摘 要：發(fā)展推理意識(shí)是培養(yǎng)推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，是小學(xué)階段提升數(shù)學(xué)思維的重要目標(biāo)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生推理意識(shí)的培養(yǎng)要做到“三全”：“全領(lǐng)域”覆蓋，即利用好教材中各領(lǐng)域適合培養(yǎng)學(xué)生推理意識(shí)的教學(xué)內(nèi)容；“全過程”經(jīng)歷，即引導(dǎo)學(xué)生充分體驗(yàn)推理的過程，幫助學(xué)生對(duì)推理過程及其意義形成初步的感悟；“全方位”理解，即讓學(xué)生逐步養(yǎng)成講理、明理的思維習(xí)慣，學(xué)會(huì)有理有據(jù)地表達(dá)交流。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；推理意識(shí)；合情推理；演繹推理；推理表達(dá)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）明確提出了“三會(huì)”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其中的“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”相對(duì)側(cè)重的是推理。由此，關(guān)于推理能力的發(fā)展路徑清晰明了地展現(xiàn)出來：從小學(xué)階段的推理意識(shí)，到初中階段的推理能力，再到高中階段的邏輯推理，循序漸進(jìn)，一脈相承。發(fā)展推理意識(shí)是培養(yǎng)推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，是小學(xué)階段提升數(shù)學(xué)思維的重要目標(biāo)。筆者以為，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生推理意識(shí)的培養(yǎng)要做到“三全”：“全領(lǐng)域”覆蓋，即利用好教材中各領(lǐng)域適合培養(yǎng)學(xué)生推理意識(shí)的教學(xué)內(nèi)容；“全過程”經(jīng)歷，即引導(dǎo)學(xué)生充分體驗(yàn)推理的過程，幫助學(xué)生對(duì)推理的過程及其意義形成初步的感悟；“全方位”理解，即讓學(xué)生逐步養(yǎng)成講理、明理的思維習(xí)慣，學(xué)會(huì)有理有據(jù)地表達(dá)交流。

一、“全領(lǐng)域”覆蓋

綜觀現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材，推理貫穿整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，涵蓋“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四大領(lǐng)域。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的推理不同于具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，它是隱性的、緘默的，在各大領(lǐng)域的存在形式和發(fā)展要求也不盡相同。因此，常常會(huì)被教師忽視。基于新課標(biāo)要求，教師應(yīng)認(rèn)真審視教材，在核心素養(yǎng)導(dǎo)向下對(duì)教材進(jìn)行實(shí)踐性解讀，嘗試結(jié)合四大領(lǐng)域的特點(diǎn)梳理素材。

新課標(biāo)在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域特別強(qiáng)調(diào)算理與運(yùn)算的一致性，反映出對(duì)代數(shù)推理的重視。在這個(gè)領(lǐng)域，數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)系發(fā)展規(guī)律的探索和各種運(yùn)算法則、運(yùn)算律的發(fā)現(xiàn)與總結(jié)等，都是發(fā)展推理意識(shí)的有效依托。比如：在學(xué)習(xí)整數(shù)加減法的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生合乎邏輯地推出“小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法其實(shí)也是計(jì)數(shù)單位的累加”；基于加法的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生解釋減法是加法的逆運(yùn)算，乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算，徹底打通四大運(yùn)算的脈絡(luò)；等等。

“圖形與幾何”領(lǐng)域的推理主要體現(xiàn)為直觀推理。在圖形的認(rèn)識(shí)、測(cè)量、運(yùn)動(dòng)和位置確定中，概括圖形的特征、歸納圖形的要素、推導(dǎo)圖形的計(jì)算公式等，都是發(fā)展推理意識(shí)的有力素材。比如：學(xué)生根據(jù)前面、右面、上面看到的“三視圖”，在頭腦中想象、推理、調(diào)整、篩選，逐步確定最終的圖形，從二維到三維的進(jìn)階也是推理水平的一次飛躍；在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算時(shí)，學(xué)生從直觀地?cái)?shù)小方塊，到發(fā)現(xiàn)小方塊的個(gè)數(shù)與長(zhǎng)、寬的聯(lián)系，再到提出猜想，最后到說理推導(dǎo)；之后，以長(zhǎng)方形的面積計(jì)算為起點(diǎn)，整個(gè)圖形領(lǐng)域的推導(dǎo)都可以追溯源頭，一次次經(jīng)歷的過程就是推理意識(shí)萌芽并生長(zhǎng)的過程。

