微分方程在流行病學(xué)方面的運用

摘 要：確定性模型是流行病數(shù)學(xué)模型中最基本、最重要的模型之一，對確定性模型中的兩個分支模型進行初步探討，旨在介紹微分方程在流行病學(xué)中的簡單運用。

關(guān)鍵詞：微分方程；流行??；運用

流行病的數(shù)學(xué)模型通常是描述疾病在其傳播過程中各種重要因素之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)方程，一般說來可分為“確定性模型”和“隨機性模型”，本文只探討“確定性模型”。

確定性模型的特點是在疾病流行過程中的每一時刻，發(fā)生的新病例數(shù)均為確定的數(shù)值，而且當(dāng)模型的初值一經(jīng)給定，整個流行過程的發(fā)展及結(jié)局就被確定。為了建立模型通常將人群分為感染類（即已被疾病感染的人群）、易感染類（即尚未被疾病感染的人群）及移除類（即患病死亡，痊愈或隔離的人群）等類別。在疾病傳播過程中，人群中的每個成員都會改變其流行病學(xué)狀態(tài)和類別，比如，一個易感染者受感染后變?yōu)楦腥菊?，或一個感染者因死亡或隔離轉(zhuǎn)入移除類。但是在確定的時刻，各個類別是互不相交的，即每個成員都歸屬于確定的一個類別，不能同時屬于兩類或更多的類。

一、無移除的簡單模型

無移除的模型是最簡單的流行病學(xué)模型，這種模型假定疾病是通過人群內(nèi)成員之間接觸而傳播，感染者不因死亡、痊愈或隔離而被移除，故所有的易感染者最終都將變?yōu)楦腥菊?。這種模型適用于有高度的傳染力，但尚未發(fā)展到死亡或需要隔離的疾病，如，某種上呼吸道感染。

為了建立這類流行病數(shù)學(xué)模型，我們對人群及流行病學(xué)狀態(tài)作如下假設(shè)：

1.在時刻t的易感染人數(shù)和感染人數(shù)分別為S和I；

2.人群是封閉的總?cè)藬?shù)為N，在這N個人中開始時只有一個感染者；

3.人群中各成員之間接觸是均勻的，易感染者轉(zhuǎn)為感染者的變化率與當(dāng)時易感染人數(shù)與感染人數(shù)的乘積成正比。

二、催化模型

上世紀(jì)50年代，科學(xué)家Muench將在化學(xué)反應(yīng)體系中的催化作用機理的思想應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，提出了一組流行病學(xué)催化模型。而且已被應(yīng)用于沙眼，乙型肝炎及血吸蟲病等流行病的描述。借以定量估計某種疾病在某一地區(qū)的“傳染力”，評價防治效果，以及檢驗疾病分布和流行特點的某些假設(shè)。

Muench的催化模型作如下假設(shè)：

1.在開始時（t=0），被研究的人群全為易感染者；

2.某病在該人群中的感染力（又稱傳染力）是恒定的。傳染力與環(huán)境、生物、社會及經(jīng)濟諸方面的因素有關(guān)，它可用單位人口在單位時間（通常為一年）內(nèi)的有效接觸數(shù)來衡量，而所謂有效接觸系指足以使易感染者發(fā)生感染的接觸；

3.感染某病后，可對在時間t被感染的比率y作出估計；

4.被研究的人群中，發(fā)生流動、死亡等因素可忽略不計。

下面介紹兩種催化模型：

（1）簡單催化模型

設(shè)開始時（t=0），人群中易感染者的總量為1，經(jīng)過時間t，感染的比率為y，則1-y為未感染的相對量。如果在單位時間內(nèi)每一個個體的有效接觸率為r，而且易感染者（陰性者）以恒定的傳染力r轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊撸栃哉撸┖?，感染不再轉(zhuǎn)變?yōu)殛幮?，即以如下形式表示：陰?在初始條件t=0，y=0時，解得y=1-e- r t

（2）可逆催化模型

在流行病學(xué)中，有時會遇到這種情況，一方面，人群以傳染力 轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊呋蛎庖哒撸R床癥狀為陽性；另一方面，免疫者或陽性者又以率b轉(zhuǎn)變?yōu)橐赘腥菊撸ɑ蜿幮哉撸?，并且他們又以率a轉(zhuǎn)為陽性者。

參考文獻：

[1]F.S.梅里特.工程技術(shù)常用數(shù)學(xué).北京：科學(xué)技術(shù)出版社，1976.

[2]北大數(shù)力系.常微分方程與無窮級數(shù).北京：人民教育出版社，1978.

[3]鄒國源.微分方程的應(yīng)用舉例：導(dǎo)彈打飛機.高等數(shù)學(xué)研究，1997（02）.

