摘 要：“運(yùn)算之間的關(guān)系”是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程“數(shù)與運(yùn)算”主題的重要內(nèi)容之一，第一學(xué)段需要達(dá)成“知道減法是加法的逆運(yùn)算、乘法是加法的簡便運(yùn)算、除法是乘法的逆運(yùn)算”的學(xué)業(yè)要求。“表內(nèi)乘法”和“表內(nèi)除法”相關(guān)內(nèi)容是“運(yùn)算之間的關(guān)系”教學(xué)的重要載體。教師要在具體情境中，結(jié)合乘法和除法的初步認(rèn)識、乘法口訣的編制和應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生理解乘法是加法的簡便運(yùn)算、除法是減法的簡便運(yùn)算、除法是乘法的逆運(yùn)算，從而在生活與數(shù)學(xué)、舊知與新知、單點(diǎn)與結(jié)構(gòu)之間建立聯(lián)系，有效落地核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)，促進(jìn)認(rèn)知進(jìn)階、問題解決、思維發(fā)展。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；運(yùn)算關(guān)系；運(yùn)算意義；簡便運(yùn)算；逆運(yùn)算

*本文系全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度教育部重點(diǎn)課題“小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識建構(gòu)的教學(xué)研究”（編號：DHA200370）的階段性研究成果。

“運(yùn)算之間的關(guān)系”是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程“數(shù)與運(yùn)算”主題的重要內(nèi)容之一。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）明確指出它在不同學(xué)段的學(xué)業(yè)要求：第一學(xué)段，“能描述四則運(yùn)算的含義，知道減法是加法的逆運(yùn)算、乘法是加法的簡便運(yùn)算、除法是乘法的逆運(yùn)算”^［1］；第二學(xué)段，“能描述減法與加法的關(guān)系、除法與乘法的關(guān)系”^［2］，“進(jìn)一步理解除法是乘法的逆運(yùn)算”^［3］；第四學(xué)段，“知道乘方與開方互為逆運(yùn)算”^［4］。可以說，第一學(xué)段“運(yùn)算之間的關(guān)系”的教學(xué)直接影響著相關(guān)知識整體建構(gòu)和應(yīng)用遷移的質(zhì)量，值得研究和重視。

一、第一學(xué)段“運(yùn)算之間的關(guān)系”教學(xué)管窺

先看蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊《期末復(fù)習(xí)》單元的兩道練習(xí)題（如圖1所示）。對于經(jīng)過一個(gè)完整學(xué)期學(xué)習(xí)的二年級學(xué)生來說，解答這兩道基礎(chǔ)性練習(xí)題是沒有難度的。筆者在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：無論是有指定運(yùn)算類型要求的第1題，還是沒有指定運(yùn)算類型要求的第2題的第（2）題，超過90%的學(xué)生能夠快速且統(tǒng)一地寫出兩道乘法算式和兩道除法算式。

這樣的結(jié)果，與教材的編排意圖和教師的教學(xué)預(yù)期完美吻合：“第1題通過看圖寫兩道乘法算式和兩道除法算式，引導(dǎo)學(xué)生回憶乘、除法的含義，進(jìn)一步體會(huì)乘、除法之間的內(nèi)在聯(lián)系”；第2題的第（2）題“讓學(xué)生練習(xí)根據(jù)一句口訣寫出兩道乘法算式和兩道除法算式，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)用口訣求積和求商的方法，熟練掌握乘法口訣與表內(nèi)乘、除法之間的對應(yīng)關(guān)系，促進(jìn)計(jì)算技能的形成”。^［5］

綜觀人教版、北師大版和蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“表內(nèi)乘法”“表內(nèi)除法”的相關(guān)內(nèi)容，無一例外地突出了情境、口訣與乘法運(yùn)算、除法運(yùn)算的關(guān)系，關(guān)注了除法是乘法的逆運(yùn)算。如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊，在《表內(nèi)乘法（一）》單元，突出了情境、口訣與乘法運(yùn)算的關(guān)系；在《表內(nèi)除法（一）》單元，突出了情境、口訣與除法運(yùn)算的關(guān)系，初次感悟除法是乘法的逆運(yùn)算；在《表內(nèi)乘法和表內(nèi)除法（二）》單元，突出了情境、口訣與乘法運(yùn)算和除法運(yùn)算的關(guān)系，進(jìn)一步感悟除法是乘法的逆運(yùn)算。依據(jù)這樣的內(nèi)容編排開展教學(xué)，可以幫助學(xué)生強(qiáng)化對乘法與除法之間關(guān)系的理解；但另一方面，弱化了對乘法與加法、除法與減法之間關(guān)系的理解，學(xué)生往往難以從整體上感悟和理解四則運(yùn)算之間的關(guān)系。

