☉浙江省湖州市第二中學(xué) 俞昕

摭談數(shù)學(xué)“合作學(xué)習(xí)”四要素
——由鄭毓信先生的“數(shù)學(xué)教育改革十五誡之三”引發(fā)的思考

☉浙江省湖州市第二中學(xué) 俞昕

鄭毓信先生的“數(shù)學(xué)教育改革十五誡”［1］誡條之三：數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)只講“合作學(xué)習(xí)”，但卻完全不提個(gè)人的獨(dú)立思考，也不關(guān)心所說(shuō)的“合作學(xué)習(xí)”究竟產(chǎn)生了怎樣的效果.張奠宙先生認(rèn)為：數(shù)學(xué)不同于其他學(xué)科，需要進(jìn)行邏輯化、符號(hào)化、數(shù)量化，其過(guò)程必定經(jīng)歷獨(dú)立的、個(gè)性化的思考，因此，在“合作”之前必須先“獨(dú)立”.陳省身先生認(rèn)為：數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物.首先要能夠思考起來(lái)，用自己的見(jiàn)解和別人的見(jiàn)解交換，會(huì)有很好的效果.我們數(shù)學(xué)教育工作者面臨的一個(gè)重要任務(wù)是：弄清楚什么是好的“合作學(xué)習(xí)”所應(yīng)滿足的基本要求，進(jìn)而，數(shù)學(xué)教學(xué)在這一方面又具有哪些特殊性？

雖然世界各國(guó)學(xué)者對(duì)小組合作學(xué)習(xí)的概念表述不相同，但是其內(nèi)涵是一致的.（1）小組合作學(xué)習(xí)是一種教學(xué)活動(dòng)，它是以小組為基本單位來(lái)組織教學(xué)的；（2）小組合作學(xué)習(xí)是同伴之間互助互學(xué)的合作；（3）小組合作學(xué)習(xí)既強(qiáng)調(diào)小組的團(tuán)體成績(jī)，也重視小組中個(gè)人的表現(xiàn)；（4）小組合作學(xué)習(xí)是學(xué)生在教師指導(dǎo)下開(kāi)展的一種學(xué)習(xí)活動(dòng)，活動(dòng)目的是達(dá)成教師課前預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo).從以上表述至少可以看出，在合作學(xué)習(xí)中，要注重個(gè)人的自主探究活動(dòng)，同時(shí)也不能完全離開(kāi)教師的指導(dǎo)作用.還要考慮數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的特殊性，并不是所有數(shù)學(xué)內(nèi)容都適合合作學(xué)習(xí)，即使是適合進(jìn)行合作學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也要根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的合作學(xué)習(xí)方式.

一、合作學(xué)習(xí)應(yīng)有適宜的內(nèi)容

數(shù)學(xué)中并不是所有的內(nèi)容都適合小組合作，有兩種數(shù)學(xué)內(nèi)容可以考慮采用合作學(xué)習(xí).

其一是開(kāi)放性問(wèn)題.比如y=x、y=x2、y=x3、y=ex、y=lnx都是我們非常熟悉的函數(shù)，試嘗試?yán)靡陨匣境醯群瘮?shù)配合加減乘除（可以添加常數(shù)），構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，并分析你所構(gòu)造出來(lái)的函數(shù)的單調(diào)性.例如：判斷函數(shù)y=ex-x-1的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間.將全班學(xué)生進(jìn)行同組異質(zhì)、異組同質(zhì)的分組，并提出要求：（1）每組挑選幾個(gè)函數(shù)，不需要都用上；（2）為了方便計(jì)算，y=ex和y=lnx盡量不要同時(shí)使用；（3）前后4人一組，展開(kāi)討論，自編自答，拿出成果.合作一：學(xué)生給出了“加減類型”“乘法類型”“除法類型”；合作二：改進(jìn)自己設(shè)計(jì)的問(wèn)題，不直白地設(shè)問(wèn)單調(diào)性，讓題目形式豐富多樣，再嘗試解答；合作三：在題目中加入?yún)?shù)，設(shè)計(jì)問(wèn)題并展示，小組成員間可以相互解答.（以上案例選自湖州市導(dǎo)學(xué)案評(píng)比優(yōu)秀作品）

