吳笑千，高劍明

(東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620)

在工科專業(yè)“線性代數(shù)”課程教學(xué)中，經(jīng)常有學(xué)生反映該課程內(nèi)容比較抽象、概念難以理解、計算繁瑣、內(nèi)容枯燥等。為了克服目前“線性代數(shù)”課程教學(xué)存在的內(nèi)容抽象、課時少、有難度、少應(yīng)用這一現(xiàn)狀，同時讓有意從事科研工作的工科學(xué)生打好理論基礎(chǔ)，我校(東華大學(xué))開展了關(guān)于工科專業(yè)“線性代數(shù)”分層次教學(xué)的改革。

一、分層次教學(xué)

我們將“線性代數(shù)”課程按理論和應(yīng)用培養(yǎng)方向分為A、B兩個層次。

A班教材仍選用由同濟大學(xué)主編的《線性代數(shù)》(第5版)［1］，教學(xué)上側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生運用抽象思維和邏輯推理的能力，融入一些考研的典型題目，注重一題多解，以開闊學(xué)生的解題思路，使所學(xué)知識融會貫通，并能靈活地解決問題，達到拓展知識視野、啟迪創(chuàng)新思維的目的。同時提高學(xué)生探索和理解數(shù)學(xué)概念、過程和關(guān)系本質(zhì)的能力，著力于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理和證明，養(yǎng)成思維的嚴(yán)密性，使學(xué)生在考研時，其數(shù)學(xué)能力和水平有明顯提高。

B班教材選用由David C.Lay編著的《線性代數(shù)及其應(yīng)用》［2］(原書第3版)，教學(xué)上側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用“線性代數(shù)”知識解決實際問題的能力，減少繁復(fù)的計算和理論推導(dǎo)，更多地通過應(yīng)用實例進行講授，使學(xué)生掌握“線性代數(shù)”的基本知識，理清思路，激發(fā)學(xué)生求知探索的欲望，提高其實際應(yīng)用能力和科技創(chuàng)新能力。

二、教材選用

1.David C.Lay教材的編寫

1990年，為了解決“線性代數(shù)”課程抽象、枯燥、應(yīng)用少等問題，美國的數(shù)學(xué)教育家提出了五條改革建議［3］:(1)“線性代數(shù)”課程要面向應(yīng)用，滿足廣大非數(shù)學(xué)學(xué)科的需要;(2)它應(yīng)該是面向矩陣的;(3)它應(yīng)該是把學(xué)生作為初學(xué)者，根據(jù)學(xué)生的水平和需要來組織;(4)它應(yīng)該利用最新的計算技術(shù);(5)對數(shù)學(xué)專業(yè)要另設(shè)課程提高其抽象性。

David C.Lay是美國馬里蘭大學(xué)教授，是美國國家科學(xué)基金會資助的“‘線性代數(shù)’課程研究組”創(chuàng)始人之一，也是美國“線性代數(shù)”課程改革的領(lǐng)導(dǎo)者之一，曾經(jīng)獲得美國數(shù)學(xué)協(xié)會授予的杰出數(shù)學(xué)教學(xué)獎。根據(jù)上述5條改革建議，David C.Lay編寫了 Linear Algebra and Its Applications(中文版《線性代數(shù)及其應(yīng)用》)這一教材。這是一本優(yōu)秀的現(xiàn)代教材，它提供了最新的“線性代數(shù)”的基本概念和許多有趣的應(yīng)用例子，目的是幫助學(xué)生掌握“線性代數(shù)”的基本概念及應(yīng)用技巧，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和工作實踐奠定基礎(chǔ)。此外，這本教材還包含大量的例題和習(xí)題，以便于讀者學(xué)習(xí)參考。總的來說，這本教材的內(nèi)容深入淺出，且論述清晰。

2.David C.Lay教材的優(yōu)點

David C.Lay教授編寫的《線性代數(shù)及其應(yīng)用》教材具有以下優(yōu)點:

