王娟 崔豪東

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)聚焦邏輯關(guān)聯(lián)問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷推理思辨過(guò)程，體會(huì)幾何內(nèi)涵意蘊(yùn)，形成數(shù)學(xué)理性思維，從而培育數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，提升學(xué)科核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 問(wèn)題鏈；邏輯關(guān)聯(lián)；理性思維；關(guān)鍵能力

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)強(qiáng)調(diào)問(wèn)題性，以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí). 章建躍博士說(shuō)：“教師要在知識(shí)形成過(guò)程的‘關(guān)鍵點(diǎn)’上，在解題策略的‘關(guān)節(jié)點(diǎn)’上，在知識(shí)間聯(lián)系的‘聯(lián)結(jié)點(diǎn)’上，在數(shù)學(xué)問(wèn)題變式的‘發(fā)散點(diǎn)’上，在學(xué)生思維的‘最近發(fā)展區(qū)’內(nèi)提出問(wèn)題、提好問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)，孕育學(xué)生理性精神. ”

問(wèn)題鏈?zhǔn)侵妇哂邢到y(tǒng)性的一連串的數(shù)學(xué)問(wèn)題，問(wèn)題鏈教學(xué)應(yīng)重在設(shè)計(jì)一組邏輯關(guān)聯(lián)的問(wèn)題，旨在引發(fā)學(xué)生的連續(xù)思維，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的素養(yǎng)提升. 下面筆者以2021年南京市初中數(shù)學(xué)基本功大賽課堂教學(xué)評(píng)比環(huán)節(jié)的教學(xué)內(nèi)容——人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)“12.3? 角的平分線的性質(zhì)”為例，芻談對(duì)問(wèn)題鏈教學(xué)的實(shí)踐與思考.

教學(xué)實(shí)踐

1. 以感知為鏡，萌生知識(shí)樹(shù)

問(wèn)題1：請(qǐng)談?wù)勀銓?duì)角的平分線的認(rèn)識(shí).

學(xué)生對(duì)角的平分線有不同層次的認(rèn)識(shí). 如：角的平分線是一條射線，它把一個(gè)角分成相等的兩個(gè)角；把一個(gè)角沿著角的平分線翻折，角的兩邊能夠完全重合.

教學(xué)說(shuō)明：本環(huán)節(jié)約2分鐘，教師拋出問(wèn)題，學(xué)生積極發(fā)言、相互補(bǔ)充.

2. 育創(chuàng)新之思，延拓思維鏈

問(wèn)題2：在紙上任意畫(huà)一個(gè)角，嘗試用不同的方法作出這個(gè)角的平分線.

生1：我是用量角器作圖的.

生2：我是用刻度尺作圖的. 如圖1所示，在OA，OB上分別取點(diǎn)C，D，使OC=OD，連接CD，取CD的中點(diǎn)P，作射線OP，則OP即為所求.

生3：我也是用刻度尺作圖的. 如圖2所示，在OA上取C，E兩點(diǎn)，在OB上取D，F(xiàn)兩點(diǎn)，使OC=OD，OE=OF，連接CF，DE交于點(diǎn)P，作射線OP，則OP即為所求.

追問(wèn)：還有用其他作圖工具的嗎？

生4：我是用三角尺（含有刻度，可度量長(zhǎng)度）作圖的. 如圖3所示，在OA，OB上分別取點(diǎn)C，D，使OC=OD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA，交OB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OB，交OA于點(diǎn)F，CE和DF交于點(diǎn)P，作射線OP，則OP即為所求.

生5：我也是用三角尺作圖的.如圖4所示，在OA，OB上分別取點(diǎn)C，D，使OC=OD，作∠OCE=60°交OB于點(diǎn)E，作∠ODF=60°交OA于點(diǎn)F，CE和DF交于點(diǎn)P，作射線OP，則OP即為所求.