其二是容易引起爭(zhēng)議的問(wèn)題.有時(shí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生往往伴隨著爭(zhēng)議，比如離心率的概念.先用幾何畫(huà)板畫(huà)一些橢圓（顯示隨著a、b取值的改變，橢圓形狀的變化），橢圓的扁圓程度可以用什么量來(lái)刻畫(huà)？讓學(xué)生合作學(xué)習(xí)，提出不同的表示方案，有些學(xué)生認(rèn)為用ab表示，有些學(xué)生認(rèn)為用表示等，在爭(zhēng)論中最后達(dá)成統(tǒng)一：用表示.數(shù)學(xué)中有很多易錯(cuò)題，怎樣減小解這些問(wèn)題時(shí)的出錯(cuò)率，讓學(xué)生一勞永逸？可以考慮合作學(xué)習(xí)的方式.如問(wèn)題：若函數(shù)f（2x）是偶函數(shù)，則函數(shù)f（2x+1）的對(duì)稱軸是什么？諸如此類的問(wèn)題，變式可以給出很多.此類問(wèn)題是學(xué)生比較容易出錯(cuò)的，讓學(xué)生通過(guò)合作學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行辯論，表達(dá)自己的觀點(diǎn)，讓同組的同學(xué)根據(jù)拋出的觀點(diǎn)進(jìn)行深入細(xì)致的分析論證，真理在辯論中越辨越明.

二、合作學(xué)習(xí)應(yīng)以自主探究為前提

在這里我們將“自主探究”理解成“獨(dú)立思考”.合作學(xué)習(xí)中最令人擔(dān)心的事就是合作學(xué)習(xí)活動(dòng)淪為少數(shù)幾個(gè)尖子生的包場(chǎng)，而多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維沒(méi)有啟動(dòng)，因此合作學(xué)習(xí)一定要以自主探究、獨(dú)立思考為前提.只有讓學(xué)生在充分思考之后帶著問(wèn)題進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，才能發(fā)揮合作學(xué)習(xí)的功效.有兩種方式可以兼顧自主探究與合作學(xué)習(xí).

其一是將合作學(xué)習(xí)的內(nèi)容運(yùn)用問(wèn)題串的形式進(jìn)行細(xì)化，用問(wèn)題引領(lǐng)全體學(xué)生進(jìn)行思考與探究.這種方式適合于課堂當(dāng)場(chǎng)布置合作學(xué)習(xí)的任務(wù).筆者在一次聆聽(tīng)章建躍博士講座時(shí)，對(duì)一個(gè)關(guān)于“復(fù)數(shù)概念引入”的案例記憶猶新，后來(lái)筆者在自己的教學(xué)實(shí)踐中將其改變成一個(gè)以問(wèn)題引領(lǐng)的合作學(xué)習(xí)模式，課后特意訪談了數(shù)學(xué)中等生和學(xué)困生，結(jié)果顯示效果較好.問(wèn)題1：1545年，數(shù)學(xué)家Cardan在《重要的藝術(shù)》（1545）中出了這么一個(gè)題目：把10分為兩部分，使其乘積為40.他按照自己的習(xí)慣，設(shè)其中一部分為x，列出方程x（10-x）=40.但求出的根令他大為不解，甚至感到有些恐慌.你知道這是為什么嗎？問(wèn)題2：根據(jù)你的已有經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為怎么辦就可以解決Cardan的問(wèn)題？提示：在正數(shù)范圍內(nèi)，方程x+2=0有解嗎？我們是怎樣讓它有解的？類似地，在有理數(shù)范圍內(nèi)，x2=2有解嗎？我們又是怎樣讓它有解的？問(wèn)題3：為了使負(fù)數(shù)能夠開(kāi)方，你覺(jué)得應(yīng)該引進(jìn)一個(gè)什么樣的新數(shù)？這個(gè)新數(shù)應(yīng)該服從什么規(guī)則？問(wèn)題4：根據(jù)大家的想法，假設(shè)我們引進(jìn)了一個(gè)新的“數(shù)”i，它服從i2=-1，我們希望i能與實(shí)數(shù)一起進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算，這樣，你覺(jué)得會(huì)產(chǎn)生哪些類型的“新數(shù)”？追問(wèn)：（1）這些“新數(shù)”能用一種統(tǒng)一的形式表示嗎？（2）如果把實(shí)數(shù)與i進(jìn)行加、乘后得到的“數(shù)”的集合記作C，那么實(shí)數(shù)集與集合C有什么關(guān)系？

