探根源凸本質(zhì)　重思想育素養(yǎng)

楊永健　夏林林　張曉斌

摘? 要：分析2023年高考三角函數(shù)與解三角形試題，發(fā)現(xiàn)知識點(diǎn)的分布、題型、難易度相對穩(wěn)定. 從試題特點(diǎn)、優(yōu)秀試題、典型試題解法三個(gè)方面進(jìn)行了分析，在此基礎(chǔ)上提出復(fù)習(xí)備考的指導(dǎo)思想和教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；解三角形；解法分析；思想方法

2023年高考數(shù)學(xué)對三角函數(shù)與解三角形內(nèi)容的考查符合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）和《中國高考評價(jià)體系》的要求，注重基礎(chǔ)知識的鞏固與理解、數(shù)學(xué)思維的提升和數(shù)學(xué)方法的掌握，突出對關(guān)鍵能力的考查. 除單獨(dú)考查三角函數(shù)與解三角形外，特別注重從綜合性和應(yīng)用性角度進(jìn)行考查. 本文重點(diǎn)從三個(gè)方面對2023年高考中直接考查三角函數(shù)與解三角形的試題進(jìn)行解題分析和歸納.

一、試題特點(diǎn)分析

2023年高考三角函數(shù)與解三角形試題與前幾年的考查方式基本一致，考查了三角函數(shù)與解三角形的知識，題型多樣，比較全面，相較于往年，容易題和中檔題居多，難題較少. 同時(shí)，大多數(shù)試卷仍采用一道選擇題和一道解答題的形式考查，分值基本穩(wěn)定在15～20分之間，全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷考查力度較大，分值約為20分. 其中，全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷、全國甲卷（理科）、全國乙卷（文科）、上海卷都設(shè)置了填空題對相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行考查. 選擇題和填空題重點(diǎn)考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答題繼續(xù)以考查解三角形為主，結(jié)合三角恒等變換解決邊角關(guān)系，難度較小，試題突出基礎(chǔ)性，強(qiáng)化綜合應(yīng)用，著眼于考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而考查學(xué)生的抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、直觀想象和數(shù)學(xué)建模能力.

相關(guān)試題主要按以下三個(gè)板塊進(jìn)行考查．三角恒等變換主要包括同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和（差）、二倍角公式等基本概念及基本公式的理解和應(yīng)用，主要以選擇題和填空題的形式呈現(xiàn)，著重考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、推理論證能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)主要包括任意角三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的圖象變換、三角函數(shù)的最值（零點(diǎn)）、三角函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，主要以選擇題和填空題的形式呈現(xiàn)，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合思想方法、運(yùn)算求解能力和直觀想象素養(yǎng). 解三角形主要包括正（余）弦定理、三角形的性質(zhì)、三角形面積公式和重要的線段關(guān)系等知識的綜合應(yīng)用，主要以解答題的形式呈現(xiàn)，突出考查分類與整合思想方法、數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

通過對2023年高考三角函數(shù)與解三角形試題考查的知識點(diǎn)分析，得出以下三個(gè)方面的試題特點(diǎn)．

1. 突出基礎(chǔ)性

例1 （全國乙卷·文14）若[θ∈0， π2，tanθ=12]，則[sinθ-cosθ]的值為________．

目標(biāo)解析：此題主要考查任意角三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的關(guān)系. 要求學(xué)生準(zhǔn)確掌握正弦、余弦、正切三個(gè)量求值（知一求二），蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化與化歸、方程等思想方法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

解法分析：該題需要利用商的關(guān)系將正切變形為正弦與余弦的關(guān)系，再結(jié)合平方關(guān)系代入消元，依據(jù)角的取值范圍求出正弦值和余弦值. 此題是一道填空題，且[θ∈0， π2]，還可以直接結(jié)合正切的定義，先設(shè)角[θ]的對邊為[x]，鄰邊為[2x]，再利用勾股定理求出直角三角形的斜邊為[5x]，最后利用正弦和余弦的定義求出對應(yīng)值. 兩種解法都體現(xiàn)了直接利用定義和公式的基礎(chǔ)性，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)．

下同方法1，略.

