在“教—學(xué)—評”一致性中落實(shí)合情推理
——以“因數(shù)和倍數(shù)”單元教學(xué)為例

甘肅慶陽市鎮(zhèn)原縣新城鎮(zhèn)中心小學(xué) （744518） 楊秀琴

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）新增了“為什么教”“教什么”和“教到什么程度”，同時提出了“教—學(xué)—評”一致性?！耙驍?shù)和倍數(shù)”單元是人教版教材五年級下冊第二單元的教學(xué)內(nèi)容，本單元的主要內(nèi)容包括“因數(shù)和倍數(shù)”“2、5和3的倍數(shù)的特征”“奇數(shù)和偶數(shù)”“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”“分解質(zhì)因數(shù)”“公因數(shù)和最大公因數(shù)”“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”等，為學(xué)生學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“約分和通分”“分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算”等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。教師在實(shí)際教學(xué)活動中，如何基于學(xué)生的學(xué)情，設(shè)計(jì)合理的學(xué)習(xí)路徑，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力？筆者從“教—學(xué)—評”一致性的角度對“因數(shù)和倍數(shù)”單元整體教學(xué)活動進(jìn)行了思考。

一、確定素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)

1.單元教學(xué)內(nèi)容概述

人教版教材五年級下冊第二單元“因數(shù)和倍數(shù)”單元的主要教學(xué)目標(biāo)有五點(diǎn)。（1）理解因數(shù)和倍數(shù)的概念，能夠說明哪些數(shù)是哪些數(shù)的因數(shù)，哪些數(shù)是哪些數(shù)的倍數(shù)。（2）在獨(dú)立探究中習(xí)得2、5和3的倍數(shù)的特征，讓學(xué)生能準(zhǔn)確判斷2、5和3的倍數(shù)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。（3）認(rèn)識質(zhì)數(shù)和合數(shù)，能從1 到100 的自然數(shù)中找出質(zhì)數(shù)和合數(shù)，并能熟練判斷哪些數(shù)是20 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，哪些數(shù)是20 以內(nèi)的合數(shù)。（4）了解相關(guān)概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，在概念的建立和運(yùn)用過程中逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力和推理能力。（5）認(rèn)識奇偶數(shù)，能夠準(zhǔn)確判斷奇偶數(shù)，通過探索奇偶數(shù)相加的結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)，豐富解決問題的策略。

蘇教版教材五年級下冊第三單元“因數(shù)與倍數(shù)”單元的主要教學(xué)目標(biāo)有四點(diǎn)。（1）體驗(yàn)探究除0外的自然數(shù)的特征，理解除數(shù)和倍數(shù)的含義；能求出100 以內(nèi)自然數(shù)的所有因數(shù)，以及能在1 到100的自然數(shù)中找出10 以內(nèi)某個數(shù)的所有倍數(shù)；知道2、5 和3 的倍數(shù)的性質(zhì)，能判斷某個數(shù)是否是2、5和3 的倍數(shù)；了解奇偶數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義，會分解質(zhì)因數(shù)。（2）通過操作、交流、探索等活動，認(rèn)識公因數(shù)和最大公因數(shù)、公倍數(shù)和最小公倍數(shù)；能找出100 以內(nèi)任意兩個數(shù)的最大公因數(shù)和10 以內(nèi)任意兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。（3）在探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的過程中獲得經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)觀察、比較、分析和推理的能力，體驗(yàn)一些簡單的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)一步加深對數(shù)學(xué)的理解。（4）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，培養(yǎng)積極與他人合作、交流的意識，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

兩個版本的教材都提到了“因數(shù)和倍數(shù)的含義”“2、5和3的倍數(shù)的特征”“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”“奇數(shù)和偶數(shù)”等內(nèi)容。人教版教材把分解質(zhì)因數(shù)作為補(bǔ)充知識，安排在“你知道嗎？”；把“公因數(shù)和最大公因數(shù)”“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”安排在第四單元“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”中，讓學(xué)生學(xué)過后能馬上應(yīng)用到約分和通分中，有利于整除知識的教學(xué)。

由此可知，“因數(shù)和倍數(shù)”單元的教學(xué)內(nèi)容主要有兩個方面。（1）認(rèn)識因數(shù)和倍數(shù)的含義，知道2、5和3 的倍數(shù)的特征。（2）理解奇偶數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)的含義，會分解質(zhì)因數(shù)。因此，可將“公因數(shù)和最大公因數(shù)”“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”等內(nèi)容移到第四單元“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”中教學(xué)。

