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      在體驗(yàn)中思考的數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐

      2013-07-29 05:05:56段文山
      新課程學(xué)習(xí)·中 2013年5期
      關(guān)鍵詞:體驗(yàn)思考實(shí)踐

      段文山

      摘 要:新課標(biāo)倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的課堂教學(xué)實(shí)踐,動(dòng)手操作的體驗(yàn)課堂隨處可見(jiàn),然而,怎樣的體驗(yàn)課堂才能創(chuàng)造出一個(gè)個(gè)驚喜呢?通過(guò)動(dòng)手操作,使學(xué)生獲得的不僅是知識(shí)與技能,更是一種認(rèn)識(shí)事物的方式,一種超越現(xiàn)象認(rèn)識(shí)隱藏于背后的本質(zhì)的追求.嘗試:“在實(shí)踐中體驗(yàn),在體驗(yàn)中思考,在思考中感悟,在感悟中創(chuàng)新”的數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐,取得了較好的教學(xué)效果.

      關(guān)鍵詞:實(shí)踐;體驗(yàn);思考;創(chuàng)新

      一、“操作”中體驗(yàn)

      陶行知先生說(shuō):“要解放孩子的頭腦、雙手、腳、空間、時(shí)間,使他們充分得到自由的生活,從自由的生活中得到真正的教育.”勇于探索,放手讓學(xué)生去“做”,已成為廣大教師的共識(shí),但如何“做”,為什么這么“做”,是否“做”得更好等諸多問(wèn)題卻仍然困擾著我們.我嘗試讓學(xué)生盡量在真實(shí)的活動(dòng)中獲得體驗(yàn),由表及里地審視數(shù)學(xué)知識(shí),再現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程.

      案例Ⅰ“橢圓概念”的認(rèn)識(shí)

      師:“嫦娥奔月”,國(guó)人振奮.展示“嫦娥二號(hào)”探月的圖片,并提問(wèn):“嫦娥二號(hào)”運(yùn)行的軌道是什么形狀?

      生:橢圓!

      師:同學(xué)們借助身邊可供操作的素材,嘗試著畫一個(gè)橢圓,邊思考橢圓是怎樣畫成的?

      生:積極思考,合作探究,有的用圓規(guī)、有的用???,有的用小型膠帶(學(xué)生用品),有的徒手畫,有的借助畫圖板……10秒后,不少同學(xué)成功地畫出了橢圓,極少數(shù)同學(xué)仍在嘗試.

      師:有哪位同學(xué)能在黑板上展示一下畫橢圓的過(guò)程嗎?

      生1:用一條繩子(無(wú)彈性)對(duì)折,一端用左手按住,另一端系一支粉筆,把繩子拉直,將粉筆旋轉(zhuǎn)一圈,松手一望,喲,怎么還是圓呢?

      生2:將對(duì)折后繩子的兩個(gè)端點(diǎn)稍分開(kāi),分別用兩個(gè)指頭按住,中間再用粉筆畫.

      師:按照這位同學(xué)的思路在黑板上畫圖,故意將繩子變松,畫出圖:學(xué)生們笑了.

      生3:您畫的是“怪蛋”,圓不圓,扁不扁.

      生4:繩子沒(méi)拉緊.

      師:機(jī)智地捕捉到這一關(guān)鍵思路.問(wèn):繩子沒(méi)拉緊就畫成“怪蛋?”學(xué)生陷入思考……

      生5:(急于表現(xiàn))繩子拉緊了就是橢圓,就在黑板上畫出一個(gè)橢圓.

      生6:我知道了,拉緊了就能使叉開(kāi)的距離之和等于繩子的長(zhǎng)度,保持不變,剛才老師畫的時(shí)候繩子松了一下,叉開(kāi)的距離之和就變了,所以畫出的圖形就不是橢圓.

      師:太棒了!誰(shuí)能給出橢圓的定義?

      生7:到兩點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.

      師:到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡一定是橢圓

      嗎?同時(shí)將兩定點(diǎn)的距離拉開(kāi),再畫一個(gè)橢圓.

      生8:扁了.

      師:繩子的長(zhǎng)度一定,兩定點(diǎn)距離越來(lái)越大,橢圓越來(lái)越扁,照這樣“扁”下去,后果會(huì)怎樣?

      生9:壓扁成一條線段,叉不開(kāi)了.

      生10:到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)(大于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.

      師:再次演示,將粉筆一端拉緊繩子,但離開(kāi)黑板畫,學(xué)生會(huì)意.

      生11:應(yīng)加上“在平面內(nèi)”,要不然就成雞蛋了.(掌聲響起……)

      評(píng)注:通過(guò)操作,使學(xué)生從具體形象思維逐步向抽象邏輯思維過(guò)渡,學(xué)生獲得了大量的感性材料,從而加深了對(duì)橢圓概念的深層次領(lǐng)悟.

