霍福策

摘 ?要：習(xí)題是教材的有機(jī)組成部分，是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中不可缺少的重要環(huán)節(jié)，是學(xué)生掌握知識(shí)、形成技能、拓展創(chuàng)新的重要手段. 怎樣講解課本習(xí)題才能幫助學(xué)生梳理知識(shí)、總結(jié)解題規(guī)律、優(yōu)化課堂教學(xué)？結(jié)合2013年秋季蘇教版教材選修2-3中的部分習(xí)題，談?wù)劰P者的處理感受.

關(guān)鍵詞：課本習(xí)題;知識(shí)梳理;思維創(chuàng)新;減負(fù)提效;優(yōu)化課堂教學(xué)

教材為幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵、鞏固知識(shí)、鍛煉應(yīng)用知識(shí)解決某些實(shí)際問(wèn)題的能力，在“感受理解”、“思考運(yùn)用”、“探究拓展”欄目中分不同層次配置了一定數(shù)量的習(xí)題. 平心而論，題目典型，但難度有的不夠，有的重復(fù)累贅，所以出現(xiàn)“教師不屑講、學(xué)生不樂(lè)做”的現(xiàn)象. 自從江蘇于2005年實(shí)行新課改以來(lái)，身在教學(xué)一線(xiàn)的數(shù)學(xué)教師在不同的場(chǎng)合發(fā)表了許多觀(guān)點(diǎn)，但筆者結(jié)合自己多年的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)此有著不同的見(jiàn)解：題目不在于大和難，關(guān)鍵在于如何引導(dǎo). 筆者每年高考后都做調(diào)查，數(shù)據(jù)最具有說(shuō)服力，幾乎所有高考題目都來(lái)源于課本. 能依托課本習(xí)題，梳理知識(shí)體系，優(yōu)化思維品質(zhì)，提高解題技能，優(yōu)化課堂教學(xué)，折服學(xué)生才更顯教師的魅力. 以下結(jié)合2013年秋季蘇教版教材選修2-3中的部分習(xí)題，談?wù)劰P者的做法.

梳理體系，深化規(guī)律

例1 ?（《二項(xiàng)式定理》36頁(yè)第13題）

設(shè)（2x+ ?）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，求下列各式的值：

（1）a0+a1+a2+a3+a4;

（2）a1+a2+a3+a4.

課本參考答案：（1）97+56 ?. （提示：令x=1）;（2）88+56 ?（提示：令x=0時(shí)，a0=9）.

思考：本題在“思考運(yùn)用”中出現(xiàn)，本是一道好題，起到揭示用“賦值法”研究二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和的性質(zhì)的效果.但配套教材參考書(shū)提供的答案僅為簡(jiǎn)案，即使在類(lèi)似例題注釋中也僅僅注明采用“賦值法”. 筆者認(rèn)為這種表述沒(méi)有傳達(dá)題目的真正內(nèi)涵，削弱了習(xí)題的價(jià)值，反而加重“課本習(xí)題不值一做”的感覺(jué).

“賦值法”是研究二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和的性質(zhì)的重要方法之一，作為教材新課的探究，無(wú)疑是有說(shuō)服力的. 但在系統(tǒng)學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)后，再“如法炮制”，就似“如鯁在喉”，做類(lèi)似的題目使人厭煩.教師完全可以“丟下參考”，結(jié)合例題、習(xí)題展示自己對(duì)教材的感悟，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的角度研究二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和的性質(zhì)，闡明之間的關(guān)系，揭示其內(nèi)涵.

可作如下解析：令f（x）=（2x+ ?）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，則

（1）a0+a1+a2+a3+a4=f（1）=97+56 ?;

（2）a1+a2+a3+a4=f（1）-f（0）=88+56 ?.

教師此時(shí)可以因勢(shì)利導(dǎo)，精選相應(yīng)的類(lèi)似題目，讓學(xué)生訓(xùn)練，梳理體系，深化用函數(shù)思想研究二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和的性質(zhì)的規(guī)律.

提升題1 ?求證： ?kC ?=n·2n-1.

