熊佳　韋煜　袁曉亮

[摘要]導數(shù)的幾何意義的學習使學生從“形”的角度理解導數(shù)，是學生掌握導數(shù)概念的重要途徑．基于問題驅(qū)動教學理念，精心設計問題，使學生經(jīng)歷概念的形成過程，感受數(shù)學知識的“再創(chuàng)造”過程，最終理解導數(shù)的本質(zhì)，體會數(shù)形結合思想方法，培養(yǎng)思辨能力．

[關鍵詞]問題驅(qū)動；導數(shù)的幾何意義；核心素養(yǎng)

引言

問題是促進學科發(fā)展的原始動力，數(shù)學也不例外．美國數(shù)學史家M．Kline曾指出：每一個數(shù)學分支均是為攻克一類問題而發(fā)展起來的．《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：教學活動應該把握數(shù)學的本質(zhì)，創(chuàng)設合適的教學情境、提出合適的數(shù)學問題……教學情境包括：現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境……情境創(chuàng)設和問題設計要有利于發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)．這凸顯了問題與情境教學對數(shù)學教學的重要性．教師需要通過問題與情境引導學生經(jīng)歷知識的生成過程．揭示數(shù)學的本質(zhì)并學會思考．

問題驅(qū)動教學為高中數(shù)學教師踐行新教育理念、培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)、落實立德樹人根本任務提供了新思路．以問題驅(qū)動教學，讓學生在習得“四基”與“四能”的同時．學會“用數(shù)學眼光觀察世界．用數(shù)學思維思考世界．用數(shù)學語言表達世界”，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展．本文以“導數(shù)的幾何意義”為例，以數(shù)學知識為導向、以數(shù)學學科核心素養(yǎng)為引領，引發(fā)學生認知沖突．從動態(tài)的角度來研究曲線的切線，啟發(fā)學生獨立思考．以期培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，發(fā)展學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)．

“導數(shù)的幾何意義”是“一元函數(shù)的導數(shù)及其應用”中的重要組成部分．第1課時從“數(shù)”的角度．通過平均變化率逼近瞬時變化率抽象得到導數(shù)的概念，本節(jié)課則從“形”的角度進一步講解導數(shù)的概念，滲透數(shù)形結合思想方法，從已有經(jīng)驗來看，學生在九年級學習了圓的切線．知道直線與圓只有一個公共點時，這條直線叫做圓的切線；掌握了直線的點斜式方程，積累了一定的數(shù)學活動經(jīng)驗．具有一定的觀察能力和概括能力．從思維來看．學生先前根據(jù)公共點的個數(shù)認識到圓錐曲線和圓的切線的定義．而本節(jié)課則從“形”的角度來理解切線的概念——由割線逼近來定義切線，由此上升到新的思維層面．

教學過程設計

1.問題驅(qū)動，引出課題

問題1 在初中我們學習了圓的切線，你還記得是怎樣定義的嗎？

教師提問圓的切線的定義．學生回答后，課件呈現(xiàn)幾何圖形（如圖1所示）．通過回憶圓的切線的定義．引導學生將已學知識遷移到本節(jié)課的學習中．應用已學知識解決問題2．

問題2 求曲線f（x）=x-在點（1，1）處的切線方程．

大部分學生在解決問題2時思路清晰，但過點（1，1）還存在一條直線x=1．直線斜率不存在的情況是學生容易忽略的．因此．教師在講解過程中要滲透分類討論思想，經(jīng)計算，學生解出了兩條直線，由切線的唯一性可知，所得到的結果與事實不符合，但兩條直線都符合“與曲線只有一個交點”這一條件，“哪一條直線才是切線”會使學生感到很困惑．這時．教師不妨引導學生作圖來看看．片刻后．教師用PPT展示圖2．

通過圖象觀察．學生很快發(fā)現(xiàn)切線是y=2x-1，而x=1不是切線．當學生沉浸在喜悅中時．教師繼續(xù)追問學生．使學生在已有認知的基礎上產(chǎn)生新的沖突．促進新知的學習．

追問1 與曲線只有一個交點的直線一定是曲線的切線嗎？

學生有了問題2的求解經(jīng)歷．再來思考追問1就顯得很輕松，意識到通過曲線與直線的交點個數(shù)來判斷其是否為切線是有漏洞的，在教師的引導和追問下．學生又會產(chǎn)生新的疑惑：“該如何判斷切線？”“對于一般曲線的切線是如何定義的？”“該怎樣去找一般曲線的切線？”等等.