      二、“體驗(yàn)”中思考

      真正的思維起源于某種疑惑、迷亂或懷疑.思維的發(fā)生不是依據(jù)普遍的原則,而是由某種事物作為誘因發(fā)生的.以動(dòng)手操作誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考,可以巧妙地把以數(shù)學(xué)思維為核心的腦部活動(dòng)和動(dòng)手操作有機(jī)結(jié)合,引導(dǎo)學(xué)生在一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累經(jīng)驗(yàn),提升觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理、概括等能力.

      案例Ⅱ“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”

      課前準(zhǔn)備:將班上同學(xué)分成9組,每組5~6人,每個(gè)小組分發(fā)大小相同的硬紙片,上面都寫著1.這足以引起同學(xué)們疑惑……

      師:同學(xué)們,還記得前面了解過(guò)的古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的浪漫沙灘之旅嗎?今天我們重溫當(dāng)時(shí)的場(chǎng)景,請(qǐng)同學(xué)們借助硬紙片將它完成.

      生:(釋惑)哦!原來(lái)要我們玩.

      學(xué)生很快就擺出圖形,如圖1、如圖2.

      師:如圖3,第100個(gè)圖案中擺了幾塊硬紙片?

      生:圖3中前幾個(gè)圖案中還可以數(shù),越往后的圖案所需片數(shù)越多,擺到第100個(gè)圖案,紙片是肯定不夠的.

      評(píng)注:紙片數(shù)不夠,這一矛盾引起學(xué)生的認(rèn)知沖突,學(xué)生在做中體驗(yàn),要體驗(yàn)中不約而同地遇到了困惑,有困惑就有思考,有思考就會(huì)有感悟,運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“再創(chuàng)造”理論,調(diào)動(dòng)學(xué)生原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中真正“做”數(shù)學(xué).

      精彩還在繼續(xù)……

      生1:不如將其他組的硬紙片都拿過(guò)來(lái)(急中生智).

      生2:恐怕不行,要是擺到第1000個(gè)圖案呢?太麻煩了吧.

      師:就是嘛,要請(qǐng)你擺到第2013個(gè)圖案,也這樣一個(gè)一個(gè)地?cái)[嗎?

      評(píng)注:疑問(wèn)再次激起同學(xué)們探究的欲望,剛剛建立起來(lái)的認(rèn)知平衡,被無(wú)情的事實(shí)擊倒了,迫使他們?cè)谑煜ざ志唧w的問(wèn)題情境中,主動(dòng)地尋求解決問(wèn)題的方法.

      到底該怎么辦?

      通過(guò)實(shí)驗(yàn)、操作、討論、交流,從用硬紙片去擺,n比較大時(shí),擺第n個(gè)圖案的紙片不夠,使學(xué)生對(duì)三角形數(shù)由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí).

      生3:有了?。?dòng))第n個(gè)圖案的紙片數(shù)為1+2+3+…+n,即將每一行的片數(shù)加在一起.

      師:很好.那么數(shù)列1,2,3,…,n是什么數(shù)列?

      生:等差數(shù)列.

      師:這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容:“等差數(shù)列前n項(xiàng)和.”

      (出示課題)1+2+3+…+n=?

      生4:在旁邊再擺一個(gè)一樣的倒著放的圖案,這樣每一行的紙片塊數(shù)相同,如圖3,這樣就可求1+2+3+…+n=.

      師:太妙了!將一個(gè)三角形圖案順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后的圖案與原圖案拼成一個(gè)平行四邊形狀,再求和,這種數(shù)列求和的方法叫做“例序相加法”.

      生5:那正方形數(shù)也可以這樣求,先將它分割為如圖4,再由圖5可得:1+3+5+…+(2n-1)==n2.

      師:太棒了!

      下面就一般等差數(shù)列an求前n項(xiàng)和.

      評(píng)注:由“經(jīng)歷”到“經(jīng)驗(yàn)”非常重要的是思維和情感的真正參與,把操作活動(dòng)變成學(xué)生的自覺(jué)行為,同時(shí)將知識(shí)和思想方法進(jìn)行內(nèi)化,由此誕生真正的數(shù)學(xué)思想.

      三、“思考”中創(chuàng)新

      所謂“多思必有所得”,教師創(chuàng)設(shè)一個(gè)個(gè)極具思考價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng),使學(xué)生時(shí)而沉默思考,時(shí)而大膽探索,在有限的時(shí)間內(nèi),再現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程,完全陶醉在“好玩”的魅力課堂之中,枯燥的數(shù)學(xué)就變得妙趣橫生.

      案例Ⅲ 數(shù)列求和

      師:今天我們繼續(xù)玩紙片.