追問(wèn)：如果只用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)，如何作出這個(gè)角的平分線？

生6：如圖5所示，作OC=OD，OF=OE，且C，F(xiàn)兩點(diǎn)均在OA上，D，E兩點(diǎn)均在OB上，連接CE，DF交于點(diǎn)P，作射線OP，則OP即為所求.

生7：如圖6所示，作OC=OD，且點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在OB上，任作CE交OB于點(diǎn)E，作∠ODF=∠OCE交OA于點(diǎn)F，CE和DF交于點(diǎn)P，作射線OP，則OP即為所求.

生8：我是逆向思考的，我先畫(huà)出角的平分線，然后研究角平分線帶來(lái)的結(jié)論，想到了一種作法. 如圖7所示，作OC=OD，且點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在OB上，再分別以C，D為圓心，大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線OP，則OP即為所求.

生9：我先畫(huà)出角的平分線和OB邊的一條平行線，然后就有了靈感. 如圖8所示，在OA上取點(diǎn)C，作∠ACD=∠AOB（兩角在OA同側(cè)），作CO=CP交CD于點(diǎn)P，作射線OP，則OP即為所求.

教學(xué)說(shuō)明? 本環(huán)節(jié)約10分鐘，學(xué)生主動(dòng)參與活動(dòng)，先自主思考，再小組討論，教師則巡視并指導(dǎo)、傾聽(tīng)并啟發(fā)，最后學(xué)生踴躍展示.

3. 行探索之途，貫通一條線

問(wèn)題3：在∠AOB的平分線上任取一點(diǎn)P，分別作點(diǎn)P到OA，OB的垂線段PM，PN，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生作圖后一致認(rèn)為PM=PN.

追問(wèn)：能證明你的發(fā)現(xiàn)嗎？

生10：我是用刻度尺度量的. 如圖9所示，度量可知P1M1=P1N1，P2M2=P2N2，P3M3=P3N3.

生11：我是用翻折法說(shuō)理的. 把∠AOB沿著它的角平分線翻折，角的兩邊能夠完全重合（在同一條直線上），依據(jù)“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”，可得PM=PN.

生12：我是用全等法證明的. 如圖10所示，可由“AAS”證得△POM≌△PON，于是得到PM=PN.

學(xué)生探究后得出角的平分線的性質(zhì)定理——“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”.

問(wèn)題4：在角的內(nèi)部找點(diǎn)，使得該點(diǎn)到角兩邊的距離相等（盡可能多找一些點(diǎn)）.

追問(wèn)：類(lèi)比前面的探究，你能提出什么問(wèn)題？你能證明嗎？

學(xué)生多找一些點(diǎn)后自然而然提出問(wèn)題“證明這樣的點(diǎn)都在角的平分線上”，然后進(jìn)入分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中. 學(xué)生把習(xí)得的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)付諸實(shí)踐，呈現(xiàn)了量角器度量、翻折法說(shuō)理和全等法證明（HL）3種方法. 學(xué)生在總結(jié)結(jié)論時(shí)，對(duì)“角的內(nèi)部”進(jìn)行了思辨，直到一位學(xué)生舉出反例才使得所有同學(xué)平息爭(zhēng)論，最后學(xué)生一致得出角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理——“角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”.

教學(xué)說(shuō)明? 本環(huán)節(jié)約20分鐘，學(xué)生主動(dòng)參與活動(dòng)，在探索中發(fā)現(xiàn)，然后舉手搶答. 證明時(shí)，學(xué)生先自主思考，再小組討論，最后爭(zhēng)相展示. 教師組織學(xué)生展示并相互評(píng)價(jià)、激烈辯論.

4. 以應(yīng)用為標(biāo)，聯(lián)結(jié)知識(shí)網(wǎng)

問(wèn)題5：如圖11所示，△ABC的角平分線BM和CN交于點(diǎn)P. 你能得出哪些結(jié)論？

教學(xué)說(shuō)明? 本環(huán)節(jié)約10分鐘，學(xué)生主動(dòng)參與活動(dòng)，自主思考后舉手回答，教師傾聽(tīng)并啟發(fā)，規(guī)范其說(shuō)理過(guò)程，板書(shū)關(guān)鍵證明步驟.