證明：設(shè)f（x）=（1+x）n= ?C ?xk，兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：

f ′（x）=n（1+x）n-1= ?kC ?xk-1，令x=1得： ?kC ?=n·2n-1.

提升題2 ?n≥3，n∈N*，

求證： ?k2C ?=n（n+1）2n-2.

證明：設(shè)f（x）=（1+x）n= ?C ?xk，兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：

f ′（x）=n（1+x）n-1= ?kC ?xk-1，兩邊再求導(dǎo)得：

（f ′（x））′=n（n-1）（1+x）n-2= ?k（k-1）C ?xk-2，令x=1得：

n（n-1）2n-2= ?k（k-1）C ?= ?k2C ?- ?kC ?= ?k2C ?-n·2n-1，

所以 ?k2C ?=n（n-1）2n-2+n·2n-1=n（n+1）2n-2.

習(xí)題處理反思：從函數(shù)的角度揭示本類(lèi)題的解法，更能深刻領(lǐng)悟“賦值法”的內(nèi)涵，若將這些內(nèi)容闡釋清楚，題目的分量就沉甸甸的了！對(duì)知識(shí)的深化效果是不言而喻的，更重要的是在解題中培養(yǎng)了學(xué)生思維的層次性、發(fā)散性，參與創(chuàng)新的意識(shí)和能力也得到了鍛煉.

正視題意，優(yōu)化思維

例2 ?（《組合》35頁(yè)第4題）

證明：1+2C ?+22C ?+…+2nC ?=3n.

課本參考答案：1+2C ?+22C ?+…+2nC ?=（1+2）n=3n.

思考：本題在“小練習(xí)”中出現(xiàn)，主要考查二項(xiàng)式定理逆運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題，易于學(xué)生掌握. 對(duì)知識(shí)的考查效果雖然具有針對(duì)性，但是對(duì)學(xué)生解決此類(lèi)相關(guān)問(wèn)題的思維能力的檢驗(yàn)還缺乏靈活性. 如若本題把二項(xiàng)式系數(shù)C ?前面的系數(shù)由等比數(shù)列{2n}變?yōu)榈炔顢?shù)列{n}，反而思路更開(kāi)闊. 這樣，學(xué)生對(duì)知識(shí)應(yīng)用的觸角就有了活性，也彰顯了題目的價(jià)值.

變式 求證：C ?+2C ?+3C ?…+nC ?=n·2n-1.

證明：

記S=0C ?+C ?+2C ?+3C ?…+nC ?？搖（1），

S=nC ?+（n-1）C ?+（n-2）C ?+…+C ?+0C ?.

因?yàn)镃 ?=C ?，所以C ?=C ?，C ?+C ?，…，C ?=C ?，

即S=nC ?+（n-1）C ?+（n-2）C ?+…+C ?+0C ? （2），（1）（2）兩式相加得：

2S=（0+n）C ?+（1+n-1）C ?+（2+n-2）·C ?+…+（n+0）C ?=n（C ?+C ?+C ?+…C ?）=n·2n，

故S=n·2n-1，即C ?+2C ?+3C ?…+nC ?=n·2n-1.

思考：這樣一來(lái)就盤(pán)活了思維，此時(shí)需要運(yùn)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)“C ?=C ?”和數(shù)列求和中的“倒序相加法”結(jié)合求解，從而提高學(xué)生解題的綜合能力，使課堂更具有開(kāi)放性和實(shí)效性.

提升題3 n∈N*，求證： ?（k+1）C ?=（n+2）2n-1.

證明：記S=C ?+2C ?+3C ?+4C ?…+（n+1）C ? ?（1），

S=（n+1）C ?+nC ?+（n+1）C ?+…+C ?.

因?yàn)镃 ?=C ?，所以C ?=C ?，C ?+C ?，…，C ?=C ?，

即S=（n+1）C ?+nC ?+（n-1）C ?+…+C ?（2），（1）（2）兩式相加得：

2S=（2+n）（C ?+C ?+C ?+…+C ?？搖）=（n+2）2n，所以 ?（k+1）C ?=（n+2）2n-1.

提升題4 ?k∈N*，求證：C ?+C ?+C ?+…+C ?=22k.

