǎo)學(xué)生理解加、減運算的含義，并用加法或減法算式表示現(xiàn)實情境中的數(shù)量關(guān)系。在“20以內(nèi)的進位加法”“20以內(nèi)的退位減法”這兩個單元中，教材通過對話、表格以及圖文結(jié)合的形式，給出一些結(jié)構(gòu)相對完整的實際問題，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想加、減運算的含義，將實際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，并列式解答。

相差關(guān)系主要滲透在一年級下冊和二年級下冊的計算教學(xué)中。其中，“求一個數(shù)比另一個數(shù)多（或少）多少”的實際問題，主要集中在一年級下冊第四、七單元“100以內(nèi)的加法和減法（一）”“100以內(nèi)的加法和減法（二）”。而“求比一個數(shù)多（或少）的數(shù)是多少”的實際問題，沒有緊跟著編排在“求一個數(shù)比另一個數(shù)多（或少）多少”的實際問題之后，而是在二年級下冊第三單元“三位數(shù)的加減法”中才首次出現(xiàn)。教材兩次滲透相差關(guān)系的時間間隔將近一個學(xué)年，二年級上冊教材中也沒有例題和習(xí)題涉及相差關(guān)系。

二、問題情境的語義結(jié)構(gòu)分類統(tǒng)計

我們經(jīng)常說，加法解決“兩部分合起來一共有多少”的問題，減法解決“求還剩多少”的問題。僅僅是這樣嗎？從卡朋特和默澤爾的研究成果可知，依據(jù)問題情境的語義結(jié)構(gòu)，用加減法解決的實際問題可分為合并型、變化型、比較型3個大類型，每一個大類型的實際問題都涉及加法和減法，共細分為8個子類型。筆者以8個子類型的語義結(jié)構(gòu)為標準，對西師版教材中出現(xiàn)的“用100以內(nèi)的加減法解決的實際問題”問題進行分類統(tǒng)計，結(jié)果見表1。

從各子類型題量在總體中的占比來看，總量未知題的數(shù)量占比接近40%，結(jié)束量未知題和差值未知題的數(shù)量占比都達到20%，說明西師版教材非常重視合并型總量未知題、變化型結(jié)束量未知題、比較型差值未知題這三個子類型的基本數(shù)量關(guān)系的滲透。由基本數(shù)量關(guān)系變式而來的實際問題的題量非常少，合并型部分量未知題的題量占比為10%左右，而變化型中變化量未知題、起始量未知題，以及比較型中較大數(shù)未知題、較小數(shù)未知題在教材中只有幾道，占比都不足4%。

分類梳理例題和習(xí)題后發(fā)現(xiàn)，西師版教材中滲透3個基本數(shù)量關(guān)系的例題的數(shù)量較多，其他5個類型的例題極少，變化量未知題1道例題也沒有。教材中出現(xiàn)的“用100以內(nèi)加減法解決的實際問題”例題有45道，只有5道例題以“問題解決”形式用于實際問題的教學(xué)，其中總量未知題2道，部分量未知題1道，差值未知題2道。在其余的40道例題中，教材側(cè)重呈現(xiàn)加減運算的計算方法，沒有提供問題解決的一般步驟，缺乏教學(xué)數(shù)量關(guān)系和問題解決方法的內(nèi)容。教材從二年級上冊開始設(shè)置“問題解決”專題課，側(cè)重于問題解決的基本方法的教學(xué)。

三、教學(xué)建議

1.重視用加減法的含義理解基本數(shù)量關(guān)系

西師版教材中，“用100以內(nèi)的加減法解決的實際問題”的例題和習(xí)題數(shù)量非常充足。教學(xué)中不能僅僅把這些例題作為引入計算的情境，還要把這些例題作為教學(xué)運用加減法的含義理解數(shù)量關(guān)系的載體，讓學(xué)生結(jié)合計算內(nèi)容的學(xué)習(xí)初步理解加、減法的含義，形成依據(jù)加、減法的含義理解數(shù)量關(guān)系、選擇運算方法解決實際問題的思路。

例如，教學(xué)“5以內(nèi)數(shù)的加減法”例1時，讓學(xué)生看圖說圖意“2輛小轎車和1輛小轎車，合起來是3輛小轎車”，引導(dǎo)學(xué)生明確其意義可以用“2+1=3”這樣的加法算式來表示，使學(xué)生初步體會到加法能表示“把兩部分合起來”，在類似的實際問題教學(xué)中滲透合并型的基本數(shù)量關(guān)系“部分量+部分量=總量”。同樣，引導(dǎo)學(xué)生感知“原來的與增加的合并起來就是現(xiàn)在的”“把原來的分成兩部分，拿走一部分就剩下另一部分”這樣的問題情境，讓學(xué)生依據(jù)加、減法的含義列出算式，同時滲透變化型實際問題的基本數(shù)量關(guān)系“起始量+變化量=結(jié)束量”“起始量-變化量=結(jié)束量”。

2.增加基本數(shù)量關(guān)系的變式問題

適當增加一些變式問題情境，一方面能使學(xué)生在理解變式問題情境、選擇運算方法解決問題的過程中不斷豐富對加、減法含義的理解；另一方面能使學(xué)生了解更多的實際問題的呈現(xiàn)方式、結(jié)構(gòu)特點以及數(shù)量關(guān)系，積累分析和解決實際問題的經(jīng)驗。

合并關(guān)系“部分量+部分量=總量”可變式為“部分量=總量-部分量”。合并關(guān)系可拓展成變化型（增加）的基本數(shù)量關(guān)系“起始量+變化量=結(jié)束量”，還可進一步變式為“結(jié)束量-變化量=起始量”和“結(jié)束量-起始量=變化量”。