二、第一學(xué)段“運(yùn)算之間的關(guān)系”教學(xué)建議

以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊“表內(nèi)乘法”“表內(nèi)除法”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)為例。這兩部分內(nèi)容的教學(xué)，應(yīng)借助具體情境，結(jié)合乘法和除法的初步認(rèn)識（含義理解）、乘法口訣的編制以及應(yīng)用口訣計(jì)算相應(yīng)的乘法和除法、解決簡單的實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生理解乘法是加法的簡便運(yùn)算、除法是減法的簡便運(yùn)算、除法是乘法的逆運(yùn)算，并與“減法是加法的逆運(yùn)算”這一舊知建立聯(lián)系，首次從整體上感悟和把握四則運(yùn)算之間的關(guān)系。

（一）回溯乘法意義，豐富加法與乘法之間關(guān)系的教學(xué)

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊《表內(nèi)乘法（一）》單元從加法運(yùn)算引出乘法運(yùn)算，相應(yīng)的教學(xué)常常是通過情境理解、操作模擬、圖形表征、史料介紹、算式比較，引導(dǎo)學(xué)生初步感悟和了解乘法與加法的關(guān)系——但筆者以為，這樣的教學(xué)只是把加法作為單向引出乘法的基礎(chǔ)材料，沒有突出也沒有充分讓學(xué)生感悟到“乘法是加法的簡便運(yùn)算”。對此，有必要進(jìn)一步挖掘教材內(nèi)容承載的價(jià)值，并有意識地從乘法的意義出發(fā)，豐富學(xué)生對加法與乘法之間關(guān)系的感悟和理解。

【片段1】

教師出示下頁圖2（對蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊第27頁“想想做做”第2題的附圖做了適當(dāng)?shù)男薷模龑?dǎo)學(xué)生觀察、思考，并與學(xué)生互動(dòng)。

師 你能看圖用三句話講一個(gè)故事嗎？

生 每行有5個(gè)花片，有3行，一共有多少個(gè)花片？

生 還可以這么說：每組（列）有3個(gè)花片，有5組（列），一共有多少個(gè)花片？

師 看看圖，想想兩個(gè)同學(xué)講的故事，你能寫出哪幾道算式？

（學(xué)生獨(dú)立寫算式，同桌交流。教師展示學(xué)生作業(yè)并組織全班交流。）

生 我想到了：5+5+5=15，3+3+3+3+3=15。

生 我想到了：5×3=15，3×5=15。

生 我想到了：5+5+5=15，5×3=15，都是3個(gè)5相加。

生 我想到了：3+3+3+3+3=15，3×5=15，都是5個(gè)3相加。

師 同學(xué)們說得都有道理！既然我們可以用以前學(xué)過的加法解決這個(gè)問題，為什么還要學(xué)習(xí)乘法呢？

生 因?yàn)槌朔▽懫饋肀燃臃ê唵巍?/p>

師 是的。3個(gè)5相加，或者5個(gè)3相加，寫成乘法算式和加法算式都可以，但是乘法要比加法更簡便。想一想：你能用一句口訣算出這4道算式的得數(shù)嗎？如果能，用哪一句口訣呢？

生 三五十五。

（很多學(xué)生都快速選擇了這一句口訣。）

師 乘法口訣真神奇！“三五十五”可以算3個(gè)5相加是多少，也可以算5個(gè)3相加是多少；可以算加法，也可以算乘法。

【片段2】

教師呈現(xiàn)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊第32頁“想想做做”第3題（如圖3所示），在學(xué)生獨(dú)立計(jì)算、反饋訂正之后組織全班交流。