作者簡介：蔣長安，男，1954年12月出生，本科，研究方向：醫(yī)用數(shù)學(xué)。

摘 要：確定性模型是流行病數(shù)學(xué)模型中最基本、最重要的模型之一，對確定性模型中的兩個分支模型進行初步探討，旨在介紹微分方程在流行病學(xué)中的簡單運用。

關(guān)鍵詞：微分方程；流行?。贿\用

流行病的數(shù)學(xué)模型通常是描述疾病在其傳播過程中各種重要因素之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)方程，一般說來可分為“確定性模型”和“隨機性模型”，本文只探討“確定性模型”。

確定性模型的特點是在疾病流行過程中的每一時刻，發(fā)生的新病例數(shù)均為確定的數(shù)值，而且當(dāng)模型的初值一經(jīng)給定，整個流行過程的發(fā)展及結(jié)局就被確定。為了建立模型通常將人群分為感染類（即已被疾病感染的人群）、易感染類（即尚未被疾病感染的人群）及移除類（即患病死亡，痊愈或隔離的人群）等類別。在疾病傳播過程中，人群中的每個成員都會改變其流行病學(xué)狀態(tài)和類別，比如，一個易感染者受感染后變?yōu)楦腥菊?，或一個感染者因死亡或隔離轉(zhuǎn)入移除類。但是在確定的時刻，各個類別是互不相交的，即每個成員都歸屬于確定的一個類別，不能同時屬于兩類或更多的類。

一、無移除的簡單模型

無移除的模型是最簡單的流行病學(xué)模型，這種模型假定疾病是通過人群內(nèi)成員之間接觸而傳播，感染者不因死亡、痊愈或隔離而被移除，故所有的易感染者最終都將變?yōu)楦腥菊?。這種模型適用于有高度的傳染力，但尚未發(fā)展到死亡或需要隔離的疾病，如，某種上呼吸道感染。

為了建立這類流行病數(shù)學(xué)模型，我們對人群及流行病學(xué)狀態(tài)作如下假設(shè)：

1.在時刻t的易感染人數(shù)和感染人數(shù)分別為S和I；

2.人群是封閉的總?cè)藬?shù)為N，在這N個人中開始時只有一個感染者；

3.人群中各成員之間接觸是均勻的，易感染者轉(zhuǎn)為感染者的變化率與當(dāng)時易感染人數(shù)與感染人數(shù)的乘積成正比。

二、催化模型

上世紀(jì)50年代，科學(xué)家Muench將在化學(xué)反應(yīng)體系中的催化作用機理的思想應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，提出了一組流行病學(xué)催化模型。而且已被應(yīng)用于沙眼，乙型肝炎及血吸蟲病等流行病的描述。借以定量估計某種疾病在某一地區(qū)的“傳染力”，評價防治效果，以及檢驗疾病分布和流行特點的某些假設(shè)。

Muench的催化模型作如下假設(shè)：

1.在開始時（t=0），被研究的人群全為易感染者；

2.某病在該人群中的感染力（又稱傳染力）是恒定的。傳染力與環(huán)境、生物、社會及經(jīng)濟諸方面的因素有關(guān)，它可用單位人口在單位時間（通常為一年）內(nèi)的有效接觸數(shù)來衡量，而所謂有效接觸系指足以使易感染者發(fā)生感染的接觸；

3.感染某病后，可對在時間t被感染的比率y作出估計；

4.被研究的人群中，發(fā)生流動、死亡等因素可忽略不計。

下面介紹兩種催化模型：

（1）簡單催化模型

設(shè)開始時（t=0），人群中易感染者的總量為1，經(jīng)過時間t，感染的比率為y，則1-y為未感染的相對量。如果在單位時間內(nèi)每一個個體的有效接觸率為r，而且易感染者（陰性者）以恒定的傳染力r轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊撸栃哉撸┖?，感染不再轉(zhuǎn)變?yōu)殛幮?，即以如下形式表示：陰?在初始條件t=0，y=0時，解得y=1-e- r t

（2）可逆催化模型

在流行病學(xué)中，有時會遇到這種情況，一方面，人群以傳染力 轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊呋蛎庖哒?，臨床癥狀為陽性；另一方面，免疫者或陽性者又以率b轉(zhuǎn)變?yōu)橐赘腥菊撸ɑ蜿幮哉撸⑶宜麄冇忠月蔭轉(zhuǎn)為陽性者。

參考文獻：

[1]F.S.梅里特.工程技術(shù)常用數(shù)學(xué).北京：科學(xué)技術(shù)出版社，1976.

[2]北大數(shù)力系.常微分方程與無窮級數(shù).北京：人民教育出版社，1978.

[3]鄒國源.微分方程的應(yīng)用舉例：導(dǎo)彈打飛機.高等數(shù)學(xué)研究，1997（02）.

