【編者按】 強調(diào)一致性，而不是“各講各的理”，從而讓不同的數(shù)學內(nèi)容形成整體，是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》修訂時的指導思想之一。比如，“數(shù)與代數(shù)”領域強調(diào)基于計數(shù)單位的數(shù)的概念的一致性和數(shù)的運算的一致性，“圖形與幾何”領域則強調(diào)基于度量單位的“數(shù)學度量的一致性”。本期《專題研究》欄目刊發(fā)3篇相關(guān)研究文章。

摘 要：“感悟數(shù)的概念的一致性”，是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》對“數(shù)的認識”教學提出的新要求。數(shù)概念的一致性源于構(gòu)建數(shù)概念的核心概念一致和數(shù)概念指向的核心素養(yǎng)一致。為幫助學生感悟數(shù)概念的一致性，教師需要整體分析“數(shù)的認識”內(nèi)容，凸顯計數(shù)單位的統(tǒng)領作用；引導學生充分經(jīng)歷數(shù)數(shù)和比較的過程，感受數(shù)是計數(shù)單位的累加，計數(shù)單位是數(shù)概念的共同本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：小學數(shù)學；課標修訂；數(shù)的認識；計數(shù)單位；一致性

強調(diào)“數(shù)的概念（本質(zhì)上）的一致性”和“數(shù)的運算（本質(zhì)上）的一致性”，是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）相對于《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》修訂的五個要點之一。［1］其中，數(shù)概念的一致性是數(shù)的運算的一致性的基礎。那么，在小學階段“數(shù)與代數(shù)”領域“數(shù)的認識”內(nèi)容（包括關(guān)于整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的認識的多個單元）的教學中，如何理解數(shù)概念的一致性？如何幫助學生感悟數(shù)概念的一致性？本文談一談筆者的思考與實踐。

一、如何理解數(shù)概念的一致性

（一）數(shù)概念的一致性源于構(gòu)建數(shù)概念的核心概念一致

新課標指出，小學階段“數(shù)的認識”的教學，要讓學生“在理解整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)意義的同時，理解整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)基于計數(shù)單位表達的一致性”［2］。從數(shù)概念的發(fā)展史看，記數(shù)制的發(fā)展過程就是計數(shù)單位的創(chuàng)造過程。［3］自然數(shù)是由“ 一（個）、十、百、千……”等計數(shù)單位累加得到的。首先由小到大“一個一個”地數(shù)（非進位制），接著“一組一組”地數(shù)（進位制），這個“一組”就是進位，是新的計數(shù)單位。分數(shù)和小數(shù)是數(shù)的認識的擴充。分數(shù)的擴充來自表達比1小的數(shù)量，需要對一個“整體”進行切割，將其中的“部分”用新的數(shù)表示。把1平均分成n份，其中的1份就是1/n，由此產(chǎn)生單位分數(shù)，把單位分數(shù)作為“分數(shù)單位”可以表達更多的分數(shù)。小數(shù)是特殊的分數(shù)，即分母是10、100、1000……的分數(shù)，同樣是表達小于1的數(shù)。小數(shù)的表達同自然數(shù)一樣，也是以十進制的方式用數(shù)位（計數(shù)單位）和數(shù)字表達。所以，分數(shù)和小數(shù)也是由計數(shù)單位累加產(chǎn)生的，只是它們的計數(shù)單位是“均分”得到的。由此可知，自然數(shù)、分數(shù)和小數(shù)都是對數(shù)量的抽象表達，雖然表達的意義不同，但是表達的方式一致，都是用“個數(shù)+計數(shù)單位”表示［4］，都是對計數(shù)單位多少的表達。也就是說，計數(shù)單位這個核心概念體現(xiàn)了數(shù)概念本質(zhì)上的一致性，能打通不同的數(shù)之間的聯(lián)系。