師 （依次指每一列）

如果不計(jì)算，你能說說每組兩道算式的得數(shù)為什么一樣嗎？

生 （指第一列的兩道算式）

第1題是2個(gè)5加5，就是3個(gè)5相加，第2題也是3個(gè)5相加。

生 （依次指第二、三列的兩道算式）

它們都是4個(gè)5相加、5個(gè)5相加。

師 有道理。既然都表示3個(gè)5、4個(gè)5、5個(gè)5相加，每組的兩道算式分別能用哪一句口訣算出得數(shù)呢？

（學(xué)生說出“三五十五”“四五二十”“五五二十五”三句口訣。）

師 “四五二十”這句口訣可以計(jì)算4個(gè)5相加是多少，（指第二列）

除了這兩道算式之外，還能夠計(jì)算哪道算式的得數(shù)？

生 5+5+5+5=20。

生 5×2+5+5=20。

師 看來乘法口訣的作用還真不小呢！觀察一下，同樣表示4個(gè)5相加，寫成哪道算式更簡便？

生 乘法算式更簡便。

上述教學(xué)，不僅豐富了學(xué)生對乘法含義、乘法口訣的理解，拓展了乘法口訣解決計(jì)算問題的空間（即用乘法口訣計(jì)算同數(shù)連加、乘加混合算式的得數(shù)），也有助于學(xué)生更好地感悟“乘法是加法的簡便運(yùn)算”，初步感悟乘法分配律。筆者以為，在《表內(nèi)乘法（一）》單元和后續(xù)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中，應(yīng)該經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生退回乘法的含義去理解情境、完成計(jì)算、解決問題，不斷豐富關(guān)于加法和乘法雙向轉(zhuǎn)換、算式和圖形雙向表征、口訣與算式（特別是加法算式）雙向聯(lián)結(jié)的經(jīng)驗(yàn)，從而幫助學(xué)生在認(rèn)知進(jìn)階的過程中感悟和理解加法與乘法的關(guān)系。

（二）拓展除法意義，補(bǔ)充減法與除法之間關(guān)系的教學(xué)

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊《表內(nèi)除法（一）》單元從現(xiàn)實(shí)生活中的平均分問題引出除法運(yùn)算，相應(yīng)的教學(xué)也常常是通過情境理解、操作模擬、圖形表征以及利用乘法口訣求商（想乘法算除法），引導(dǎo)學(xué)生初步感悟和了解除法與乘法的關(guān)系——但筆者以為，這樣的教學(xué)忽略了減法也是除法的來源這一事實(shí)，中斷了學(xué)生在先前學(xué)習(xí)中初步形成的從已知運(yùn)算引出新運(yùn)算的思路，割裂了除法與減法的關(guān)系。對此，可以嘗試突破教材內(nèi)容的框架，有意識地拓展除法的意義，引導(dǎo)學(xué)生建立減法與除法之間的聯(lián)系。

【片段3】

教師呈現(xiàn)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊第48頁例5主題圖（如圖4），引導(dǎo)學(xué)生在理解題意后提出問題：6人坐纜車，每車坐2人，要坐多少車？在學(xué)生獨(dú)立嘗試通過分物或畫圖操作解決問題之后，教師為學(xué)生提供記錄單：“我記錄的算式是______，要坐______車。”要求學(xué)生想辦法用算式記錄解決問題的操作過程和答案。然后，教師展示有代表性的學(xué)生作品，組織交流互動(dòng)。