5. 借知識(shí)輸出，建筑素養(yǎng)域

問(wèn)題6：你學(xué)到了什么？（知識(shí)、方法和思想等）

學(xué)生積極分享學(xué)到的知識(shí)和獨(dú)特的領(lǐng)悟. 有學(xué)生總結(jié)出幾何定理的研究方法是“探索—猜想—證明—應(yīng)用”，有學(xué)生領(lǐng)悟出幾何證明的解題方法是“從條件出發(fā)正向思考”和“從結(jié)論出發(fā)逆向思考”，還有學(xué)生發(fā)現(xiàn)課堂中蘊(yùn)含類(lèi)比思想.

教學(xué)說(shuō)明? 本環(huán)節(jié)約3分鐘，學(xué)生舉手發(fā)言、相互補(bǔ)充，教師客觀評(píng)價(jià)并引導(dǎo)學(xué)生向方法、思想方面去深層思考.

教學(xué)思考

1. 聚焦邏輯關(guān)聯(lián)，建構(gòu)聯(lián)結(jié)體系

邏輯關(guān)聯(lián)是事物因變化產(chǎn)生的關(guān)聯(lián). 數(shù)學(xué)問(wèn)題的邏輯關(guān)聯(lián)，包括知識(shí)技能關(guān)聯(lián)、思維方法關(guān)聯(lián)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)關(guān)聯(lián). 在構(gòu)建問(wèn)題鏈時(shí)，教師既要著眼整體架構(gòu)，又要緊扣內(nèi)容本身，還要關(guān)注方法素養(yǎng)，思索內(nèi)容、方法和素養(yǎng)的聯(lián)結(jié)點(diǎn). 在本節(jié)課的教學(xué)中，6個(gè)問(wèn)題構(gòu)成有一定梯度和邏輯結(jié)構(gòu)的主問(wèn)題鏈. 從談?wù)J識(shí)到說(shuō)發(fā)現(xiàn)，從證發(fā)現(xiàn)到得結(jié)論，再到聊收獲，由感知到深入，知識(shí)中蘊(yùn)含方法，方法中夾雜思想，整條鏈?zhǔn)且粋€(gè)聯(lián)結(jié)體系.

2. 凸顯推理思辨，發(fā)展理性思維

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“推理能力有助于逐步養(yǎng)成重論據(jù)、合乎邏輯的思維習(xí)慣，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神. ”選擇問(wèn)題時(shí)，教師要甄選能凸顯推理能力、能啟發(fā)學(xué)生思辨的關(guān)鍵問(wèn)題. 在本節(jié)課教學(xué)中，問(wèn)題多以“認(rèn)識(shí)”“發(fā)現(xiàn)”“思考”“感受”等方式呈現(xiàn)，能適度啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，能引導(dǎo)學(xué)生思考和探索，能使學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思等理性思維的基本過(guò)程.

3. 深化內(nèi)涵意蘊(yùn)，培育關(guān)鍵能力

對(duì)于問(wèn)題鏈的核心問(wèn)題，教師要采用追問(wèn)等形式，從其橫向拓寬維度、縱向挖掘深度，衍生出子問(wèn)題鏈，驅(qū)動(dòng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，在思考中實(shí)現(xiàn)元認(rèn)知，在探究中生成關(guān)鍵能力. 搭建子問(wèn)題鏈時(shí)，教師要選擇能深化內(nèi)涵、導(dǎo)向意蘊(yùn)的問(wèn)題. 在本節(jié)課教學(xué)中，問(wèn)題2和兩個(gè)追問(wèn)貫通了一條子問(wèn)題鏈，核心問(wèn)題的豐富內(nèi)涵得以彰顯，問(wèn)題4和一個(gè)追問(wèn)作為子問(wèn)題鏈將學(xué)生思維導(dǎo)向橫向遷移，學(xué)生在深度思考中提升了關(guān)鍵能力.