（二）數(shù)概念的一致性源于數(shù)概念指向的核心素養(yǎng)一致

新課標指出，小學階段“數(shù)的認識”的教學，要讓學生“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號意識”［5］。數(shù)是用抽象的符號表達數(shù)量。為了簡潔有效地記數(shù)，人類經(jīng)歷了漫長的過程。從實物符號到象形符號再到抽象符號，從許多符號到十個符號，記數(shù)符號的發(fā)展歷程就是人類記數(shù)活動的發(fā)展歷程。在認數(shù)過程中，學生不斷感悟符號具有的數(shù)學功能，理解符號表達的現(xiàn)實意義，感受抽象的數(shù)可以用來解釋各種各樣的具體的數(shù)量，培養(yǎng)符號意識。同時，數(shù)的抽象過程依賴現(xiàn)實的背景，是現(xiàn)實中數(shù)量的提取。無論自然數(shù)、分數(shù)還是小數(shù)，認識的過程都是先從現(xiàn)實背景中抽象，再脫離現(xiàn)實背景建立一般性的表達，最后應用于具體問題。在這樣的過程中，學生可以增強對數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系的直觀感悟，培養(yǎng)數(shù)感。以自然數(shù)為例，自然數(shù)概念教學雖然分布在第一、第二兩個學段，但是，都要讓學生通過學具，在豐富的認數(shù)活動中，充分感悟數(shù)與數(shù)量的關(guān)系，發(fā)展估計意識，形成主動理解數(shù)和自覺運用數(shù)的能力。當然，雖然不同學段數(shù)感培養(yǎng)的目標一致，但是，學生認知的特點不同，因而數(shù)感培養(yǎng)的側(cè)重點也略有不同。例如，第一學段“20以內(nèi)數(shù)的認識”側(cè)重于引導學生感悟數(shù)有基數(shù)和序數(shù)兩層含義，“100以內(nèi)數(shù)的認識”和“萬以內(nèi)數(shù)的認識”側(cè)重于讓學生感受位值制思想。第二學段“大數(shù)的認識”側(cè)重于讓學生感受數(shù)級和無限思想。由上可知，盡管數(shù)表達的意義不同，但是培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)目標一致，都要培養(yǎng)學生的數(shù)感和符號意識。

二、如何幫助學生感悟數(shù)概念的一致性

（一）整體分析“數(shù)的認識”內(nèi)容，凸顯計數(shù)單位的統(tǒng)領作用

根據(jù)上述對數(shù)概念一致性的認識，幫助學生感悟數(shù)概念的一致性，關(guān)鍵是帶領學生體驗計數(shù)單位在數(shù)概念建構(gòu)中的統(tǒng)領作用，感悟不同的數(shù)都是對計數(shù)單位多少的表達（從中學生能夠深度理解數(shù)概念，發(fā)展數(shù)感、符號意識和推理能力）。因此，教師需要整體分析“數(shù)的認識”內(nèi)容，從而在各個單元的教學中，凸顯計數(shù)單位的統(tǒng)領作用。

以蘇教版小學數(shù)學五年級上冊《小數(shù)的意義和性質(zhì)》單元為例。小數(shù)與整數(shù)的計數(shù)方法都是十進制計數(shù)法，不同計數(shù)單位的累加和均分就構(gòu)成了全部的整數(shù)和小數(shù)（如圖1所示），因此，十進制與計數(shù)單位是本單元所涉及的核心概念。教學中，可以十進制、計數(shù)單位為核心統(tǒng)領本單元內(nèi)容（如圖2所示），從而幫助學生在深刻理解小數(shù)意義的同時感悟數(shù)概念的一致性。

實際上，基于整體分析，教學現(xiàn)行蘇教版小學數(shù)學教材中“數(shù)的認識”相關(guān)單元時，都應該設計一些凸顯計數(shù)單位統(tǒng)領作用的教學活動。具體如下頁表1所示。

（二） 充分經(jīng)歷數(shù)數(shù)的過程，感受數(shù)是計數(shù)單位的累加

數(shù)（ｓｈù）源于數(shù)（ｓｈǔ）。數(shù)數(shù)是基于計數(shù)單位進行的，可以讓學生充分感受到數(shù)是計數(shù)單位的累加。教學中，教師要遵循學生的認知特點，選擇合適的學習素材，組織豐富的數(shù)數(shù)活動，引導學生充分經(jīng)歷數(shù)數(shù)的過程。

第一學段，可以從生活素材出發(fā)，重視自然數(shù)的基數(shù)和序數(shù)含義。例如， “認識11”的教學，可以先設計“數(shù)一堆無序擺放的小棒”活動，讓學生理解11是11個一累加而得的；再把10個1根捆成一捆，讓學生認識1個十，理解11還可以看成由1個十和1個一累加而得。