變化型（減少）的基本數(shù)量關(guān)系為“起始量-變化量=結(jié)束量”，其變式就是“結(jié)束量+變化量=起始量”和“起始量-結(jié)束量=變化量”，也就是求被減數(shù)和減數(shù)的實際問題。教學(xué)時可增加這樣類型的問題：“碗里有25顆球，拿走了一些球，還剩3顆球。拿走了多少顆球？”首先讓學(xué)生明確“原來的球分為拿走的和還剩的這兩部分”，得出“原來的球-拿走的球=還剩的球”這一基本數(shù)量關(guān)系；然后追問：“要求還剩多少顆球，只要從原來的25顆球中去掉什么就可以了？”學(xué)生由此明確“要求拿走多少顆球，只要從原來的25顆球中去掉還剩下的3顆球就可以了”，依據(jù)減法的含義列出算式“25-3=22”。至此，學(xué)生建立了數(shù)量關(guān)系“原來的球-還剩的球=拿走的球”（起始量-結(jié)束量=變化量）。同樣的思路，可以建立數(shù)量關(guān)系“變化量+結(jié)束量=起始量”。

比較型較大數(shù)未知題和較小數(shù)未知題，就是“求比一個數(shù)多（或少）的數(shù)是多少”的實際問題。教材中給出的2道例題以計算方法教學(xué)為主，教學(xué)中要重視引導(dǎo)學(xué)生利用直觀手段分析數(shù)量關(guān)系。例如，教學(xué)問題“小明有13顆球，小紅比小明多2顆。小紅有多少顆球？”時，首先明確“小明的球的顆數(shù)是較小數(shù)，小紅的球的顆數(shù)是較大數(shù)”；然后讓學(xué)生通過一一對應(yīng)擺圓片表征題意：第一行擺13個圓片表示小明的球，因為小紅比小明多2顆，所以第二行先擺出和小明同樣多的13個圓片，再接著擺出2個圓片表示多的球；再分析解題思路：小紅的球（較大數(shù)）可以分成兩個部分，一部分是和小明同樣多的13顆球（較小數(shù)），另一部分是比小明多出的2顆球（相差數(shù)），要求小紅有多少顆球（較大數(shù)），就要把這兩個部分合起來，列出加法算式“13+2=15”。這樣，學(xué)生建立起數(shù)量關(guān)系“較小數(shù)+相差數(shù)=較大數(shù)”。

教學(xué)中，還要讓學(xué)生通過辨析來理解數(shù)量關(guān)系。例如，解答“小明有13顆球，小明比小紅少2顆。小紅有多少顆球？”時，很多學(xué)生僅憑個別關(guān)鍵詞語選擇計算方法，見到“多”就加，見到“少”就減，這顯然是錯誤的。因此，教學(xué)時教師要通過比較引導(dǎo)學(xué)生思考：“小明比小紅少2顆球，說明誰的球多些，誰的球少些，相差幾顆球？”學(xué)生得出“小紅的多些，也就是較大數(shù)；小明的少些，也就是較小數(shù)；相差2”，明白應(yīng)該將小紅的球的顆數(shù)（較大數(shù)）分成兩部分，一部分是和小明的球的顆數(shù)同樣多的13顆（較小數(shù)），另一部分是相差的2顆（相差數(shù)），和小明的顆數(shù)同樣多的13顆（較小數(shù)）與相差的2顆（相差數(shù)）合并起來等于小紅的球的顆數(shù)（較大數(shù)）。同樣的思路，對于“小紅有15顆球，小紅比小明多2顆。小明有多少顆球？”這個問題，從小紅的球的顆數(shù)（較大數(shù)）中去掉相差的2顆（相差數(shù)）就等于小明的球的顆數(shù)（較小數(shù)）。經(jīng)過思考，學(xué)生建立了“較大數(shù)-相差數(shù)=較小數(shù)”“較小數(shù)+相差數(shù)=較大數(shù)”這兩個數(shù)量關(guān)系，以及相應(yīng)的分析思考方法，突破思維定式。

3.自然滲透解決問題的步驟與方法

筆者認為，從一年級加減法教學(xué)開始，就要自然滲透解決問題的步驟與方法。

一是怎樣理解問題。一年級開始就要逐步培養(yǎng)學(xué)生精準提取信息的能力。比如，圖畫、文字相結(jié)合的實際問題，就需要解讀文字信息，有的題目還要從圖畫和文字中找到隱含的信息。有的題目有多余信息的干擾，要引導(dǎo)學(xué)生排除這些無關(guān)信息。還要注重從圖畫向文字的過渡，學(xué)生找到條件和問題后，要讓學(xué)生說一說完整的題目，這樣有助于學(xué)生整體把握要解決的問題和已知條件，感知條件與問題之間存在的數(shù)量關(guān)系。

二是怎樣分析問題。簡單實際問題教學(xué)中，畫圖是最常用、出現(xiàn)次數(shù)最多的一種分析方法，要讓學(xué)生經(jīng)歷畫圖的過程，通過畫圖來厘清數(shù)量關(guān)系。還要重視學(xué)生解答問題習(xí)慣的培養(yǎng)，包括規(guī)范列式、正確運算、良好的書寫等習(xí)慣，都需要在日常教學(xué)中一點一滴地培養(yǎng)。

三是怎樣進行檢驗、回顧與反思。簡單實際問題教學(xué)中，重視滲透運用相關(guān)的另一個數(shù)量關(guān)系來檢驗答案是否正確的方法，以及引導(dǎo)學(xué)生回顧實際問題的具體分析思路，體會分析方法的好處，從而實現(xiàn)舉一反三。