回顧反思：近幾年高考對解三角形的考查，常結(jié)合三角形的中線、高、角平分線、面積，以及不等式等知識，滲透方程、整體代換、函數(shù)等思想方法. 此題的題源來自人教A版教材必修第二冊第6.4節(jié)第15題利用余弦定理證明中線長定理. 第（2）小題的四種解法本質(zhì)上都是對中線長定理[b2+c2=2AD2+2BD2]的靈活應(yīng)用. 教學(xué)中應(yīng)該注重通性通法，熟練應(yīng)用互補(bǔ)角的余弦定理、向量中線結(jié)論等快速破題，通過多想少算降低運(yùn)算量，提升運(yùn)算求解能力.

三、復(fù)習(xí)備考建議

高考復(fù)習(xí)備考不能僅停留在刷題層面，應(yīng)該認(rèn)真分析近幾年的高考試題. 落實(shí)基礎(chǔ)知識，重視綜合應(yīng)用，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法是復(fù)習(xí)備考應(yīng)該遵循的大方向.

1. 追本源，夯基礎(chǔ)，低起點(diǎn)

教材是學(xué)習(xí)知識的第一手資料，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該以教材為藍(lán)本，將每個(gè)章節(jié)的基礎(chǔ)知識進(jìn)行整合梳理. 構(gòu)建知識體系，將零散的知識串聯(lián)成線，形成基礎(chǔ)知識的整體性和系統(tǒng)性.

本部分復(fù)習(xí)備考應(yīng)該做好以下三個(gè)方面：立足教材，準(zhǔn)確理解知識的本質(zhì)，重視對概念的理解與掌握，如區(qū)分正弦與正切的定義，厘清公式間的關(guān)聯(lián)；注重對公式的推導(dǎo)與理解，如同角三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和差公式等；加強(qiáng)對解題方法和解題規(guī)律的總結(jié).

回歸教材，回歸基礎(chǔ)知識，回歸本質(zhì)過程，在努力將教材中的核心概念、定理、公式、法則等理解透徹的基礎(chǔ)上，還要對教材中的例題和習(xí)題等進(jìn)行深層次的剖析和歸納總結(jié)，尤其是對通性通法的提煉，以提高數(shù)學(xué)思維的深刻性.

2. 精選題，重遷移，拓思維

數(shù)學(xué)解題在精而不在多，在質(zhì)而不在量. 在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)該精選例題、練習(xí)題，透析題目背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)思想方法，做到舉一反三. 對一題多解、一題多變、多題一解的題目更應(yīng)該抓住本質(zhì). 多重視解法策略背后的分析，多思考解題邏輯上的前因后果，多注重通性通法的遷移. 由此，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與解題能力定能得到有效提升、拓展和深化.

3. 樹習(xí)慣，善反思，提素養(yǎng)

細(xì)節(jié)決定成敗. 在解題過程中要養(yǎng)成良好的審題、解題、書寫等習(xí)慣. 在復(fù)習(xí)備考中，注重書寫規(guī)范和找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)解題，重視整理解答題中的關(guān)鍵步驟和思路，呈現(xiàn)出整體的思維過程，可以減少不必要的失誤. 同時(shí)，要善于總結(jié)，用筆記本收集、整理易錯(cuò)題和好題，對經(jīng)典題目、重要方法、重要思想進(jìn)行分類整理. 經(jīng)歷再思考和不斷反思的過程，不僅可以為攻克難題、尋找思路提供方向，還能將學(xué)習(xí)思維提升到更高層次，如將三角形中周長的最值問題、面積的最值問題、邊角互化問題等進(jìn)行歸類整理.

四、典型模擬題

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：楊永?。?967— ），男，中學(xué)高級教師，重慶市特級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)與管理研究；

夏林林（1987— ），女，中學(xué)一級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；

張曉斌（1964— ），男，二級研究員，重慶市特級教師，重慶市政府學(xué)術(shù)技術(shù)帶頭人，第五屆蘇步青數(shù)學(xué)教育獎獲得者，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育和教學(xué)評價(jià)研究.