(1)強化了線性方程組求解的思想。把“線性代數(shù)”中最重要的問題——求解線性方程組放到最前面來介紹，突出它的重要性。這是因為在后面將要講授的向量線性無關(guān)性、向量空間、逆矩陣、特征向量、二次型等內(nèi)容大量用到了線性方程組的求解思想和計算。并把“行初等變換化矩陣為行階梯形的計算”貫穿始終。

(2)強化了矩陣分塊的思想。在教材第一章中，就直接把矩陣方程定義成列向量的線性組合。矩陣的乘法定義不是由分量形式給出，而是由乘積的后一矩陣的列向量(分塊形式)線性組合給出，從而使矩陣乘法的分量形式可以由列向量形式計算得到。這樣可以使得矩陣方程、矩陣的乘法定義等簡潔明了，容易記憶，減少了學(xué)生計算出錯的可能性。

(3)弱化行列式的定義和計算。不用排列、逆序數(shù)的定義，而是用行列式展開(降階)來定義。行列式的逆序數(shù)定義是不容易理解的，而且在后面的“線性代數(shù)”教學(xué)內(nèi)容中根本沒有用到。少數(shù)工科專業(yè)如果需要逆序數(shù)定義的話，學(xué)生可以自主學(xué)習(xí)。并且隨著科技的發(fā)展、計算機能力的提高，線性代數(shù)求解問題的主流——求解線性方程組、最小二乘問題、特征值問題已經(jīng)與行列式的計算沒有很多聯(lián)系。而行列式的數(shù)值計算已經(jīng)歸結(jié)為LU分解(行初等變換)，不再是用富有技巧的性質(zhì)去求解行列式;特征值的數(shù)值計算是由Krylov子空間迭代法得到，不再是求解含參數(shù)的行列式(特征多項式)的根;甚至多項式根的數(shù)值計算也是由Krylov子空間等迭代法求解。

(4)不要求“沙路法”計算三階行列式，只是通過習(xí)題給出這一方法?？梢詼p少學(xué)生的記憶量，降低解題技巧。

(5)弱化秩的定義。不用最高階主子式的抽象定義，而用行階梯形非零行行數(shù)來定義。之所以這樣處理，同樣是因為行列式的應(yīng)用比較少，最高階主子式這一定義在后面的教學(xué)中沒有涉及。

(6)在“對角化方陣”方面，習(xí)題中如果要求三階或以上方陣的特征向量，是直接把特征值的具體數(shù)值作為已知條件，不要求通過行列式求三階及以上的復(fù)雜方陣求出特征多項式，進而求解特征值，降低了解題技巧和難度。

(7)用直觀的幾何解釋抽象的代數(shù)。行列式、矩陣、特征向量分別由面積或體積、線性變換、經(jīng)過線性變換仍然不變的向量這樣的幾何概念來解釋，可以讓學(xué)生直觀感受到線性代數(shù)的一些概念、性質(zhì)，增加對線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，降低學(xué)習(xí)和記憶的難度。

(8)在教材的每一章開始部分都有一個介紹本章的應(yīng)用例子，而且每章都有至少一節(jié)是講應(yīng)用問題。這些豐富的應(yīng)用問題可以使學(xué)生對于線性代數(shù)產(chǎn)生濃厚的興趣，增加對于相關(guān)概念和性質(zhì)的理解。

3.教學(xué)內(nèi)容的取舍

本文主要介紹我?！熬€性代數(shù)”B班課程的改革情況。由于美國教材與我校的教學(xué)大綱不一致，而且我校“線性代數(shù)”課時少，共32學(xué)時，想要采用David C.Lay的教材，勢必要做相應(yīng)的改變。

我們做的主要工作是:縮減 David C.Lay教材的內(nèi)容，降低授課的難度，減少艱深的理論推導(dǎo)和繁冗的手算，增加幾何直觀和各種應(yīng)用，利用數(shù)學(xué)軟件和信息化手段，增加學(xué)生對“線性代數(shù)”課的理解和學(xué)習(xí)興趣。