生 我記錄的是“2+2+2=6”，要坐3車。

師 在算式中，從哪里可以看出坐了3車？

生 （用紅筆依次圈出3個(gè)2，數(shù)出結(jié)果）

1車，2車，3車。

師 你的意思是每車坐2人，這里有3個(gè)2人，所以要坐3車，是嗎？

生 是的。我就是這么想的。

生 我記錄的方法和他的不一樣。我記錄的是“2×3=6”，每車坐2人，有3個(gè)2人，要坐3車。

生 我也是用乘法記錄的：2×（ ）=6。因?yàn)?×3=6，所以要坐3車。

師 有道理?？磥?，我們可以用以前學(xué)過的加法和乘法知識來解決問題。

生 我是用減法記錄的。我記錄的是“6-2-2=2”，（依次圈出3個(gè)2）

每車坐2人，要坐3車。

生 （指著前一位學(xué)生的作品）

我記錄的算式和他有一點(diǎn)不同。我記錄的是“6-2-2-2=0”，（依次圈出3個(gè)2）

每車坐2人，要坐3車。

師 這兩種方法看明白了嗎？（稍停）

看來用減法也能解決這個(gè)問題。

（教師引導(dǎo)學(xué)生比較三種記錄方法：①2+2+2=6；②2×3=6；③6-2-2-2=0。）

師 三種方法都能記錄“6人坐纜車，每車坐2人，要坐3車”，比一比，它們有什么不同呢？

生 “2+2+2=6”可以寫成“2×3=6”，但是乘法比加法簡便。

生 “6-2-2-2=0”和“2+2+2=6”是相反的。

師 我同意大家的意見。如果“2+2+2=6”能夠簡便地寫成“2×3=6”，那么，“6-2-2-2=0”能不能也有一種簡便寫法呢？

（學(xué)生思考和討論。）

師 “6人坐纜車，每車坐2人，要坐3車”，用減法記錄是“6-2-2-2=0”，還可以簡便地寫成“6÷2=3”。

（教師同步板書，讀出算式，介紹算式各部分的名稱。然后，引導(dǎo)學(xué)生比較減法算式、除法算式中的幾個(gè)數(shù)與平均分情境中的三個(gè)數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系，幫助學(xué)生初步感悟一個(gè)數(shù)連續(xù)減去幾個(gè)相同的數(shù)也可以用除法來計(jì)算，除法比減法簡便。）

上述教學(xué)，在學(xué)生通過實(shí)物或畫圖操作來加深對平均分的理解，用加法、乘法和減法來記錄解決平均分問題的過程和結(jié)果的基礎(chǔ)上，適時(shí)引出除法的記錄形式，引導(dǎo)學(xué)生初步了解除法和減法之間的關(guān)系，感悟“除法是減法的簡便運(yùn)算”，拓展除法的意義。事實(shí)上，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊《表內(nèi)除法（一）》單元第53頁例7中就呈現(xiàn)了用連減解決平均分問題的方法，只是此方法僅在這里出現(xiàn)了一次，且并未與除法建立起實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。站在學(xué)生整體理解除法意義、整體感悟運(yùn)算之間關(guān)系的高度來審視，教師不妨嘗試在《表內(nèi)除法（一）》單元以及后續(xù)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生用不同的方法（特別是用減法和除法）解決平均分的問題，拓寬他們解決問題的視野，找到除法計(jì)算中口訣求商之外的方法，彌合除法與減法之間的斷層，實(shí)現(xiàn)減法與除法之間的雙向轉(zhuǎn)換。需要說明的是，補(bǔ)充教學(xué)只是引導(dǎo)學(xué)生從另一個(gè)源頭認(rèn)識除法，我們依然應(yīng)該重視乘法與除法之間關(guān)系的教學(xué)。

（三）關(guān)聯(lián)運(yùn)算意義，優(yōu)化四則運(yùn)算之間整體關(guān)系的教學(xué)

“表內(nèi)乘法”“表內(nèi)除法”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)，不僅要突出乘法與除法之間的關(guān)系，助力學(xué)生感悟除法是乘法的逆運(yùn)算，理解和運(yùn)用口訣求積與求商的方法，形成運(yùn)算技能，更應(yīng)助力學(xué)生從整體上理解加減乘除四則運(yùn)算的意義以及運(yùn)算之間的關(guān)系，靈活地選擇方法解決相關(guān)問題。對此，可以在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度觀察、分析和表征問題，在解決問題的過程中進(jìn)一步整體感悟和理解四則運(yùn)算的意義以及運(yùn)算之間的關(guān)系。

【片段4】

教師呈現(xiàn)圖5，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、思考后提出數(shù)學(xué)問題。

