江蘇南京市建鄴區(qū)教師發(fā)展中心 （210000） 范韋莉

“做數(shù)學(xué)”是一種具身認(rèn)知，其價(jià)值已被廣泛認(rèn)可。“做數(shù)學(xué)”較好融入課堂教學(xué)的基礎(chǔ)是對(duì)“做數(shù)學(xué)”素材的開發(fā)。素材的選擇不僅關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、動(dòng)機(jī)及對(duì)數(shù)學(xué)的理解，而且直接影響他們學(xué)習(xí)潛能的發(fā)揮，決定著學(xué)習(xí)活動(dòng)能否生動(dòng)活潑、富有個(gè)性。在基于“做數(shù)學(xué)”進(jìn)行素材開發(fā)時(shí)，要重點(diǎn)思考素材開發(fā)的價(jià)值、目標(biāo)以及路徑，也就是明確“為何開發(fā)”“開發(fā)時(shí)要注意什么”，更要解決“如何開發(fā)”的根本問題。

一、“做數(shù)學(xué)”素材的內(nèi)涵解讀

1.對(duì)“做數(shù)學(xué)”的理解

“做數(shù)學(xué)”是以陶行知“教學(xué)做合一”的教育思想為基礎(chǔ)，同時(shí)融合了“Hands-on”學(xué)習(xí)理念、杜威的“從做中學(xué)”理念、弗賴登塔爾的再創(chuàng)造思想以及具身認(rèn)知理論的學(xué)習(xí)方式。匹茲堡大學(xué)在QUASAR研究項(xiàng)目成果中提出，“做數(shù)學(xué)”是高認(rèn)知水平層次的任務(wù)，它要求學(xué)生探索和理解數(shù)學(xué)觀念、過程和關(guān)系的本質(zhì)，在多種表達(dá)形式之間建立聯(lián)系。在小學(xué)階段，“做數(shù)學(xué)”是指學(xué)生利用各種媒介、工具、材料，通過手腦協(xié)同作用的行為理解知識(shí)、探究規(guī)律、解決問題?！白鰯?shù)學(xué)”具體包括三個(gè)要素。

（1）“做”是關(guān)鍵

學(xué)生應(yīng)在學(xué)習(xí)任務(wù)或問題情境中，調(diào)動(dòng)各種感官參與數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)，通過觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、猜想、計(jì)算、推理、歸納及遷移等獲得對(duì)抽象數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理的直接體驗(yàn)。

（2）“思”是核心

學(xué)生在經(jīng)歷“做思共生”的建構(gòu)活動(dòng)中，認(rèn)識(shí)“做數(shù)學(xué)”的價(jià)值，產(chǎn)生有質(zhì)量的對(duì)話，經(jīng)歷思維的重組，從而掌握解決問題的一般步驟，掌握基本的數(shù)學(xué)方法和創(chuàng)新的學(xué)習(xí)策略。

（3）“創(chuàng)”是目標(biāo)

經(jīng)過充分學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠自主探索未知的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，能運(yùn)用數(shù)學(xué)的工具、原理、方法和模型解釋現(xiàn)實(shí)生活中的問題，能發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)事實(shí)或關(guān)聯(lián)，能創(chuàng)造性地解決各種問題。

2.對(duì)“做數(shù)學(xué)”素材的理解

從課程的角度看，“做數(shù)學(xué)”素材其實(shí)就是一種課程資源。數(shù)學(xué)課程資源是在數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)、實(shí)施和評(píng)價(jià)的過程中各種可利用的顯性的素材、隱性的素材、所需要的條件，以及在此過程中生成的各種可加以利用的資源。因此，“做數(shù)學(xué)”素材既包括實(shí)物、學(xué)具、計(jì)算器等工具，也包括問題、習(xí)題、情境等材料。

二、小學(xué)“做數(shù)學(xué)”素材的基本特征

為了使學(xué)生對(duì)“做數(shù)學(xué)”產(chǎn)生濃厚的興趣，教師應(yīng)首先考慮素材的現(xiàn)實(shí)性、趣味性和挑戰(zhàn)性；此外，素材還應(yīng)與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)緊密相關(guān)，且要適合嵌入數(shù)學(xué)問題情境，方便設(shè)置探究路徑和空間。具體而言，“做數(shù)學(xué)”素材應(yīng)具有以下基本特征。

