王斌

【摘要】知識經(jīng)濟(jì)時(shí)代，人才的標(biāo)準(zhǔn)不但要求知識淵博，而且要求具備創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，能全面考查學(xué)生對數(shù)學(xué)符號語言的理解和接受能力，以及對一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識，從而對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，有著十分重要的作用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）04-0135-01

創(chuàng)新的基礎(chǔ)是創(chuàng)造性思維能力，課堂教學(xué)是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力的主渠道，創(chuàng)新要從課堂上抓起。思維的獨(dú)特性、靈活性、求異性、綜合性是創(chuàng)新思維的重要特點(diǎn)，應(yīng)把“四性”教學(xué)滲透到每一個(gè)教學(xué)內(nèi)容之中，筆者以函數(shù)教學(xué)內(nèi)容為例，淺析如何在課堂教學(xué)中激勵學(xué)生的創(chuàng)造意識。

1.弄清值域概念，培養(yǎng)思維的獨(dú)特性

思維的獨(dú)特性是具有創(chuàng)造性才能的人最重要的思維品質(zhì)，獨(dú)特性反映了思維的深度及對本質(zhì)特征的把握程度，只有觸及事物的本質(zhì)，才能在學(xué)習(xí)和工作中“獨(dú)辟蹊徑”、“棋高一著”。為了培養(yǎng)學(xué)生這種能力，教學(xué)中設(shè)計(jì)了下列兩道練習(xí)題。

例1.已知f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，且f(x)在x＝a處取得最小值A(chǔ)，在x＝b處取得最大值B，試求y＝f(x)在[a，b]上的值域。

例2.求f(x)＝■的值域。

例1是無法求值域的；在求解過程中沒有學(xué)生對題目提出異議，沒有獨(dú)特的見解，有的同學(xué)誤將答案寫為[a，b]。

例2正確答案為[-■，0) ∪(0，■]，但有的學(xué)生將y＝■化簡成y＝■sin2x從而得出值域?yàn)閇-■，■]忽視了定義域 {x|x＝■kπ， k∈z}的制約。

值域是函數(shù)三要素之一，初等函數(shù)的特殊性，給學(xué)生造成了這樣一種認(rèn)識：若函數(shù)的值域?yàn)閇m，M]，則函數(shù)的最大值、最小值分別為M和m；若函數(shù)的最小值為m，最大值為M，則其值域?yàn)閇m，M]，實(shí)際上前一種認(rèn)識是正確的，后一種認(rèn)識是錯(cuò)誤的。函數(shù)的性質(zhì),直接受定義域制約。函數(shù)的三要素定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系三者之間是相互滲透、相互依賴的，教學(xué)中多設(shè)幾個(gè)特例，揭示這三者之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)區(qū)別，有利于獨(dú)特性思維的發(fā)展。

2.多方求函數(shù)的值，培養(yǎng)思維的靈活性

創(chuàng)造性思維強(qiáng)調(diào)根據(jù)不同的對象和條件，具體情況、具體對待，靈活應(yīng)用，反對一成不變的模式。求函數(shù)值的方法是豐富多彩的，為了培養(yǎng)學(xué)生靈活求函數(shù)值的方法，要求學(xué)生計(jì)算下面兩道習(xí)題。

例3.已知f(x) ＝4x-4x+1(x≥0)，求f-1(0)；

例4.已知f(x)＝asin3+x3+1，且f(■)＝4+■，求f(-■)的值；

解題時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)不同的解法。

例3解法： 方法①應(yīng)通過原函數(shù)與反函數(shù)的可逆性，將求f-1(0)轉(zhuǎn)化為求方程f(x)＝0的解。方法②有的學(xué)生不惜通過繁瑣的計(jì)算，先求出y＝f-1(x),進(jìn)而求f-1(0)的值。

例4解法：方法①應(yīng)通過函數(shù)的奇偶性，g(x) ＝f(x)-1，利用g(x)是奇函數(shù)這一性質(zhì)求解最為方便。 方法②通過f(■)＝4+■解出a的值，以確定f(x)的表達(dá)式，再將x＝-■代入，求出f(-■)的值。