“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的統(tǒng)計(jì)推理也是數(shù)學(xué)推理的一種。統(tǒng)計(jì)推理的分析對(duì)象是數(shù)據(jù)，目的是對(duì)未知事件作出有證據(jù)的、有說服力的預(yù)測(cè)。雖然統(tǒng)計(jì)推理是一個(gè)相對(duì)主觀的推斷，但是同樣需要有理有據(jù)地思考，能有效地體現(xiàn)學(xué)生的思維水平。比如：利用折線統(tǒng)計(jì)圖反映某兒童6—12歲的身高變化情況，并對(duì)該兒童13歲的身高作出合理的預(yù)測(cè)；在反復(fù)的摸球活動(dòng)中，根據(jù)摸出球的顏色，預(yù)估下一次的摸球情況或猜測(cè)口袋中球的顏色；等等。統(tǒng)計(jì)推理與其他的數(shù)學(xué)推理雖然不太一樣，但其核心也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，教育意義不容小覷。

“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的推理主要指學(xué)生通過觀察，利用生活中的現(xiàn)象、事件，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，作出推理，更多地體現(xiàn)為各種推理的綜合運(yùn)用，以及在生活中的實(shí)際應(yīng)用，是一種生活實(shí)踐推理。比如：《數(shù)字與信息》這節(jié)課中，學(xué)生根據(jù)身份證上數(shù)字編碼的規(guī)律，推理發(fā)現(xiàn)出生年月，判斷性別；根據(jù)某學(xué)生的學(xué)籍號(hào)，判斷該學(xué)生的入學(xué)年份，推算出該學(xué)生現(xiàn)在就讀的年級(jí)；等等。

在四大領(lǐng)域中，發(fā)展推理意識(shí)的有效素材和合理依托并不少，教師要進(jìn)一步明確新課標(biāo)背景下推理意識(shí)的內(nèi)涵，努力挖掘與開發(fā)，做到“全領(lǐng)域”覆蓋。

二、“全過程”經(jīng)歷

（一）充分體驗(yàn)合情推理

合情推理是從特殊到一般的推理過程，主要通過歸納和類比獲得猜想，再用舉例驗(yàn)證、生活經(jīng)驗(yàn)、直觀圖形等多種方式加以解釋，進(jìn)而得到結(jié)論。

合情推理是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑，關(guān)乎學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。教師可通過設(shè)計(jì)豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證”的過程，凸顯完整性、追求理解性，幫助學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展推理意識(shí)。

以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)《有趣的乘法》一課中的規(guī)律探索為例。

1.師生比賽，激發(fā)興趣

首先，教師出示一組算式（14×16、22×28、77×73、55×55），師生比賽計(jì)算，教師以驚人的計(jì)算速度激發(fā)學(xué)生的好奇心，從而引導(dǎo)學(xué)生觀察算式及結(jié)果的特點(diǎn)，開啟探究之旅。

2.大膽猜想，驗(yàn)證完善

通過觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)算式的特點(diǎn)是“頭同尾合十”，結(jié)果的規(guī)律是“積的末兩位等于兩個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)相乘，積的前面等于十位上的數(shù)乘比它大1的數(shù)”。但根據(jù)四個(gè)算式得到的規(guī)律僅僅是一個(gè)猜想，并不能說明具有普遍性，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證。而在驗(yàn)證59×51時(shí)，學(xué)生對(duì)結(jié)果產(chǎn)生了分歧，于是，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步完善猜想：如果個(gè)位乘個(gè)位的結(jié)果是一位數(shù)，要在十位添“0”。完善后的猜想是否正確呢？教師再一次引導(dǎo)學(xué)生舉例驗(yàn)證（如圖1所示），進(jìn)一步提升結(jié)論的可靠性。教師在教學(xué)中不急于得出結(jié)論，而是讓學(xué)生充分經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—發(fā)現(xiàn)反例—完善猜想—二次驗(yàn)證”的過程。

3.借助圖形，直觀明理

以上驗(yàn)證得到的規(guī)律，對(duì)于小學(xué)階段的學(xué)生還不需要嚴(yán)格的推理證明，但教師可以用方塊圖解釋規(guī)律背后的原因，借助直觀推理探析規(guī)律的合理性，豐富學(xué)生的推理形式，提升學(xué)生的思維能力。比如，14×16=224，可以借助圖2來幫助學(xué)生直觀地明白規(guī)律背后的原理。