1.多元化

“做數(shù)學(xué)”要求學(xué)生借助學(xué)具（如小棒、七巧板、紙片等）或調(diào)動(dòng)身體（實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐），以動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的方式解決問題，從而完成從數(shù)學(xué)操作向數(shù)學(xué)思維建構(gòu)的升華過程。為豐富建構(gòu)過程，教師應(yīng)為學(xué)生提供多元的學(xué)習(xí)素材，如小棒、七巧板、紙片等實(shí)物素材，習(xí)題、問題等文本素材，既可以是常規(guī)素材，也可以是非常規(guī)素材，既可以是實(shí)物等操作類素材，也可以是題組、問題等思辨類素材。

例如，圍繞“長方體和正方體”內(nèi)容，筆者開發(fā)了“表面涂色的立方體”活動(dòng)，提供給學(xué)生的素材是問題“一個(gè)大長方體，表面涂色后切開成若干塊相同的小正方體，其中三面涂色的小正方體有6 塊，這樣的長方體長什么樣？”。

在此之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生接觸到的此類切立方體問題中，三面涂色的小正方體都在大長方體的頂點(diǎn)處，大長方體有8 個(gè)頂點(diǎn)，因此三面涂色的小正方體有8 個(gè)。然而，上述提供的素材中三面涂色的小正方體卻只有6 個(gè)，這與學(xué)生已有認(rèn)知發(fā)生了沖突。這種沖突會(huì)引發(fā)學(xué)生的思考，當(dāng)原有的經(jīng)驗(yàn)無法解決問題時(shí)，學(xué)生會(huì)借助小正方體這一直觀的幾何模型，通過動(dòng)手操作、空間想象等方式來擺脫思維定式，將解決問題的過程具體、形象地表達(dá)出來。

2.開放性

提供給學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”素材應(yīng)區(qū)別于標(biāo)準(zhǔn)化習(xí)題，要具有更強(qiáng)的開放性，是學(xué)生實(shí)踐的直接經(jīng)驗(yàn)和書本的間接經(jīng)驗(yàn)整合的結(jié)果。學(xué)生在面對(duì)這類素材時(shí)，可能會(huì)有些擔(dān)心，因?yàn)樗夭谋旧頉]有提供明顯的解決問題的途徑，也沒有可以直接得到答案的用于解決整個(gè)問題的步驟。因此，學(xué)生需要運(yùn)用已有的知識(shí)進(jìn)行深入探究。這種學(xué)習(xí)過程曲折且結(jié)果具有多樣性的素材能夠激發(fā)學(xué)生的探究欲望，為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供有力的支撐。

例如，圍繞“用列舉的方法解決問題”內(nèi)容，筆者開發(fā)了開放性問題“怎樣圍面積最大”，設(shè)計(jì)了層層遞進(jìn)的素材鏈：①王叔叔用12個(gè)1米長的柵欄在空地上圍一個(gè)長方形花圃，怎樣圍面積最大？②王叔叔用12 個(gè)1 米長的柵欄圍一個(gè)一面靠墻的長方形花圃，怎樣圍面積最大？③如果花圃兩面靠墻呢？學(xué)生要想成功解決這些問題，必須在不斷變化的任務(wù)情境中推理驗(yàn)證，最終得出一般化的結(jié)論。

3.思考力

在“做數(shù)學(xué)”的過程中，學(xué)生應(yīng)探索和理解數(shù)學(xué)觀念、過程和關(guān)系的本質(zhì)，以深入知識(shí)內(nèi)核進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，其重點(diǎn)在于學(xué)生應(yīng)具備獨(dú)立或者在適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)下找到內(nèi)隱的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的能力。換言之，“做數(shù)學(xué)”素材，應(yīng)彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)、內(nèi)蘊(yùn)思考力，促進(jìn)學(xué)生積極思考。因此，教師要加工好適合學(xué)生開展“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)素材，這既能幫助學(xué)生獲得對(duì)知識(shí)的深刻認(rèn)識(shí)，掌握處理新材料、新問題、新情境的方法，又能讓學(xué)生感受到自我知識(shí)的局限性，隨著一波三折具有反轉(zhuǎn)活動(dòng)的徑深，進(jìn)入良性的學(xué)習(xí)循環(huán)。