為了彌補學生在認知上的“缺口”．化解認知沖突，體驗知識的生成過程，教師引導學生先從圓的切線人手．通過GGB動畫演示（如圖3所示）．發(fā)現(xiàn)圓的切線繞著切點P0逆時針方向旋轉(zhuǎn)一點．直線與圓就會有兩個交點．圓的切線就變成了割線．

追問2 反過來．圓的割線運動會不會變成切線呢？

學生本能的反應是．割線運動到達某一個位置時就會變成切線．這時，借助信息技術繼續(xù)展示運動過程：當割線繞著點P0順時針方向旋轉(zhuǎn)，直到與圓只有一個交點P0時，割線就變成了切線．

追問3 對于圓這樣一種特殊的曲線．我們可以從動態(tài)的角度來研究它．對于一般的曲線是否也能用這樣的方法去研究呢？

從問題1到追問3．通過教師提問．一步步引導、啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，建構新的知識體系．讓學生親身經(jīng)歷數(shù)學知識的生成過程．揭示數(shù)學的本質(zhì)，培養(yǎng)邏輯推理能力．感受數(shù)學的美．

2．抽象概括，生成概念

同樣地，對于一般曲線y=f（x），我們?nèi)匀豢梢詮母罹€逼近得到切線．

問題3 設曲線y=f（x）的圖象如圖4所示，P0（x0，y0）為曲線上一點，在曲線上任意找一點P作割線P0P.在點P趨近于P0的過程中割線P0P的變化情況是怎樣的？

教師先讓學生自己作出點P趨勢近于P0的部分圖象（當點P無限接近P0時，學生感到作圖很困難），然后借助GGB動畫演示點P趨近于P0的運動過程．讓學生直觀感受割線如何逼近成切線．觀察動畫演示后．讓學生自己敘述點P趨近于P0的運動過程以及割線P0P的變化情況．

生1：我發(fā)現(xiàn)，當點P從P0右側趨近于P0時，割線P0P越來越接近在點P0處的切線，這和我作圖得到的結果是一樣的．

師：這位同學回答問題的思路很清晰，結合自己作圖的經(jīng)歷描述了點P趨近于P0的運動過程，非常好，其他同學有不同的觀點嗎？

生2：我和生1得到的結果是一樣的，但我作圖是從點P0的左側開始的，為了驗證我作圖時的猜想．我重點觀察點P從P0左側趨近于P0的運動過程，發(fā)現(xiàn)割線P0P也越來越接近在點P0處的切線．

師：這位同學的邏輯思維非?？b密．帶著問題觀察動畫演示．這樣的學習效率是很高的．兩位同學分別從點P0的左側和右側描述了點P運動過程中割線的變化情況．所以我們可以這樣定義曲線的切線：在曲線y=f（x）上任取一點P（x，f（x）），如果當點P（x，f（x））沿著曲線y=f（x）無限趨近于點P0（x0，f（x0））時，割線PoP無限趨近于一個確定的位置．這個確定位置的直線P0T稱為曲線y=f（x）在點P0處的切線.

追問4 在這里．我們從動態(tài)的角度來看．得到了曲線切線的定義．這只是給我們提供了一個判斷切線的方法．要求切線的方程還需要知道切線的斜率，該如何求切線的斜率呢？

學生很難想到在某點處的切線的斜率與該點處的導數(shù)值有關系，得到切線的定義后．馬上追問學生切線的斜率，學生又會產(chǎn)生新的困惑．追問4對學生的邏輯推理能力和數(shù)學思維的要求很高，在學生已有認知中沒有導數(shù)值與切線斜率之間的關系，對于學生來說，回答追問4有一定難度．在本節(jié)課，若教師能引導、啟發(fā)學生突破追問4．學生對導數(shù)概念的理解會有質(zhì)的飛躍．邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)也會得到提升．

在教學中，教師可以從切線生成的角度來啟發(fā)學生．切線是由割線無限趨近于一個確定的位置生成的．自然能夠得到當割線逼近切線時．割線的斜率就是切線的斜率．學生知道割線PoP的斜率可以用兩交點P，Po的坐標表示出來，即kppo=f（x）-f（x0）/x-x0有了前面的學習經(jīng)驗．學生不難得到當點P沿著曲線y=f（x）無限趨近于點Po時，即當△x=x-x0趨近于0時，割線P0P的斜率就趨近于切線P0T的斜率，引導學生回顧導數(shù)的定義，學生能夠發(fā)現(xiàn)某點處的瞬時變化率（導數(shù)）就是該點處的切線斜率．引導學生找到導數(shù)與切線斜率之間的關系后，由教師總結導數(shù)的幾何意義.

導數(shù)的幾何意義：y=f（x）在x=x0處的導數(shù)f'（x0）就是切線P0T的斜率k0，即k0=lim△x→0（f（x0+△x）-f（x0）/△x），切線方程為y-y0=f'（x0）（x-x0）.

學生容易接受從割線斜率逼近得到切線斜率的方法．利用類比思想將切線斜率和瞬時變化率聯(lián)系起來，進而得到導數(shù)的幾何意義．整個過程都在學生的認知范圍內(nèi)．知識間的過渡也自然順暢、一氣呵成．

3．數(shù)學應用．理解概念

問題4 求曲線f（x）=x2在點（1，1）處的切線方程，并描述曲線f（x）在x=-1，1，2，3的瞬時變化率.

以前學生是用傳統(tǒng)的直線與曲線的交點個數(shù)來判斷直線是否是曲線的切線．即聯(lián)立曲線與直線的方程．消去y，得到一個關于x的方程，令判別式△=0．解出斜率k．而這里要求學生用本節(jié)課所學的知識重新求解問題2．讓學生感受導數(shù)的工具性價值．對于導數(shù)掌握得較好的學生來說，用導數(shù)法求解會更方便直接．在描述四個點的瞬時變化率時，絕大部分學生都會想到先算出其導數(shù)值再進行描述，這時就順著學生的思路，引導學生了解導函數(shù)這個概念.