2.確定單元核心目標(biāo)

“因數(shù)與倍數(shù)”單元通過倍數(shù)的知識引出2 的倍數(shù)的特征、5 的倍數(shù)的特征、3 的倍數(shù)的特征，通過2 的倍數(shù)的特征引出奇數(shù)和偶數(shù)；通過因數(shù)的知識引出質(zhì)數(shù)和合數(shù)，以及分解質(zhì)因數(shù)。學(xué)生在學(xué)習(xí)本單元時反復(fù)經(jīng)歷觀察、比較和歸納等活動，得出因數(shù)和倍數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念，以及2、5和3的倍數(shù)的特征。

基于以上分析，確定本單元的核心目標(biāo)：（1）建構(gòu)倍數(shù)的概念，認(rèn)識奇數(shù)和偶數(shù)。（2）建構(gòu)因數(shù)的概念，認(rèn)識質(zhì)數(shù)和合數(shù)。

3.單元核心目標(biāo)具體化

（1）建構(gòu)倍數(shù)的概念

對于任意整數(shù)a，b，都存在整數(shù)n，r（其中r＜b），使a=nb+r，當(dāng)r=0時，我們就說a能被b整除（或b能整除a），a是b的倍數(shù)，b是a的因數(shù)。因此，整除、倍數(shù)和因數(shù)是同一數(shù)學(xué)事實(shí)的不同表示。對學(xué)生而言，“誰能被誰整除”和“誰能整除誰”陌生又拗口，因此說成“誰是誰的倍數(shù)”和“誰是誰的因數(shù)”更符合學(xué)情。蘇教版教材雖然沒有給出倍數(shù)和因數(shù)的定義，但是通過乘法算式幫助學(xué)生認(rèn)識倍數(shù)和因數(shù)。

在學(xué)生認(rèn)識倍數(shù)的過程中，教師要設(shè)計(jì)豐富的活動幫助學(xué)生在觀察、比較和歸納中建立倍數(shù)的概念。學(xué)生認(rèn)識倍數(shù)后，就能借助倍數(shù)的知識繼續(xù)探究“求一個數(shù)的倍數(shù)”“2、5 和3 的倍數(shù)的特征”“奇數(shù)和偶數(shù)”等。

（2）建構(gòu)因數(shù)的概念

因數(shù)和倍數(shù)是一組具有相互依存關(guān)系的概念。在學(xué)生認(rèn)識因數(shù)的過程中，教師要讓學(xué)生在觀察和比較中總結(jié)出乘數(shù)是積的因數(shù)，除數(shù)和商是被除數(shù)的因數(shù)，從而建構(gòu)因數(shù)的概念。學(xué)生認(rèn)識因數(shù)后，就能借助因數(shù)的知識繼續(xù)探究“求一個數(shù)的因數(shù)”“認(rèn)識質(zhì)數(shù)和合數(shù)”“分解質(zhì)因數(shù)”等。

二、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)

為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，筆者對本校五年級280名學(xué)生進(jìn)行了前測。

1.倍數(shù)的概念理解情況

根據(jù)倍數(shù)的概念前測及評價框架（見表1），筆者發(fā)現(xiàn)62.9%的學(xué)生處于水平0，他們認(rèn)為“倍數(shù)就是一組數(shù)里最大的數(shù)”“倍數(shù)就是幾倍”“倍數(shù)就是乘法中的積”“倍數(shù)就是除法中的被除數(shù)”。25%的學(xué)生處于水平1，他們能結(jié)合乘法或除法算式說明倍數(shù)的概念，如根據(jù)算式2×6=12 知道“12 是2 的倍數(shù)，12 是6 的倍數(shù)”。12.1%的學(xué)生處于水平2，他們能結(jié)合乘法或除法算式說明倍數(shù)的概念，如根據(jù)算式2×6=12 知道12 是2 和6 的倍數(shù)，2 和6 是12 的因數(shù)。沒有學(xué)生達(dá)到水平3和水平4。

表1 倍數(shù)的概念表現(xiàn)性評價框架

2.因數(shù)的概念理解情況

根據(jù)因數(shù)的概念前測及評價框架（見表2），筆者發(fā)現(xiàn)78.9%的學(xué)生處于水平0，他們認(rèn)為因數(shù)就是“誰是誰的幾倍”，或是認(rèn)為小數(shù)中也有因數(shù)。18.9%的學(xué)生處于水平1，他們能結(jié)合乘法或除法算式說明因數(shù)的概念，如根據(jù)算式2×6=12 知道2是12 的因數(shù)，6 是12 的因數(shù)。2.2%的學(xué)生處于水平2，他們能結(jié)合乘法或除法算式說明倍數(shù)的概念，如根據(jù)算式2×6=12 知道12 是2 和6 的倍數(shù)，2和6是12的因數(shù)。沒有學(xué)生達(dá)到水平3。