例如，圍繞“10 以內(nèi)數(shù)的分與合”內(nèi)容，筆者開發(fā)了“玩轉(zhuǎn)三角數(shù)圖”活動(dòng)，將三角數(shù)圖作為素材，讓學(xué)生思考“如何把圓片合理地?cái)[在三角數(shù)圖中？”，并設(shè)計(jì)了任務(wù)串：①規(guī)則是什么；②動(dòng)手?jǐn)[一擺；③說說你的秘訣。當(dāng)學(xué)生能熟練地在三角數(shù)圖中擺放圓片后（三角數(shù)圖及擺放如圖1-1），教師提供了如圖1-2 所示的素材，讓學(xué)生思考“為什么剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律不適用了？”，隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生逐漸能夠探尋到規(guī)則的缺陷，并意識(shí)到這與素材本身提供的3 個(gè)數(shù)的奇偶性有關(guān)，為培養(yǎng)其理性精神奠定了基礎(chǔ)。

圖1-1

圖1-2

三、小學(xué)“做數(shù)學(xué)”素材的開發(fā)路徑

“做數(shù)學(xué)”素材的開發(fā)是通過將素材所承載的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)情感等元素進(jìn)行整合，把現(xiàn)成的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的、適合學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

1.對(duì)教材“動(dòng)手做”欄目的再組織

（1）欄目分析

“動(dòng)手做”欄目是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的特色內(nèi)容，通常出現(xiàn)在單元結(jié)束后，是與單元內(nèi)容配套的，全套小學(xué)數(shù)學(xué)教材共安排了37 個(gè)“動(dòng)手做”欄目，包含數(shù)據(jù)收集、方案設(shè)計(jì)、定期觀察、動(dòng)手制作、實(shí)驗(yàn)操作、數(shù)學(xué)游戲等?！皠?dòng)手做”欄目中的活動(dòng)，具有較強(qiáng)的操作性和實(shí)踐性，有助于學(xué)生在觀察、操作、實(shí)驗(yàn)的過程中感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，增強(qiáng)實(shí)踐意識(shí)和動(dòng)手能力；具有較強(qiáng)的探索性和啟發(fā)性，有助于學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)的豐富內(nèi)涵。

然而，有時(shí)這個(gè)欄目的教學(xué)僅止于學(xué)生文本閱讀層面，雖然學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容很感興趣，但缺乏教師的有效指導(dǎo)和學(xué)生之間的互動(dòng)交流。因此，在研讀教材的過程中，教師應(yīng)聯(lián)系單元整體內(nèi)容以領(lǐng)會(huì)教材編寫意圖，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理組織、適度拓展。

（2）欄目使用

深挖素材內(nèi)涵。教材就像一根杠桿，教師對(duì)待教材的態(tài)度以及研讀開發(fā)教材的能力就是杠桿的支點(diǎn)，“支點(diǎn)”離學(xué)生越近，教師在教學(xué)活動(dòng)中付出的價(jià)值就越高。因此，教師要理解教材的深層意義，充分挖掘教材的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，從而更好地引導(dǎo)學(xué)生掌握知識(shí)、發(fā)展能力。

適度改造素材。根據(jù)學(xué)生情況和教學(xué)需求，教師需要對(duì)教材所提供的素材進(jìn)行有選擇、有目的地取舍、開發(fā)和利用。具體地說，就是從整合、拓展和結(jié)構(gòu)化的視角對(duì)素材進(jìn)行重組和補(bǔ)充，對(duì)知識(shí)脈絡(luò)進(jìn)行聯(lián)結(jié)和延伸，對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行梳理和重構(gòu)。

創(chuàng)新素材使用。教師要對(duì)素材實(shí)施動(dòng)態(tài)層面的創(chuàng)新加工，以引導(dǎo)學(xué)生通過“做數(shù)學(xué)”的方式參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中，使素材本身成為展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程并促進(jìn)學(xué)生探究的媒介。這樣，可以拉長學(xué)生的探究過程，讓學(xué)生更易掌握知識(shí)。

例如，蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)有一則“動(dòng)手做”，把一幅圖平均分成4 份后打亂，要求學(xué)生經(jīng)過若干次平移和旋轉(zhuǎn)，把圖案恢復(fù)成原本的樣子。