由于我校的“線性代數(shù)”課時少，而這本教材的內(nèi)容極為豐富，因此只能選用教材中的部分內(nèi)容進行講解。在每一章中，我們都選講至少一個典型且應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)模型，例如化學(xué)方程式的配平、幾何圖形的線性變換(反射、旋轉(zhuǎn)、放縮、剪切)、行列式的幾何意義和性質(zhì)、離散動力系統(tǒng)、最小二乘問題、二次型主軸的幾何意義等。為了與我國現(xiàn)行的“線性代數(shù)”課程教學(xué)大綱一致，刪除了經(jīng)濟學(xué)中的投入產(chǎn)出模型、向量空間、迭代法估計特征值、內(nèi)積空間、條件優(yōu)化、奇異值分解等內(nèi)容。刪除的部分可以由學(xué)生自行閱讀，有一些應(yīng)用會在“高等數(shù)學(xué)實驗”課上講解，數(shù)值計算部分可以讓學(xué)生在課后閱讀。這樣在有限的教學(xué)時間內(nèi)，保持了“線性代數(shù)”課程教學(xué)體系的完整性和內(nèi)容的豐富性。

三、運用數(shù)學(xué)軟件進行教學(xué)

關(guān)于應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件和數(shù)學(xué)實驗進行“線性代數(shù)”課程的教學(xué)，特別是采用MATLAB軟件進行“線性代數(shù)”教學(xué)、編寫相關(guān)的教材以及教師培訓(xùn)方面，西安電子科技大學(xué)的陳懷琛教授做出了很大貢獻［4－6］。數(shù)學(xué)軟件是一把雙刃劍。用數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)“線性代數(shù)”，可以讓學(xué)生通過直觀、動態(tài)的幾何圖形例子來加深對概念的認(rèn)識、性質(zhì)的理解，能夠克服手算計算量大的困難，直接求解大型的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。但如果提前讓學(xué)生用數(shù)學(xué)軟件來求解線性代數(shù)問題，有可能會削弱他們對于線性代數(shù)概念、計算方法的掌握。

為了避免學(xué)生在掌握線性代數(shù)運算之前用軟件解題，我們的做法是，在“線性代數(shù)”課上先不教學(xué)生使用軟件，而由教師用軟件演示實驗;課下或?qū)W期末可以給學(xué)生布置簡單的應(yīng)用題目、案例，做數(shù)值實驗，并演示講解如下例子:

(1)將化學(xué)方程式配平轉(zhuǎn)化成線性方程組求解，來了解線性方程組的應(yīng)用。

(2)高階線性方程組分別用Cramer法則和行初等變換計算，查看運行時間，分析它們的計算量，顯示行初等變換的優(yōu)越性。并提醒學(xué)生不僅要能解出題目，而且要用盡量快的方法求解。

(3)初等矩陣和初等變換的關(guān)系。通過分別左乘和右乘初等矩陣，讓學(xué)生觀察到這樣的乘法與相應(yīng)初等變換的關(guān)系。

(4)通過幾何圖形的線性變換(反射、旋轉(zhuǎn)、放縮、剪切)，了解特殊矩陣的乘積與線性變換的關(guān)系。

(5)通過不同的線性變換作用于向量，觀察變化前后的向量位置和縮短或伸長，來了解特征值、特征向量的幾何意義。

課后組織提高班、討論班，或在高等數(shù)學(xué)實驗課讓學(xué)生動手做實驗，用數(shù)學(xué)軟件來解決比較復(fù)雜或計算量很大的應(yīng)用題目、數(shù)學(xué)建模案例，并把線性代數(shù)知識推廣到其他科目。例如:

(1)通過多項式插值導(dǎo)出的病態(tài)線性方程組的計算，改變基向量或基函數(shù)，從而獲得良態(tài)的線性方程組，由此了解數(shù)值分析的穩(wěn)定性概念。

(2)通過已知的大量數(shù)據(jù)建立不同變量之間的函數(shù)關(guān)系，可以歸結(jié)為超定線性方程組的計算，從而了解數(shù)值分析的最小二乘法。

(3)通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算，來理解特征向量的意義，由此了解隨機過程中的Markov鏈的性質(zhì)。