其二是教師可以專門(mén)開(kāi)設(shè)一些數(shù)學(xué)探究的課程，教師課前先將需要探究的預(yù)備內(nèi)容以導(dǎo)學(xué)案方式呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生有充分的時(shí)間進(jìn)行自主探究、獨(dú)立思考，然后在課堂上進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，將自己的探究成果進(jìn)行展示，小組成員之間互助、糾錯(cuò)、評(píng)價(jià)，最后各小組將各自的成果進(jìn)行匯總展示.比如開(kāi)設(shè)一堂有關(guān)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的探究課程，可以布置以下的探究任務(wù).“課中合作學(xué)習(xí)”部分的內(nèi)容要求學(xué)生課前結(jié)合前面復(fù)習(xí)的內(nèi)容先自主探究、獨(dú)立思考，然后在課中進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，而后面“課中自主解決”部分的內(nèi)容要求學(xué)生在合作學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上嘗試獨(dú)立思考，自主解決，以鞏固合作學(xué)習(xí)的效果.

以下案例是在一次師徒結(jié)對(duì)活動(dòng)中開(kāi)設(shè)的合作學(xué)習(xí)研討課.

【基礎(chǔ)梳理】（略）.

【自主測(cè)評(píng)】（略）.

【自學(xué)質(zhì)疑】問(wèn)題1：回顧總結(jié)研究二次函數(shù)最值時(shí)該注意哪些方面.

問(wèn)題2：在一般的函數(shù)中，解決最值問(wèn)題時(shí)該注意哪些方面？

問(wèn)題3：在函數(shù)中出現(xiàn)參數(shù)時(shí)該如何處理？

【課中合作學(xué)習(xí)】已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3.

（1）求函數(shù)f（x）的最小值.

變式1：求函數(shù)f（x）在［t，t+2］（t＞0）上的最小值.

變式2：若函數(shù)f（x）在（t，t+2）（t＞0）上無(wú)最小值，求t的取值范圍.

（2）若?x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式2：若?s、t∈（0，+∞），2f（s）≥g（t）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式3：若?s、t∈（0，+∞），使得2f（s）≤g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【課中自主解決】已知函數(shù)f（x）=x2-x-1，g（x）=x3-x2-5x+m.

（1）?x∈［-2，2］，都有f（x）≤g（x）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

（2）?x∈［-2，2］，使得f（x）≤g（x）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

（3）?x1、x2∈［-2，2］，都有f（x1）≤g（x2）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

（4）?x1、x2∈［-2，2］，使得f（x1）＞g（x2）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

（5）若?x1∈［-2，2］，?x2∈［-2，2］，使得f（x1）= g（x2）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

三、合理選擇不同的合作學(xué)習(xí)方式

筆者認(rèn)為合作學(xué)習(xí)可以有兩種不同的方式：一種是課內(nèi)合作學(xué)習(xí)，一種是課外合作學(xué)習(xí).課內(nèi)合作學(xué)習(xí)以上已經(jīng)討論的比較多了，這里不再贅述，下面談?wù)務(wù)n外合作學(xué)習(xí).課外合作學(xué)習(xí)往往受到冷遇或不重視，其實(shí)課堂時(shí)間很有限，有些內(nèi)容不可能在課堂上充分的讓學(xué)生合作學(xué)習(xí)，所以可以將合作學(xué)習(xí)延伸到課前與課后.一些帶有研究性學(xué)習(xí)色彩的數(shù)學(xué)內(nèi)容，比如“‘楊輝三角’中的一些秘密”“探究斐波那契數(shù)列”“割圓術(shù)”等都可以布置給學(xué)生進(jìn)行課前的合作學(xué)習(xí).文獻(xiàn)5中，針對(duì)“割圓術(shù)”，教師布置給學(xué)生在課前進(jìn)行了很好的合作學(xué)習(xí)（選擇一個(gè)方向收集資料，并進(jìn)行資料的整理、匯總與學(xué)習(xí)），然后在課堂上每個(gè)小組都派代表進(jìn)行了展示活動(dòng)，有了課前合作學(xué)習(xí)的鋪墊，課堂上教師預(yù)設(shè)的教學(xué)內(nèi)容能夠順利的進(jìn)行與完成.