再從生活素材逐漸走向數(shù)學的結(jié)構(gòu)化素材，凸顯位值制思想。例如，“認識萬以內(nèi)的數(shù)”的教學，可以設計撥珠子的活動，讓學生在計數(shù)器上先撥出2688，說出數(shù)的組成，再選一個數(shù)位撥兩顆珠子，寫出這個數(shù)，并說出它的組成。設計撥珠子的活動，是為了讓學生用不同的計數(shù)單位數(shù)數(shù)。兩顆珠子撥在個位，是計數(shù)單位“一”的累加；撥在十位，是計數(shù)單位“十”的累加……學生體會到數(shù)是由計數(shù)單位累加得到的，相同數(shù)量的珠子在不同的數(shù)位上表示的含義是不同的，進一步認識位值制和十進制。

最后可以創(chuàng)造無固定結(jié)構(gòu)的素材，讓學生以經(jīng)驗為媒介，通過類比推理開展隱形的數(shù)數(shù)活動。例如，給出3個蘋果、4根香蕉、2個橘子、6個梨、1個草莓的圖片，告訴學生“它表示300400261”，讓學生再添加3個相同的水果，按規(guī)律寫一寫得到的數(shù)，并說一說是怎樣數(shù)的。用水果代替數(shù)位順序表，引導學生觀察、推理、讀數(shù)、寫數(shù)，體會計數(shù)單位的變化，進一步感受數(shù)是由計數(shù)單位累加而得的。

（三）充分經(jīng)歷比較的過程，感受計數(shù)單位是數(shù)概念的共同本質(zhì)

通過不同數(shù)知識之間的比較，能進一步幫助學生發(fā)現(xiàn)計數(shù)單位是數(shù)概念的共同本質(zhì)。

在新授課中，可以安排溝通比較的活動，讓學生充分感受數(shù)概念之間的聯(lián)系。例如，在“小數(shù)的初步認識”教學的回顧環(huán)節(jié)，可以引導學生從“1”出發(fā)，不斷平均分成10份，產(chǎn)生0.1、0.01、0.001……從而建立小數(shù)部分的計數(shù)單位體系；接著引導學生反向思考，從0.001出發(fā)，發(fā)現(xiàn)10個0.001是0.01，10個0.01是0.1，10個0.1是1，10個1是10……

進一步感知不管是整數(shù)部分還是小數(shù)部分，相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是十。由此，從整數(shù)系擴充至有理數(shù)系，為后續(xù)小數(shù)的進一步研究積累認知經(jīng)驗。

在單元復習課或總復習課中，應該安排更為豐富的溝通比較活動，引領學生發(fā)現(xiàn)數(shù)概念的共同本質(zhì)，實現(xiàn)數(shù)知識的融會貫通。例如，在六年級“數(shù)的認識”總復習中，可給出生活中的一些數(shù)，如6、1、0.5、45、-1、862，并出示

一條直線，讓學生想一想：要在這條直線上找出這些數(shù)，先確定誰的位置？為什么？確定好0、1、-1的位置后，再讓學生說一說：怎樣在這條直線上找出6的位置呢？得出方法：數(shù)出6個這樣的一格就得到6的位置。得到結(jié)論：6是6個一的累加。依次類推：862是862個一的累加，可以寫成862=862×1。同時說明：“1”很關(guān)鍵。將“1”不斷地累加（一個一個地數(shù)），滿十進一，產(chǎn)生了新的計數(shù)單位“十”，10個一就是1個十；再將“十”不斷地累加（十個十個地數(shù)），滿十再進一，產(chǎn)生了新的計數(shù)單位“百”，10個十就是一個百……有了計數(shù)單位，862還可以用8個百、6個十和2個一來表示，寫成算式862=8×100+6×10+2×1，其中100、10、1是計數(shù)單位，8、6、2是計數(shù)單位的個數(shù)。由此可知：整數(shù)就是計數(shù)單位的累加。再研究小數(shù)與分數(shù)，0.5=5×0.1，是5個0.1的累加；45=4×15，是4個15的累加。由此得出：整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)在表達形式上有一致性，都是計數(shù)單位的累加。

參考文獻：

［1］ 史寧中.數(shù)學課程標準修訂與核心素養(yǎng)［J］.教育研究與評論，2022（5）：2122.

［2］［5］ 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：85，18.

［3］ 鞏子坤，史寧中，張丹.義務教育數(shù)學課程標準修訂的新視角：數(shù)的概念與運算的一致性［J］.課程·教材·教法，2022（6）：46.

［4］ 史寧中，曹一鳴.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：132.

*本文系江蘇省2023年度教師發(fā)展研究重點課題“育人方式變革視域下的小學數(shù)學‘五育融合’研究”（編號：jsfzc15）的階段性研究成果。