表2 因數(shù)的概念表現(xiàn)性評價框架

通過前測，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對倍數(shù)的概念了解更多，這可能是由于學(xué)生在三年級時學(xué)習(xí)了“倍的認(rèn)識”；學(xué)生對因數(shù)了解較少，較多的學(xué)生不能用畫圖或舉例子的方法說明因數(shù)的概念。因此，教師在教學(xué)中要讓學(xué)生在觀察和比較中糾正對“倍數(shù)和因數(shù)”的錯誤認(rèn)知，建立正確的概念認(rèn)知。

三、分析學(xué)習(xí)路徑

在研究教材和學(xué)情的基礎(chǔ)上，筆者微調(diào)并優(yōu)化了原來的單元教學(xué)路徑。

首先，調(diào)整教學(xué)順序。蘇教版教材中“因數(shù)和倍數(shù)”一課，第一層次是讓學(xué)生在乘法算式中整體感知因數(shù)和倍數(shù)的意義及其相互關(guān)系，第二層次是探究求一個數(shù)的因數(shù)的方法，第三層次是探究求一個數(shù)的倍數(shù)的方法。由于學(xué)生倍數(shù)知識的基礎(chǔ)好于因數(shù)知識的，因此保持第一層次不變，將第二層次調(diào)整為探究求一個數(shù)的倍數(shù)的方法，第三層次調(diào)整為探究求一個數(shù)的因數(shù)的方法。

其次，整合相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，使其更有銜接性。比如“因數(shù)和倍數(shù)”一課，除了教學(xué)認(rèn)識因數(shù)和倍數(shù)、求一個數(shù)的倍數(shù)的方法、求一個數(shù)的因數(shù)的方法，還可以讓學(xué)生在掌握求一個數(shù)的倍數(shù)的方法后寫出2 和5 的倍數(shù)的特征；教學(xué)“2 和5 的倍數(shù)的特征”后增加“探究活動：兩數(shù)之和的奇偶性”一課，讓學(xué)生在猜想和驗(yàn)證中探究兩數(shù)之和的奇偶性，滲透解決問題的策略，發(fā)展學(xué)生的推理能力。

最后，調(diào)整“公因數(shù)和最大公因數(shù)”“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”等教學(xué)內(nèi)容，并把約分和通分整合在一起。為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)概念后馬上有機(jī)會運(yùn)用概念解決問題，將“公因數(shù)和最大公因數(shù)”“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”等內(nèi)容移動到“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元中，讓學(xué)生運(yùn)用公因數(shù)、公倍數(shù)等知識進(jìn)行約分和通分，促進(jìn)學(xué)生理解和記憶。

四、單元整體教學(xué)思考及核心課時任務(wù)設(shè)計(jì)

綜上，“因數(shù)和倍數(shù)”單元的教學(xué)內(nèi)容重組如下：認(rèn)識倍數(shù)和因數(shù)—探究2 和5 的倍數(shù)的特征—探究兩數(shù)之和的奇偶性—探究3 的倍數(shù)的特征—認(rèn)識質(zhì)數(shù)和合數(shù)—分解質(zhì)因數(shù)。這樣的教學(xué)編排不僅減少了同一單元中概念過多、抽象程度過高的現(xiàn)象，還讓學(xué)生在初步感知、深刻理解和鞏固運(yùn)用中建立數(shù)學(xué)概念。每節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)任務(wù)見表3。

表3 優(yōu)化后的“因數(shù)和倍數(shù)“單元教學(xué)

綜上所述，不同版本的數(shù)學(xué)教材為教師提供了多種教學(xué)思路，教師要在《課程標(biāo)準(zhǔn)》的引領(lǐng)下，根據(jù)學(xué)生學(xué)情重新調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)人人可參與的大任務(wù)，讓學(xué)生在探究活動中不僅學(xué)習(xí)知識和發(fā)展合情推理能力，還要以“教—學(xué)—評”一致性促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂和教學(xué)內(nèi)容的改革；讓學(xué)生在學(xué)會合作、學(xué)會交流和學(xué)會包容中感受數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在的精神價值，落實(shí)《課程標(biāo)準(zhǔn)》中立德樹人的根本任務(wù)。