師 小華用正方形卡片做游戲，你能看圖用三句話講一個(gè)數(shù)學(xué)故事嗎？先自己想一想，再在小組內(nèi)交流。

（在學(xué)生獨(dú)立思考、組內(nèi)交流之后，教師組織全班交流。）

生 每行有8張卡片，擺了3行，小華一共有多少張卡片？

生 每列有3張卡片，擺了8列，小華一共有多少張卡片？

生 小華有24張卡片，每行有8張，可以擺幾行？

生 小華有24張卡片，擺成3行，每行有幾張？

生 小華有24張卡片，每列有3張，可以擺幾列？

生 小華有24張卡片，擺成8列，每列有幾張？

（教師呈現(xiàn)學(xué)生提出的這六個(gè)問題，要求學(xué)生獨(dú)立解決、組內(nèi)交流。然后，教師組織全班交流，同步板書與問題對應(yīng)的算式。接著，教師選擇問題2和問題5的代表性方法進(jìn)行討論。）

師 （指著問題2）

這個(gè)問題，同學(xué)們想到兩種方法：（1）3+3+3+3+3+3+3+3=24； （2）3×8=24。這兩種方法都可以嗎？為什么解決問題時(shí)都選擇第二種方法？

生 兩種方法都可以，都是算8個(gè)3相加是多少。

生 兩種方法都可以，但是乘法比加法簡便。

師 （指著問題5）

這個(gè)問題，同學(xué)們也想到兩種方法：①24-3-3-3-3-3-3-3-3=0；②24÷3=8。為什么解決問題時(shí)都選擇第二種方法？

生 兩種方法都可以，但是除法比減法簡便。

師 學(xué)習(xí)了加法和減法以后，我們又學(xué)習(xí)了乘法和除法，就是要用更簡便的方法解決一些問題。（先指加法和減法算式，再指乘法和除法算式）

比一比上下兩道算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生 我發(fā)現(xiàn)“24-3-3-3-3-3-3-3-3=0”和“3+3+3+3+3+3+3+3=24”是相反的， “24÷3=8”和“3×8=24”也是相反的。

師 同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)很重要！減法是加法的逆運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算，以后我們還會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)?，F(xiàn)在回過頭來看圖，你能寫出幾道算式？

生 我能寫出八道算式。

生 我能寫出兩道加法、兩道乘法、兩道減法、兩道除法算式。

上述教學(xué)中，學(xué)生通過看圖，喚醒了大腦中熟悉的情境問題，以及解決這些問題的代表性方法。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生通過方法之間的兩兩比較，進(jìn)一步理解了四則運(yùn)算的意義，更清晰地認(rèn)識了加法與乘法、減法與除法、加法與減法、乘法與除法之間的關(guān)系。為了有效達(dá)成新課標(biāo)中有關(guān)第一學(xué)段“運(yùn)算之間的關(guān)系”的課程目標(biāo)，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力、模型意識等核心素養(yǎng)，我們需要整體分析教材內(nèi)容，整體把握“表內(nèi)乘法”“表內(nèi)除法”以及其他系列內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，了解四則運(yùn)算的產(chǎn)生和來源、結(jié)構(gòu)和關(guān)聯(lián)、價(jià)值和意義，進(jìn)而有意識地從整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的角度，引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算的意義出發(fā)，在解決問題、算式計(jì)算、口訣編制的過程中，整體感悟四則運(yùn)算之間的關(guān)系，初步建立關(guān)于運(yùn)算之間關(guān)系的有意義的知識結(jié)構(gòu)，為第二學(xué)段以及后續(xù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

當(dāng)然，教學(xué)中我們還應(yīng)該整體考慮運(yùn)算模型的選擇、代數(shù)思維的孕伏、多元表征的關(guān)聯(lián)等問題，認(rèn)識到四則運(yùn)算是一個(gè)充滿聯(lián)系的整體，乘法是有別于加法、除法是有別于減法的獨(dú)特運(yùn)算，從而在長程教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生結(jié)構(gòu)化地認(rèn)知、思考。從這個(gè)意義上說，我們應(yīng)該基于新課標(biāo)要求，充分了解教材編排、教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀，發(fā)現(xiàn)隱秘的內(nèi)容斷層，把準(zhǔn)不同的認(rèn)知困惑，確定適切的教學(xué)起點(diǎn)，設(shè)計(jì)合理的學(xué)習(xí)路徑，從而讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真實(shí)地發(fā)生，讓核心素養(yǎng)在學(xué)習(xí)過程中逐步形成。

參考文獻(xiàn)：

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