證明：記S=C ?+C ?+C ?+…+C ? （1），S=C ?+C ?+C ?+…+C ?，

由組合數(shù)的性質(zhì)知：C ?=C ?，C ?=C ?，…，C ?=C ?，

即S=C ?+C ?+C ?+…+C ?（2），（1）（2）兩式相加得：

2S=C ?+C ?+C ?+…+C ? +C ?+C ?+C ?+…+C ?=22k+1，即S=22k.

故C ?+C ?+C ?+…+C ?=22k.

歸納技能，遷移應(yīng)用

例3 ?（《二項(xiàng)式定理》42頁(yè)第16題）

已知 ?- ? ?的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為14∶3，求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

思考：本類(lèi)型題目是二項(xiàng)式定理重要考點(diǎn)之一，利用二項(xiàng)式定理求展開(kāi)式中的某些項(xiàng). 重點(diǎn)考查二項(xiàng)式系數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式和二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)問(wèn)題.方法是利用組合數(shù)的計(jì)算公式先求出n的值，然后再利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng).

課本參考答案：由已知第5項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為C ?，C ?，所以 ?= ?，解得n=10. 設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，又Tr+1=C ?（ ?）10-r- ? ?=（-2）rC ?x ?，令 ?=0，解得r=2. 故T3=C ?（02）2=180，即所求常數(shù)項(xiàng)為180.

歸納技能：處理展開(kāi)式中某些項(xiàng)的問(wèn)題，如第幾項(xiàng)、有理項(xiàng)、含x3的項(xiàng)等等，一般是從通項(xiàng)入手，先求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)相應(yīng)條件進(jìn)行研究.

求解此類(lèi)問(wèn)題對(duì)于學(xué)生而言已經(jīng)易如反掌，為了讓學(xué)生更深入地理解二項(xiàng)式定理的內(nèi)容，教師可以根據(jù)題意進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹R(shí)遷移，比如在二項(xiàng)式系數(shù)上遷移為某一項(xiàng)的系數(shù)，將求某些項(xiàng)遷移為求最大項(xiàng)等等，這樣不僅提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，也使課堂更具有實(shí)效性，從而優(yōu)化了課堂教學(xué).

遷移1 ?已知 ?- ? ?的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比為10∶1，求

（1）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng);

（2）展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).

參考答案：（1）Tr+1=C ?（ ?）10-r·- ? ?=（-2）rC ?x ?，則第5項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)分別為（-2）4C ?，（-2）2C ?，所以 ?= ?，解得n=8;

（2）由于奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，所以可設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，則由

2r-1C ?≤2rC ?，2r+1C ?≤2rC ?，解得5≤r≤6，所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)7=1792x-11.

遷移2 ?設(shè)f（x）=x ?+xn，且正整數(shù)n滿(mǎn)足C ?=C ?，A={0，1，2，…，n}，

（1）求n的值;

（2）若i，j∈A，是否存在j使當(dāng)i≥j時(shí)，C ?≤C ?恒成立？若存在，求出最小的j;若不存在，說(shuō)明理由;

（3）k∈A，若f（x）的展開(kāi)式中有且只有6個(gè)有理項(xiàng)，求k的值.

參考答案：（1）由組合數(shù)的性質(zhì)知n=8;

（2）存在，即為展開(kāi)式中最大二項(xiàng)式的系數(shù)，因?yàn)镃 ?中的最大值為C ?，所以j=4;

（3）通項(xiàng)Tr+1=C ?x ?+r，所以 ?+r∈Z，令k=1，2，....，8，檢驗(yàn)得k=3或4時(shí)，8-r是k的整數(shù)倍的r有且只有三個(gè)，所以k=3或4.

我們都說(shuō)要用課本教，而不僅僅只教課本. 在評(píng)講習(xí)題時(shí)不厭其煩地告誡學(xué)生“做題后要反思、要總結(jié)”，才能起到事半功倍之效. 我們面對(duì)課本習(xí)題時(shí)，作為教師，是否要先端正自己的認(rèn)識(shí)呢？以上感悟，如有不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正.