最后，教師帶領(lǐng)學(xué)生完整回顧觀察、猜想、驗(yàn)證、得出規(guī)律的全過程，幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)在變化中探尋不變、從特殊中歸納事物一般屬性的方法，為以后的數(shù)學(xué)探究積累寶貴的合情推理經(jīng)驗(yàn)。

上述教學(xué)案例主要是歸納推理的過程，教師在教學(xué)中還可以適時(shí)滲透類比推理的思維方式。例如，數(shù)的意義、讀寫、運(yùn)算等，都可以進(jìn)行類比推理的滲透教學(xué)，通過新舊知識(shí)之間的勾連，實(shí)現(xiàn)知識(shí)和方法的正遷移，促進(jìn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化。

（二）適時(shí)嘗試演繹推理

如果說合情推理注重探索發(fā)現(xiàn)，那么演繹推理則體現(xiàn)務(wù)實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)。演繹推理是由一般到特殊的推理方式，通過演繹推理可以將合情推理得到的結(jié)論加以驗(yàn)證。演繹推理具有較高的抽象性和挑戰(zhàn)性，很多時(shí)候小學(xué)生還不具備嚴(yán)密推理的能力。在實(shí)際教學(xué)中，教師在充分拓展合情推理空間的同時(shí)，可以選擇合適的內(nèi)容、合適的時(shí)機(jī)、合適的學(xué)段，嘗試讓學(xué)生經(jīng)歷演繹推理的全步驟，感悟嚴(yán)密性，逐漸完成從推理意識(shí)到推理能力的自然進(jìn)階。

例如，“3的倍數(shù)特征”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，教師通常會(huì)讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察比較—提出猜想—舉例驗(yàn)證—得出結(jié)論”的合情推理過程。在驗(yàn)證環(huán)節(jié)，有兩種方式：一是再舉一些例子看看是否符合特征，二是看看能否舉出反例。然而，舉再多的例子也只是合情推理。對(duì)此，在六年級(jí)總復(fù)習(xí)階段，教師可以通過演繹推理的方式再次教學(xué)“3的倍數(shù)特征”，以打通小升初的隔斷，讓數(shù)學(xué)思維從淺表走向深刻。具體教學(xué)過程如下：

1.“為什么”問題驅(qū)動(dòng)

臨近畢業(yè)的六年級(jí)學(xué)生，對(duì)于“3的倍數(shù)特征是什么”熟記于心，但當(dāng)被問到“為什么判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)，只要看各個(gè)位上數(shù)的和是不是3的倍數(shù)”時(shí)，學(xué)生陷入了沉思。于是，在探尋“為什么”的問題驅(qū)動(dòng)下，教師帶領(lǐng)學(xué)生開展深度探究。

2.“圈一圈”初探本質(zhì)

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有層次的直觀操作，圈畫表征，把握關(guān)鍵。首先從簡(jiǎn)單的兩位數(shù)“21”圈起（如圖3所示），再到三位數(shù)“134”（如圖4所示），進(jìn)而要求學(xué)生在頭腦中分析四位數(shù)“1518”，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地看圖說理、想圖說理。教師指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀操作和位值原理，明確每一個(gè)計(jì)數(shù)單位里都會(huì)有最大的3的倍數(shù)（如9、99、999等），于是只要考慮剩下的數(shù)的和是不是3的倍數(shù)即可。借助圖形推理讓學(xué)生對(duì)3的倍數(shù)特征有了更為直觀清晰的理解，幫助學(xué)生向抽象的理性分析靠近了一大步。

3.“數(shù)與形”融合說理

直觀操作演示為抽象推理提供了腳手架。教師可以引導(dǎo)學(xué)生將每一步的直觀操作用形式化的推演表示出來，抽象的算式和直觀的操作一一對(duì)應(yīng)（如圖5、圖6所示），相輔相成。直觀背景下的抽象推理促使學(xué)生的說理更為深刻。

4.“字母式”抽象進(jìn)階

形式化的推演還不是嚴(yán)格意義上的演繹推理，但已經(jīng)初具演繹推理的模型。教師通過問題引發(fā)學(xué)生思維再次進(jìn)階：像“21”這樣的兩位數(shù)一共有90個(gè)，如果每一個(gè)數(shù)都要進(jìn)行推理說明，一共要進(jìn)行90次，能不能用一個(gè)推理過程來涵蓋呢？此時(shí)，字母式恰到好處地“登場(chǎng)”，從兩位數(shù)到三位數(shù)，學(xué)生嘗試經(jīng)歷演繹推理的過程（如下頁(yè)圖7所示）。