      在圖3中,現(xiàn)將第1個(gè)圖案堆在第2個(gè)圖案上,再堆到第3個(gè)圖案上,然后堆到第4個(gè)圖案上,…,如此堆下去,堆成一個(gè)“塔”狀,如圖6是一個(gè)三層塔.請(qǐng)問(wèn)堆一個(gè)這樣的n層塔共需多少個(gè)紙片?

      學(xué)生動(dòng)手……

      生1:在上節(jié)課中,求第n個(gè)圖案中所需紙片數(shù)時(shí),按行計(jì)算,即1+2+3+…+n,現(xiàn)在就應(yīng)該按層計(jì)算,第n層所需紙片數(shù)為1+2+3+…+n,因此n層塔所需紙片數(shù)為1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n)=1+3+6+…+.

      師:這是等差數(shù)列求和嗎?

      生:不是.

      生2:但我們發(fā)現(xiàn)從第2項(xiàng)起,后一項(xiàng)減前一項(xiàng)得到的數(shù)列:2,3,4,…,是一個(gè)等差數(shù)列.

      師:這一發(fā)現(xiàn)太重要了,能用一個(gè)關(guān)系式表示嗎?

      生2:我們?cè)囋嚒?/p>

      生3:我行!a1=1

      an-an-1=n(n>1)

      師:精彩!根據(jù)第n層所堆紙片數(shù)=,其他各層的片數(shù)是不是也可以寫成這個(gè)形式?

      生:Sn=1+3+6+…+=+++…+.

      師:很好!前面我們已經(jīng)會(huì)求等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,這類和怎么求呢?

      根據(jù)加法的交換律,有:Sn=+++…+=

      (1+2+2+…+n)+(12+22+32+…+n2).

      我們稱這種數(shù)列求和的方法為“分組法”,這里:12+22+32+…+n2=

      于是Sn=·+·=.

      老師還沒(méi)說(shuō)完,學(xué)生就有話說(shuō).

      生:12+22+32+…+n2=怎么來(lái)的?講一下吧.

      評(píng)注:當(dāng)操作與思維情感聯(lián)系起來(lái)時(shí),操作便成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的源泉.“分組法”容易理解,為什么突然“冒出”12+22+32

      +…+n2=呢?如果老師只告訴學(xué)生,課本第58頁(yè)給出了這個(gè)公式,學(xué)生課后自己上網(wǎng)去了解它的推導(dǎo),這樣未嘗不可,但卻沒(méi)能把學(xué)生的思考引向深入.

      師:這個(gè)問(wèn)題還真令老師措手不及,不過(guò),我想到了前面了解過(guò)的正方形數(shù),我們是不是將圖4中各個(gè)圖案中的紙片也像剛才那樣操作,壘成一個(gè)“塔”……

      生:壘一個(gè)n層塔所需紙片數(shù)為12+22+32+…+n2.(太神了?。?/p>

      師:求1+2+3+…+n時(shí),用的是“倒序相加”法,即將1,2,3,…, 擺成一個(gè)三角形,然后順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到一個(gè)倒放的三角形,兩者拼成一個(gè)平行四邊形再求和,這種思維對(duì)于求12+22+32+…+n2的和是否會(huì)有啟發(fā)呢?

      生:嘗試、討論、合作、交流……

      師:要擺成三角形狀,要將所有數(shù)都擺完.

      生:可是紙片中只有1,哪能得到n?

      師:那我們就在紙片背面分別標(biāo)上數(shù)字:1,2,3,4,…,怎么樣?

      評(píng)注:數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō):“一個(gè)涌上腦際的念頭,倘若毫無(wú)困難地通過(guò)一些明顯的行動(dòng)就達(dá)到了所求的目標(biāo),那就不會(huì)產(chǎn)生問(wèn)題.然而,倘若我想不出這樣明顯的行動(dòng)來(lái),那就產(chǎn)生了問(wèn)題.那就意味著要去找出適當(dāng)?shù)男袆?dòng),去達(dá)到一個(gè)可見(jiàn)而不即時(shí)可及的目的.”“紙片只標(biāo)有1,那就在背面再標(biāo)數(shù)字!”新知識(shí)在學(xué)生的體驗(yàn)中自然而然產(chǎn)生.

      實(shí)踐證明,在體驗(yàn)中思考的數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐是受學(xué)生歡迎的,在體驗(yàn)中探究的形式進(jìn)行教學(xué),使學(xué)生“動(dòng)”起來(lái)了、使數(shù)學(xué)課“活”起來(lái)了、學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也提高了.這不僅培養(yǎng)了學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,也培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)探究和團(tuán)結(jié)合作的精神.

      參考文獻(xiàn):

      [1]潘建國(guó).在體驗(yàn)中“做”數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)通報(bào),2006(5):35.

      [2]沈金興.數(shù)學(xué)文化,課堂有你更精彩.數(shù)學(xué)通報(bào),2009(4):32.

      (作者單位 廣東省中山市東區(qū)中學(xué))

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