而有時(shí)課后的合作學(xué)習(xí)也能引發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)的興趣.比如在學(xué)習(xí)完“幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型”之后，教師布置課后合作學(xué)習(xí)任務(wù)：以小組為單位，完成題為《我對(duì)_____問(wèn)題的函數(shù)模型學(xué)習(xí)》的論文，可探究的模型（供參考）：折紙模型、SARS病毒、澳大利亞兔子爆炸、摩爾定理、人口增長(zhǎng)、太湖藍(lán)藻、GDP增長(zhǎng)、天文學(xué)應(yīng)用、銀行復(fù)利等.論文應(yīng)包含：（1）問(wèn)題背景相關(guān)知識(shí)；（2）問(wèn)題相關(guān)數(shù)據(jù)；（3）如何選擇函數(shù)模型；（4）對(duì)函數(shù)模型在實(shí)際問(wèn)題中運(yùn)用的體會(huì)；（5）注名作者、參考書(shū)籍、出版社.

四、合作學(xué)習(xí)需要教師必要的指導(dǎo)與評(píng)價(jià)

合作學(xué)習(xí)的主要目的是加強(qiáng)生生之間的交流與互動(dòng)，但也必須加強(qiáng)師生之間的交流.對(duì)于課內(nèi)合作學(xué)習(xí)的一種不可取的做法是教師布置完小組合作任務(wù)后，便游離于學(xué)生小組合作活動(dòng)之外，此時(shí)教師沒(méi)有看到小組合作中出現(xiàn)的問(wèn)題.實(shí)際上，學(xué)生進(jìn)行小組合作時(shí)，給教師賦予了更多的責(zé)任，他不僅僅要關(guān)注學(xué)生知識(shí)掌握的情況，而且還要關(guān)注各個(gè)小組合作進(jìn)展的情況，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)膮f(xié)調(diào).在學(xué)生合作時(shí)，教師要從“至高無(wú)上”的講臺(tái)走到學(xué)生中間來(lái)，充當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者、引導(dǎo)者、協(xié)調(diào)者、巡視者等多種角色，及時(shí)獲取學(xué)生討論的信息，捕捉學(xué)生思維的火花，為有效調(diào)控教學(xué)做好充分準(zhǔn)備.合作學(xué)習(xí)結(jié)束后，教師應(yīng)組織學(xué)生進(jìn)行全班交流，讓學(xué)生反饋合作學(xué)習(xí)的信息，并根據(jù)學(xué)生反饋的信息進(jìn)行有效的指導(dǎo).教師要對(duì)小組合作討論進(jìn)行質(zhì)的分析，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層次的思考，這樣才能使得合作學(xué)習(xí)的教學(xué)更具有實(shí)效性.

至于課外的合作學(xué)習(xí)，雖然教師不能直接接觸學(xué)生，但也可以通過(guò)各種方式對(duì)合作學(xué)習(xí)進(jìn)行監(jiān)督與指導(dǎo).若是課前的合作學(xué)習(xí)，教師一定要向?qū)W生明確要求，并布置明確的任務(wù)，以便在課堂上檢查學(xué)生合作學(xué)習(xí)的效果.若是課后的合作學(xué)習(xí)，教師需要求學(xué)生在限定時(shí)間內(nèi)遞交合作學(xué)習(xí)的成果，為下階段學(xué)習(xí)做好鋪墊，或作為評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的依據(jù)之一.

小組合作學(xué)習(xí)的一個(gè)重要的特征是以小組的成就作為總的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，小組的成就主要表現(xiàn)在兩方面：一個(gè)是評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)業(yè)方面的進(jìn)步；另一個(gè)方面是評(píng)價(jià)小組工作和合作的情況.教師在進(jìn)行小組合作開(kāi)始，就首先要明確小組評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)，評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)小組合作的任務(wù)不同而不同，但是一個(gè)非常重要的前提就是所表述的要求越具體越好，這樣可以使學(xué)生明確要達(dá)到的目標(biāo).教師可以將學(xué)生合作學(xué)習(xí)的成果、教師對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)、同組或異組成員之間的評(píng)價(jià)收錄到學(xué)生的“過(guò)程作品集”中，筆者在文6中詳細(xì)論述了多元智能理論下如何利用“過(guò)程作品集”評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).“過(guò)程作品集”為我們提供了一個(gè)寬廣的評(píng)價(jià)視野，它可以展現(xiàn)學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中的智能強(qiáng)項(xiàng)，讓學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中發(fā)揮自己的優(yōu)勢(shì)智能.

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3.劉丹.情境學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)課堂中的案例分析——情境創(chuàng)設(shè)與合作交流真的那么重要嗎［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（3）.

4.陶兆龍.課堂教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的引導(dǎo)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（7）.

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