小學(xué)生直接接觸演繹推理是有難度的。這一案例選擇在六年級(jí)總復(fù)習(xí)階段實(shí)施，循序漸進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生自然而然地體驗(yàn)演繹推理的過程，思維在不經(jīng)意間實(shí)現(xiàn)高層次進(jìn)階。從學(xué)生的課堂反饋來看，他們不僅做到了“知其所以然”，還感受到了用字母式進(jìn)行演繹推理的嚴(yán)密、規(guī)范等優(yōu)勢(shì)，為初中進(jìn)一步發(fā)展推理能力奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

三、“全方位”理解

要真正理解（悟透）數(shù)學(xué)推理，除了需要經(jīng)歷觀察、思考、操作、發(fā)現(xiàn)等數(shù)學(xué)活動(dòng)，還需要把推理的過程和得出的結(jié)論用語(yǔ)言表達(dá)出來。清晰的數(shù)學(xué)表達(dá)是發(fā)展推理意識(shí)的一種外顯形式，而推理意識(shí)的發(fā)展又伴隨著數(shù)學(xué)表達(dá)的提升。發(fā)展推理意識(shí)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)表達(dá)是相輔相成的，這恰恰也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是共為一體、互為支撐的。教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)地鼓勵(lì)學(xué)生清晰、完整地表達(dá)，讓學(xué)生在有理有據(jù)的數(shù)學(xué)表達(dá)中，全方位地理解。

例如，第一學(xué)段教學(xué)“整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)”時(shí)，教師不僅要關(guān)注20×3的計(jì)算結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生思考的過程。學(xué)生可以利用已有經(jīng)驗(yàn)“20、40、60”數(shù)出來，也可以轉(zhuǎn)化成“20+20+20”加出來，還可以借助方塊學(xué)具推算出來。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生多元化表征自己的思維過程，鼓勵(lì)學(xué)生理解并表達(dá)“2個(gè)一乘3得6個(gè)一，2個(gè)十乘3得6個(gè)十”，體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系，感受計(jì)算本質(zhì)的一致性。

又如，第二學(xué)段教學(xué)“三角形的分類”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察比較，發(fā)現(xiàn)異同，用簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行概括表達(dá)。類似“直角三角形的另外兩個(gè)角一定是銳角嗎？”“一個(gè)三角形中可能有2個(gè)直角嗎？”這樣的問題，學(xué)生的回答不能僅僅停留在“一定”“不一定”或“可能”“不可能”上，教師要給學(xué)生充分交流表達(dá)的時(shí)間。學(xué)生可以結(jié)合三角形的內(nèi)角和是180°，將前后知識(shí)貫通起來進(jìn)行有理有據(jù)的解釋，抑或結(jié)合畫圖、操作學(xué)具等方式形象直觀地加以說明。在交流表達(dá)的過程中，學(xué)生深入理解知識(shí)本質(zhì)，發(fā)展推理意識(shí)。

再如，第三學(xué)段教學(xué)“比的基本性質(zhì)”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材中的具體例子進(jìn)行清晰的表達(dá)，如“比的前項(xiàng)乘4，后項(xiàng)也乘4，比值不變”“比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘10，比值不變”等。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生勾連已經(jīng)學(xué)過的“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“商不變的規(guī)律”，用語(yǔ)言表達(dá)學(xué)過的知識(shí)，并說清前后知識(shí)之間的聯(lián)系。最后，順?biāo)浦鄣馗爬w納出“比的基本性質(zhì)”。整個(gè)學(xué)習(xí)過程，在螺旋上升、準(zhǔn)確合理的表達(dá)中水到渠成，在歸納推理和類比推理的交相呼應(yīng)中畫上句號(hào)。

推理是表達(dá)的前提，表達(dá)是推理的結(jié)果。在教學(xué)實(shí)踐中，數(shù)學(xué)表達(dá)有“說”和“寫”兩種，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生敢于表達(dá)、學(xué)會(huì)表達(dá)、善于表達(dá)，訓(xùn)練語(yǔ)言的準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)約性和邏輯性。同時(shí)，教師也要鼓勵(lì)學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)圖標(biāo)等方式，合乎情理地表達(dá)。在形式多樣的表達(dá)過程中，逐步發(fā)展推理意識(shí)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考。