周強(qiáng)

【摘要】數(shù)量關(guān)系與空間形式是數(shù)學(xué)的主要研究內(nèi)容，根據(jù)二者的轉(zhuǎn)換關(guān)系畫圖解題，可在一定程度上降低問題難度，達(dá)到活化思維，提高解題效率的目的.文章簡單介紹了畫圖法的內(nèi)涵，基于實(shí)際案例探討線段圖、格子圖、集合圖、面積圖在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧，應(yīng)用該方法指導(dǎo)學(xué)生解決小學(xué)數(shù)學(xué)難題，有利于發(fā)展其數(shù)學(xué)思維，提高其解題能力，為拓寬學(xué)生解題思路提供參考.

【關(guān)鍵詞】畫圖法；小學(xué)數(shù)學(xué)；解題；應(yīng)用

引 言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》倡導(dǎo)教師在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)量關(guān)系與空間形式，使其學(xué)會運(yùn)用畫圖等方法簡化、解決實(shí)際問題，形成應(yīng)用意識.小學(xué)數(shù)學(xué)問題可大致分為填空、選擇、計(jì)算、應(yīng)用等四大類，一些問題形式簡單，可通過直接套用數(shù)學(xué)公式求解.但另外一些問題較為復(fù)雜，需要借助線段圖、格子圖、集合圖等圖示表示其數(shù)量、邏輯關(guān)系，再進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)注意整理畫圖法解決不同類型數(shù)學(xué)問題的案例，從中提煉該方法的應(yīng)用技巧，并將其傳授給學(xué)生，由此發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、邏輯意識等核心素養(yǎng).

一、畫圖法概述

畫圖法是數(shù)學(xué)問題解決方法的一種，主要借助線段圖、示意圖、集合圖等圖示將抽象問題形象化，由此直觀呈現(xiàn)蘊(yùn)藏在問題之中的數(shù)量、邏輯關(guān)系，以便確定解題切入點(diǎn).其中，線段圖、示意圖等圖示以線段、格子、小棒等圖形為構(gòu)成要素，用于直觀體現(xiàn)問題中的數(shù)量關(guān)系，可用于引導(dǎo)學(xué)生由直觀思維過渡到抽象思維，使其形成抽象思考現(xiàn)實(shí)問題中數(shù)量關(guān)系的思維習(xí)慣.集合圖以Venn圖為主要形式，用于確定求值范圍、排除重疊答案等，對于培養(yǎng)學(xué)生的集合思維有著積極意義.

二、畫圖法在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧

（一）線段圖在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧

由線段、箭頭、數(shù)字符號等要素構(gòu)成的圖示被稱為線段圖.線段的長度是有限的，所以線段圖一般被用于表示有限的量.在數(shù)學(xué)解題中，可以用一條較長線段表示“和”，將組成“和”的各分量依次標(biāo)在該線段上，當(dāng)出現(xiàn)多種數(shù)量關(guān)系時(shí)，“和”的關(guān)系還可以用大括號來表示.以此類推，線段圖還可用于表示數(shù)學(xué)問題中數(shù)量的差、倍關(guān)系等.目前常用于小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的線段圖可大致分為單線分段圖、復(fù)式并列圖、變式線段圖等三類.應(yīng)用線段圖求解問題時(shí)，要借助線段的長短表示量的大小，并對應(yīng)標(biāo)上數(shù)據(jù).針對不同問題，應(yīng)靈活選用以上三類線段圖，確定標(biāo)準(zhǔn)量與比較量，在解決“比……多”的問題時(shí)，多的部分畫實(shí)線，在解決“比……少”的問題時(shí)，少的部分畫虛線，同時(shí)應(yīng)標(biāo)上數(shù)據(jù).