(4)通過學(xué)習(xí)由線性方程組計算三次樣條插值，了解計算機圖形學(xué)的光滑曲線的構(gòu)造。

(5)通過演示差分法或有限元法求解微分方程，學(xué)習(xí)線性方程組的應(yīng)用，從而了解數(shù)值分析中的微分方程數(shù)值解法。

(6)讓學(xué)生自己建立關(guān)于營養(yǎng)均衡食譜滿足的條件，并通過數(shù)學(xué)軟件計算結(jié)果，可以歸結(jié)為求解線性方程組或矩陣不等式(線性規(guī)劃)問題。

我們還制作了“線性代數(shù)”課程網(wǎng)站、電子教案、教材中大部分習(xí)題的解答、我校網(wǎng)上論壇(易班)，并安排了習(xí)題課。另外，每學(xué)期在我校的兩個校區(qū)合計安排3～8次專題講座，每次2小時，由線性代數(shù)方面富有教學(xué)經(jīng)驗的教師做理論和應(yīng)用兩個方向的講座。

四、今后的改革

今后“線性代數(shù)”課程教學(xué)的改革方向是:

(1)增加平時成績的比重。把由原來的期末考試成績和平時作業(yè)成績決定的課程成績，改為單獨或多人合作做簡單的線性代數(shù)應(yīng)用項目，由撰寫的項目報告、期末考試和平時作業(yè)成績共同決定課程成績。通過多元化方法來確定學(xué)生的課程成績，可以增強學(xué)生對“線性代數(shù)”課的興趣，避免因考試臨場發(fā)揮不好等因素而影響課程成績。

(2)可以在校園或網(wǎng)絡(luò)論壇上張貼關(guān)于介紹線性代數(shù)知識和學(xué)習(xí)方法的海報、做線性代數(shù)問題的有獎?wù)鞔?。上課時，介紹線性代數(shù)的歷史、數(shù)學(xué)家簡介和概念的來源。從教材中選擇部分應(yīng)用例子，讓學(xué)生課后自行閱讀，寫讀書報告、心得體會，培養(yǎng)他們的自學(xué)能力。

(3)組織線性代數(shù)學(xué)習(xí)小組和學(xué)科交叉項目。一方面讓學(xué)生組織學(xué)習(xí)小組，一起討論線性代數(shù)方面的概念、性質(zhì)和學(xué)習(xí)中容易出錯的問題;另一方面讓他們一起研究與線性代數(shù)、微積分、微分方程、工程技術(shù)等相關(guān)的簡單學(xué)科交叉項目，鍛煉學(xué)生的獨立思考、自我學(xué)習(xí)、團隊合作等能力。

(4)盡量均衡試卷中要考的知識點，降低試卷中的計算量和難度，適當(dāng)增加線性代數(shù)應(yīng)用或建模問題。讓工科學(xué)生把線性代數(shù)學(xué)習(xí)的重心從單純的理論推導(dǎo)和手算，轉(zhuǎn)移到為了求解應(yīng)用問題，以及運用線性代數(shù)相關(guān)知識來推導(dǎo)對應(yīng)的性質(zhì)、計算對應(yīng)的結(jié)果，并對結(jié)果進行定性或定量的分析上來。

［1］同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)［M］.5版.北京:高等教育出版社，2007.

［2］LAY D C.線性代數(shù)及其應(yīng)用［M］.3版.劉深泉，洪毅，馬東魁，等譯.北京:機械工業(yè)出版社，2005.

［3］CARLSON D，JOHNSON C R，LAY D C，et al.The Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendations for the First Course in Linear Algebra［J］.The College Mathematics Journal，1993，24(1):41－46.

［4］陳懷琛，高淑萍，楊威.工程線性代數(shù):MATLAB版［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2007.

［5］陳懷琛，高淑萍，楊威.科學(xué)計算能力培養(yǎng)與線性代數(shù)改革［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2009，19(3):23－25.

［6］陳懷琛.線性代數(shù)要與科學(xué)計算結(jié)成好伙伴［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26(S1):28－34.