以此素材為基礎(chǔ)，教師可以選擇冬奧會(huì)吉祥物為素材，開發(fā)“冰墩墩還原記”一課。教師引導(dǎo)學(xué)生回顧平移和旋轉(zhuǎn)的要素之后，設(shè)計(jì)闖關(guān)活動(dòng)。第一關(guān)：將打亂的冰墩墩?qǐng)D片還原。引導(dǎo)學(xué)生比較不同的還原方法，讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言記錄還原的步驟。第二關(guān)：將一分為二的冰墩墩?qǐng)D片還原。教師鼓勵(lì)學(xué)生尋找最少的還原步驟以及思考這樣做的道理。第三關(guān)：獨(dú)立還原一分為四的圖片，先想象、再驗(yàn)證，記錄操作的步驟。完成以上三個(gè)活動(dòng)，學(xué)生不僅需要不斷嘗試與調(diào)整、比較與優(yōu)化，還需要想象與推理。

2.由例到類對(duì)習(xí)題深度挖掘

深入思考是“做數(shù)學(xué)”的關(guān)鍵屬性，它將“做數(shù)學(xué)”與淺顯的實(shí)踐操作相區(qū)分，這就帶來了開發(fā)素材的另一視角，即教師可以聚焦某個(gè)習(xí)題進(jìn)行深入探討，科學(xué)、合理、有序地組織學(xué)生開展探究活動(dòng)。具體來說，教師可以運(yùn)用情境背后的線索，改變習(xí)題的條件或結(jié)論，以“做數(shù)學(xué)”為載體將其轉(zhuǎn)化為開放性的探究素材，引導(dǎo)學(xué)生形成“繼續(xù)思考下去”的數(shù)學(xué)思維方式，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)之間關(guān)聯(lián)性理解。通過聯(lián)想、類比、推廣、演變，學(xué)生可以在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)中建立獨(dú)特的發(fā)現(xiàn)問題方式和思考路徑。

例如，認(rèn)識(shí)完“千以內(nèi)的數(shù)”，學(xué)生遇到一道思考題：“在計(jì)數(shù)器上表示212 要用5 顆算珠，那么用5 顆算珠還可以表示哪些三位數(shù)？”為了引導(dǎo)學(xué)生探討用若干顆算珠在計(jì)數(shù)器上表示三位數(shù)的問題，筆者以“用若干顆算珠在計(jì)數(shù)器上表示三位數(shù)，有多少種方法”為問題引領(lǐng)，開發(fā)了“神奇的組數(shù)問題”一課。

簡(jiǎn)單探索后，有學(xué)生提出了“算珠越多，算珠能表示的三位數(shù)的個(gè)數(shù)越多”，馬上有學(xué)生反駁“用27 顆算珠時(shí)，只有1 種方法，即每個(gè)數(shù)位上都有9顆算珠，只能表示999”，這一觀點(diǎn)引發(fā)了熱烈討論，在新的探究中，有的學(xué)生驗(yàn)證了用25 顆算珠、26 顆算珠的情況，覺察“隨著用的算珠變多，組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)可能先變多再多少”，并猜想1～27的中間數(shù)14 是一個(gè)反轉(zhuǎn)數(shù)。為了確認(rèn)這一想法，學(xué)生合作列舉出所有的數(shù)據(jù)。仔細(xì)觀察這些數(shù)據(jù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，用1～14 顆算珠表示時(shí)，算珠越多，算珠能表示的三位數(shù)的個(gè)數(shù)越多，從14 顆算珠開始，算珠越多，算珠能表示的三位數(shù)的個(gè)數(shù)越少。

由教材問題延伸的“做數(shù)學(xué)”，過程為“自主感悟—萌生猜想—分析驗(yàn)證—修正猜想—成功體驗(yàn)”。在這個(gè)過程中，學(xué)生積極猜想，意識(shí)到驗(yàn)證猜想的重要性，并在驗(yàn)證中完善與修正猜想。

總的來說，開發(fā)“做數(shù)學(xué)”素材必須以基礎(chǔ)性課程的目標(biāo)和要求為基礎(chǔ)，其目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，其課程內(nèi)容是對(duì)基礎(chǔ)性課程的延伸、補(bǔ)充、拓展和整合。要有效開發(fā)“做數(shù)學(xué)”素材，還需廣大教師繼續(xù)探索和創(chuàng)新。