1.單線分段圖

單線分段圖即借助單條線段表示整體、部分量之間的關(guān)系的線段圖，常被用于小學(xué)低段數(shù)學(xué)運(yùn)算解題、中低段應(yīng)用題求解過程當(dāng)中.其應(yīng)用的基本步驟是：根據(jù)題意確定標(biāo)準(zhǔn)量（單位“1”），根據(jù)解題需要表示部分量，最后根據(jù)題目給出的信息、要求的信息進(jìn)行標(biāo)注，將文字問題轉(zhuǎn)化為識圖問題.以人教版二年級數(shù)學(xué)上冊“表內(nèi)乘法（一）”涉及的應(yīng)用題求解為例：

例1 小明與父母去果園摘桃子.他將摘到的桃子平均分成了4堆，3堆送給了他的好朋友們，留下一堆自己吃.小明留下自己吃的桃子有6個(gè)，他一共摘了多少個(gè)桃子？

解析 小明留下自己吃的桃子有6個(gè)，可將其作為切入點(diǎn)確定單位“1”，之后畫出單線分段圖（如圖1所示），表示問題的數(shù)量關(guān)系.

根據(jù)線段圖可以得出，小明將桃子平均分成了4堆，每堆6個(gè)桃子，可列式求出桃子總數(shù).解答過程為：6×4=24（個(gè)），小明一共摘了24個(gè)桃子.

2.復(fù)式并列圖

復(fù)式并列圖指的是用兩條或兩條以上的線段表示幾個(gè)并列量之間關(guān)系的線段圖，常被用于解決小學(xué)數(shù)學(xué)中復(fù)雜的應(yīng)用問題.其應(yīng)用基本步驟是：根據(jù)問題主干信息確定標(biāo)準(zhǔn)量，再根據(jù)解題需求畫出比較量，最后在線段圖中標(biāo)注所求問題，分析求解.以人教版六年級數(shù)學(xué)上冊“分?jǐn)?shù)乘法”涉及的應(yīng)用題求解為例：

3.變式線段圖

變式線段圖是在單線分段圖、復(fù)式并列圖基礎(chǔ)之上變形得到的線段圖，多被用于解決形式、內(nèi)容復(fù)雜的實(shí)際問題，如工程問題、相遇問題等.它的畫法靈活多變，需要根據(jù)問題的實(shí)際情況進(jìn)行繪制.以人教版三年級數(shù)學(xué)上冊“多位數(shù)乘一位數(shù)”涉及的相遇問題求解為例：

例3 卡車從A地駛向B地，轎車從B地駛向A地.二車在中途第一次相遇，相遇地距A地60千米.之后二車?yán)^續(xù)行駛.當(dāng)二車到達(dá)終點(diǎn)（A，B兩地）后立即返回，二車在中途第二次相遇，相遇地距B地30千米，那么A，B兩地距離是多少？

解析 如圖3所示，先畫出卡車、轎車第一次相遇點(diǎn).用虛線表示轎車行駛的路程，實(shí)線表示卡車行駛的路程.之后再畫出二車第二次相遇點(diǎn)，并標(biāo)注第二次相遇點(diǎn)距B地30千米的有效信息.

觀察圖示，兩輛車初次相遇時(shí)，卡車行駛了60千米；兩輛車二次相遇時(shí)，兩車共行駛了三個(gè)全程，則卡車共行駛了60×3=180（千米）.由圖可知，卡車共行駛了一個(gè)全程還多30千米，所以180-30所得的差即為A，B兩地的距離.具體解答過程為：60×3-30=150（千米），A，B兩地相距150千米.

（二）格子圖在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧

格子圖指的是借助方格等圖形語言清晰展現(xiàn)問題中數(shù)量關(guān)系的一類圖示，通常由方格、數(shù)字符號、文字信息三部分內(nèi)容構(gòu)成.格子圖具有直觀、簡潔的特征，可用于表示復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系，達(dá)到化簡難題的目的.應(yīng)用格子圖，應(yīng)先確定單位“1”，之后依據(jù)題意繪制方格，用數(shù)字進(jìn)行標(biāo)注.以人教版五年級數(shù)學(xué)上冊“小數(shù)除法”中的復(fù)雜問題求解為例：