作者簡介：蔣長安，男，1954年12月出生，本科，研究方向：醫(yī)用數(shù)學(xué)。

摘 要：確定性模型是流行病數(shù)學(xué)模型中最基本、最重要的模型之一，對確定性模型中的兩個分支模型進行初步探討，旨在介紹微分方程在流行病學(xué)中的簡單運用。

關(guān)鍵詞：微分方程；流行??；運用

流行病的數(shù)學(xué)模型通常是描述疾病在其傳播過程中各種重要因素之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)方程，一般說來可分為“確定性模型”和“隨機性模型”，本文只探討“確定性模型”。

確定性模型的特點是在疾病流行過程中的每一時刻，發(fā)生的新病例數(shù)均為確定的數(shù)值，而且當(dāng)模型的初值一經(jīng)給定，整個流行過程的發(fā)展及結(jié)局就被確定。為了建立模型通常將人群分為感染類（即已被疾病感染的人群）、易感染類（即尚未被疾病感染的人群）及移除類（即患病死亡，痊愈或隔離的人群）等類別。在疾病傳播過程中，人群中的每個成員都會改變其流行病學(xué)狀態(tài)和類別，比如，一個易感染者受感染后變?yōu)楦腥菊?，或一個感染者因死亡或隔離轉(zhuǎn)入移除類。但是在確定的時刻，各個類別是互不相交的，即每個成員都歸屬于確定的一個類別，不能同時屬于兩類或更多的類。

一、無移除的簡單模型

無移除的模型是最簡單的流行病學(xué)模型，這種模型假定疾病是通過人群內(nèi)成員之間接觸而傳播，感染者不因死亡、痊愈或隔離而被移除，故所有的易感染者最終都將變?yōu)楦腥菊?。這種模型適用于有高度的傳染力，但尚未發(fā)展到死亡或需要隔離的疾病，如，某種上呼吸道感染。

為了建立這類流行病數(shù)學(xué)模型，我們對人群及流行病學(xué)狀態(tài)作如下假設(shè)：

1.在時刻t的易感染人數(shù)和感染人數(shù)分別為S和I；

2.人群是封閉的總?cè)藬?shù)為N，在這N個人中開始時只有一個感染者；

3.人群中各成員之間接觸是均勻的，易感染者轉(zhuǎn)為感染者的變化率與當(dāng)時易感染人數(shù)與感染人數(shù)的乘積成正比。

二、催化模型

上世紀(jì)50年代，科學(xué)家Muench將在化學(xué)反應(yīng)體系中的催化作用機理的思想應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，提出了一組流行病學(xué)催化模型。而且已被應(yīng)用于沙眼，乙型肝炎及血吸蟲病等流行病的描述。借以定量估計某種疾病在某一地區(qū)的“傳染力”，評價防治效果，以及檢驗疾病分布和流行特點的某些假設(shè)。

Muench的催化模型作如下假設(shè)：

1.在開始時（t=0），被研究的人群全為易感染者；

2.某病在該人群中的感染力（又稱傳染力）是恒定的。傳染力與環(huán)境、生物、社會及經(jīng)濟諸方面的因素有關(guān)，它可用單位人口在單位時間（通常為一年）內(nèi)的有效接觸數(shù)來衡量，而所謂有效接觸系指足以使易感染者發(fā)生感染的接觸；

3.感染某病后，可對在時間t被感染的比率y作出估計；

4.被研究的人群中，發(fā)生流動、死亡等因素可忽略不計。

下面介紹兩種催化模型：

（1）簡單催化模型

設(shè)開始時（t=0），人群中易感染者的總量為1，經(jīng)過時間t，感染的比率為y，則1-y為未感染的相對量。如果在單位時間內(nèi)每一個個體的有效接觸率為r，而且易感染者（陰性者）以恒定的傳染力r轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊撸栃哉撸┖?，感染不再轉(zhuǎn)變?yōu)殛幮裕匆匀缦滦问奖硎荆宏幮?在初始條件t=0，y=0時，解得y=1-e- r t

（2）可逆催化模型

在流行病學(xué)中，有時會遇到這種情況，一方面，人群以傳染力 轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊呋蛎庖哒撸R床癥狀為陽性；另一方面，免疫者或陽性者又以率b轉(zhuǎn)變?yōu)橐赘腥菊撸ɑ蜿幮哉撸?，并且他們又以率a轉(zhuǎn)為陽性者。

參考文獻：

[1]F.S.梅里特.工程技術(shù)常用數(shù)學(xué).北京：科學(xué)技術(shù)出版社，1976.

[2]北大數(shù)力系.常微分方程與無窮級數(shù).北京：人民教育出版社，1978.

[3]鄒國源.微分方程的應(yīng)用舉例：導(dǎo)彈打飛機.高等數(shù)學(xué)研究，1997（02）.

作者簡介：蔣長安，男，1954年12月出生，本科，研究方向：醫(yī)用數(shù)學(xué)。