由于本節(jié)課的主題是導數(shù)的幾何意義．這時教師通過講解例題引導學生一起感受導數(shù)的幾何意義的應用．學生既能鞏固新學的知識．又能體會“以直代曲”的思想方法．培養(yǎng)學生數(shù)學運算、直觀想象等數(shù)學素養(yǎng).

設計說明

本節(jié)課涉及的知識有切線的定義、導數(shù)的幾何意義、導函數(shù)（簡稱導數(shù)）．知識間層層遞進，與導數(shù)的聯(lián)系密切．主要圍繞求曲線的切線這一問題展開，以問題串的形式啟發(fā)學生思考．有利于發(fā)展學生的高階思維．

本節(jié)課分為三個階段：

第一階段是引發(fā)認知沖突，先通過求解曲線的切線引發(fā)學生認知沖突．即讓學生感知利用“曲線與直線只有一個交點”來求解切線不適用于所有曲線；再通過曲線割線的運動．啟發(fā)學生從動態(tài)的角度來研究曲線切線的定義．

第二階段是化解認知沖突．通過割線運動逼近產(chǎn)生切線．得到一般曲線切線的定義，這解決了如何判斷直線是曲線的切線問題．由于割線運動產(chǎn)生切線，自然得到割線斜率逼近就是切線斜率．又割線斜率就是平均變化率．平均變化率逼近就是瞬時變化率（也叫導數(shù)），引導學生一步步推理得到導數(shù)的幾何意義．這解決了求曲線的切線斜率問題．

第三階段是重建知識體系．通過例題比較“聯(lián)立方程求解曲線的切線”和“用導數(shù)的幾何意義求解曲線的切線”兩種方法．體會導數(shù)的工具性價值．得到導函數(shù)的概念．滲透“以直代曲”的數(shù)學思想.

整堂課以學生為主體．學生已有的經(jīng)驗為中心．在學生認知上建立新的生長點，學生在解決問題的過程中獲得新知．重建知識體系，發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)．提高分析問題和解決問題的能力．

問題驅(qū)動式教學培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的教學思考

問題驅(qū)動式教學可以讓學生體會數(shù)學知識的形成過程，改變傳統(tǒng)教學中的單一性邏輯結構．創(chuàng)造多線性交融的教學結構．引領學生深度學習，從而發(fā)展“四基”“四能”，培養(yǎng)數(shù)學語言和數(shù)學思維．發(fā)展學生問題意識和質(zhì)疑精神．例如．在本節(jié)課的教學中，以學生的原有認知為基礎．引發(fā)學生認知沖突，建立更嚴謹?shù)闹R體系．本節(jié)課以圓的切線為起點．以問題驅(qū)動學生思考，獲得新知，這符合切線的產(chǎn)生歷史．將導數(shù)和切線的斜率聯(lián)系起來，符合微積分的發(fā)展歷史．以問題驅(qū)動教學，使學生感受到數(shù)學知識的生成是符合實際需求的，過渡自然順暢，因此．在備課時．教師要充分了解學生，找準學生的最近發(fā)展區(qū)；在教學中，教師要以學生的已有經(jīng)驗為基礎，通過不斷追問、啟發(fā)、引導，使學生學會獨立思考．

1．問題設計要以教學目標為出發(fā)點

問題設計首先應該服務于教學目標．教學目標是教學的出發(fā)點和歸宿．教學目標是否達成是評判一堂課的標準之一．在明確教學目標之前，要清楚新課標的具體要求．深刻理解教材、了解學生．本節(jié)課涉及的切線的概念和導數(shù)的幾何意義都非常抽象．教師明確好教學目標后，根據(jù)學生的整體情況精心設計問題．通過問題串、CCB動畫演示幫助學生突破思維瓶頸．由問題引領學生體會、體驗知識的生成過程，收獲活動基本經(jīng)驗，在最近發(fā)展區(qū)習得新知，培養(yǎng)學生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．

2．問題設計要立足知識的生成背景

問題源于情境．數(shù)學情境是含有相關數(shù)學知識和數(shù)學思想方法的情境，也可以是數(shù)學知識的生成背景．求曲線的切線問題是促使微積分產(chǎn)生的原因之一．切線的產(chǎn)生也是從圓的切線發(fā)展到一般曲線的切線，本節(jié)課從圓的切線引入，以動態(tài)的視角來探究切線的定義，符合數(shù)學知識的生成背景．根據(jù)學生的認知水平精心設計教學過程，符合數(shù)學知識發(fā)展的內(nèi)在邏輯聯(lián)系．在各個環(huán)節(jié)中滲透特殊與一般、數(shù)形結合、以直代曲等思想方法，使學生感受到數(shù)學知識的習得是水到渠成、一氣呵成的，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)．

基金項目：貴州省民族專項課題“‘三教理念下培養(yǎng)高中生數(shù)學核心素養(yǎng)案例研究”（MJ23040）．