例4 甲、乙、丙三人準(zhǔn)備了相同的錢購買氣球.乙手中的氣球比甲手中的氣球多6個(gè)，丙與乙手中的氣球數(shù)量相同，同時(shí)兩人各付給甲1.2元.那么，氣球的單價(jià)是多少？

解析 通常情況下，物品單價(jià)=總價(jià)÷數(shù)量.但這一問題并未直接給出氣球總數(shù)、購物總價(jià)，難以用常規(guī)思路求解.可考慮題目給出的已知信息，由“甲、乙、丙三人準(zhǔn)備了相同的錢購買氣球”可知，三人最初購買氣球的個(gè)數(shù)相同，由“丙與乙手中的氣球數(shù)量相同”可知，乙、丙比甲各多拿6個(gè)氣球.由此進(jìn)行逆向推理，如果乙、丙兩人各分給甲2個(gè)氣球，則甲、乙、丙三人的氣球數(shù)量相同，如圖4所示.

根據(jù)圖示回顧題目信息，乙、丙兩人各付給甲1.2元，反面證明了兩個(gè)氣球的總價(jià)為1.2元，由此可求出氣球單價(jià).具體解題過程為：1.2÷（6-6×2÷3）=1.2÷（6-4）=1.2÷2=0.6（元），每個(gè)氣球的售價(jià)為0.6元.

（三）集合圖在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧

集合圖指的是利用封閉曲線表示集合的圖.小學(xué)數(shù)學(xué)教科書（人教版）雖未給出過多說明，但其經(jīng)常出現(xiàn)于統(tǒng)計(jì)問題、重疊問題等問題的解決過程中.應(yīng)用此類圖示解決問題時(shí)，可在審題過程中對已知信息進(jìn)行分類，并應(yīng)用集合圖將分類結(jié)果展現(xiàn)出來，獲取問題結(jié)果.以人教版三年級數(shù)學(xué)上冊“倍的認(rèn)識”涉及的重疊問題解題為例：

例5 現(xiàn)有一張長為24厘米，寬為16厘米的長方形，將其分割成邊長是整數(shù)厘米的正方形，可以怎樣分割？正方形的邊長可以是多少厘米？

解析 將長為24厘米，寬為16厘米的長方形分割為正方形，那么正方形的邊長一定同時(shí)滿足“是24的因數(shù)”與“是16的因數(shù)”兩個(gè)條件.借助集合圖（如圖5所示），將可能的答案列舉出來：

觀察圖示，發(fā)現(xiàn)同時(shí)滿足兩項(xiàng)條件的數(shù)有1，2，4，8四個(gè)數(shù)，得到問題的答案：分割出的正方形邊長可能是1，2，4，8厘米.

（四）面積圖在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧

面積圖一般以長方形面積圖、正方形面積圖的形式出現(xiàn)，用于表示問題中整體、部分量的關(guān)系.

面積圖用于乘、除法運(yùn)算解題時(shí)，用于表示算式中的倍數(shù)關(guān)系、和差關(guān)系等.應(yīng)用面積圖解答計(jì)算題時(shí)，需要另辟蹊徑，先明確算式內(nèi)容確定單位“1”，繪制面積為具體數(shù)的圖形，再結(jié)合計(jì)算需要繪制面積為不同數(shù)的圖形，并對面積圖進(jìn)行疊加或分割處理，得到計(jì)算結(jié)果.以人教版五年級數(shù)學(xué)下冊“分?jǐn)?shù)的加法和減法”中涉及的計(jì)算解題為例：

結(jié) 語

畫圖法以數(shù)形結(jié)合思想為核心，利用線段圖、格子圖、集合圖、面積圖等圖示梳理數(shù)學(xué)問題的數(shù)量與邏輯關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜問題的簡化.教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到畫圖法的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)根據(jù)相遇問題、植樹問題等不同類型數(shù)學(xué)問題的特征、解題要求指導(dǎo)學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)膱D示分析、解決問題，促使學(xué)生在分析、討論、探究的過程中總結(jié)畫圖法的應(yīng)用技巧，形成快速解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵能力.

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