通過比較，教師指出解例3時(shí)，通過函數(shù)解析式y(tǒng)＝f(x)計(jì)算出與x對應(yīng)的函數(shù)值y，這是常見的思路，初、高中課本中有大量這類題型，導(dǎo)致學(xué)生思維的單一性，解法繁瑣。方法①則靈活、便捷。解例4時(shí)，方法①掌握了g(x)是奇函數(shù)這一性質(zhì)，用逆向思維的方法解決，比方法②高明得多。通過這兩個(gè)例題的教學(xué)使學(xué)生懂得解題或處理問題時(shí)要變通，要實(shí)事求是，不要拘泥于教條和模式。

3.深入理解定義域，學(xué)會求異思維

創(chuàng)造性思維是對已知知識的重新組合，目的是獲得新的思維成果。深入理解函數(shù)定義域，有助于發(fā)展學(xué)生的求異思維。定義域一般分為三種類型；使解析式有意義的自變量的取值范圍稱為自然型；使實(shí)際問題或幾何問題有意義的自變量的取值范圍稱為實(shí)際型；人為限制給定的自變量的取值范圍稱為限制型。為了加深對定義域的理解，求解下面幾個(gè)例題。

例5.已知f(x) ＝log(x+a)，其中a∈R，若x∈[2，+∞]時(shí)，f(x)有意義，求a的取值范圍。

例6.已知f(x) ＝x3-2x十3的值域?yàn)閇2，3]，試說明該函數(shù)的定義域[0，a]所應(yīng)滿足的條件。

解例5時(shí)，不少學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為a＝-2； 正確解法是：由條件[2，+∞]應(yīng)該是定義域的子集，由[2，+∞] ∪[-a，+∞]可得a∈[-2，+∞]。

解例6時(shí)，不少學(xué)生錯(cuò)誤地得定義域?yàn)閇0，1]或[0，2]。正確的答案為[0，2]，其中1≤a≤2。

解例5時(shí)，由于受教材內(nèi)容的影響，教材中求定義域的大多數(shù)是自然型的，即使得式子有意義的x的取值范圍，致使學(xué)生誤認(rèn)為給出的f(x)有意義的取值范圍便是定義域，事實(shí)上給出的f(x)有意義的x的集合，應(yīng)該是定義域的子集。

解例6反映出學(xué)生由值域?qū)С龆x域會感到束手無策，在函數(shù)教學(xué)中，正用概念、公式、得到了高度重視，但由于數(shù)學(xué)概念的定義項(xiàng)與被定義項(xiàng)之間往往存在著等價(jià)關(guān)系，忽視了知識的雙向性，重視了常規(guī)方法，不會異向思維，通過這兩例題的教學(xué)，有利于糾正這一思維傾向。

4.通過解抽象函數(shù)問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的綜合性

創(chuàng)造性思維是一種綜合性思維。創(chuàng)造就是重新組合，日本人提出“綜合就是創(chuàng)造”。可通過解下面抽象函數(shù)問題來培養(yǎng)學(xué)生綜合思維能力。

例7.是否存在函數(shù)f(x)，同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：

①f(x+y)+f(x-y)＝2f(x) cosy（x,y∈ R)

②f(0) ＝a，(a為常數(shù))

③f(■)＝b,(b為常數(shù))

解：條件①中x，y的任意性，隱含著x，y可以“換元”，又可以“賦值”，結(jié)合條件②和③，可構(gòu)造出函數(shù)方程組，求出函數(shù)表達(dá)式。

令x＝0，y＝t得：f(t)+f(-t)＝2acost(1)

令x＝■+t，y＝■得：f(π+t)+f(t)＝0(2)

令x＝■，y■+t得：f(π+t)+f(-t) ＝2bsint (3)

將(1)+(2)+(3)得：f(t)＝acost+bsint故存在f(x)＝acost+bsint符合題意。

函數(shù)思想、方法觀點(diǎn)，是中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法兩個(gè)分支之一，在初等數(shù)學(xué)中，函數(shù)問題可用方程觀點(diǎn)去解決。反之，亦然。當(dāng)然，學(xué)生的成長離不開教師的培育，只有教師不斷地為學(xué)生創(chuàng)造條件、正確地引導(dǎo)他們，就一定能激發(fā)學(xué)生的靈感，點(diǎn)燃學(xué)生創(chuàng)新意識的火花。