徐秀玲

[摘 要] 初中數(shù)學(xué)不只是抽象地研究數(shù)與形，初中數(shù)學(xué)需要借助初中生的認(rèn)知特點(diǎn)，確保形象思維和抽象思維均得到充分運(yùn)用，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的知行合一. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是實(shí)現(xiàn)這一教學(xué)目標(biāo)的重要途徑，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與自然科學(xué)實(shí)驗(yàn)類似，但又具有數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征. 本文以“勾股定理”為列，闡述如何通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)知行合一.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；知行合一

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一個新興事物，在百度中輸入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)關(guān)鍵詞會發(fā)現(xiàn)，其更多地指向以計算機(jī)技術(shù)為基礎(chǔ)的大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，這意味著，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)階段，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)還沒有得到廣泛認(rèn)識，更別說理解了. 但事實(shí)上，初中數(shù)學(xué)又蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，從基本的合情推理，到數(shù)學(xué)課堂上的數(shù)學(xué)活動，其實(shí)都有數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的影子. 有人這樣界定數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)涵：為獲得某種數(shù)學(xué)理論，檢驗(yàn)?zāi)硞€數(shù)學(xué)猜想，解決某類問題，實(shí)驗(yàn)者運(yùn)用理性的手段，在數(shù)學(xué)思維活動的作用下，在特定的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中進(jìn)行探索、研究活動. 這樣的界定指明了數(shù)字實(shí)驗(yàn)的基本含義，但對實(shí)驗(yàn)本身特點(diǎn)的描述不夠充分. 筆者梳理其他相關(guān)資料后發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有實(shí)驗(yàn)特性，選擇數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)所需要的器材并以一定的步驟加以運(yùn)用，也是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本因子. 在這樣的視角之下，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)既具有動手的含義，又具有動腦的要素，從而具有數(shù)學(xué)探究特征. 從這個角度講，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，應(yīng)當(dāng)是一件一舉多得的事情.

需指明的是，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一種操作性活動，其有利于數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)行為的巧妙結(jié)合，也有利于數(shù)學(xué)教學(xué)的知行合一.

初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的理論梳理

根據(jù)筆者對相關(guān)理論的梳理發(fā)現(xiàn)，在自然科學(xué)及自然學(xué)科的教學(xué)中，在新課程改革的背景之下，實(shí)驗(yàn)所充當(dāng)?shù)淖饔贸俗鳛榭茖W(xué)概念的背景之外，就是作為科學(xué)規(guī)律的探究的某一個環(huán)節(jié)存在. 事實(shí)上，數(shù)學(xué)與科學(xué)關(guān)系密切，很多科學(xué)家本身也是數(shù)學(xué)家，而大數(shù)學(xué)家歐拉也說，“數(shù)學(xué)這門科學(xué)需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)是科學(xué)研究的基本方法，數(shù)學(xué)也不例外. ”那么，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)當(dāng)以什么樣的形態(tài)出現(xiàn)在學(xué)生面前呢？筆者以為這首先是一個理論問題.

研究表明，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的出現(xiàn)形式與科學(xué)探究中的形式并無質(zhì)的區(qū)別，具體到數(shù)學(xué)探究的過程中，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為核心的課堂教學(xué)常常由如下幾個部分組成.

第一步：創(chuàng)設(shè)情境，提出數(shù)學(xué)問題. 數(shù)學(xué)情境的作用自不必細(xì)說，數(shù)學(xué)情境對于數(shù)學(xué)問題的提出，其作用主要體現(xiàn)在情境對數(shù)學(xué)認(rèn)知平衡的作用上. 研究表明，良好的數(shù)學(xué)情境可以讓學(xué)生原有的認(rèn)知平衡受到?jīng)_擊，從而讓學(xué)生產(chǎn)生問題意識. 一旦學(xué)生的問題經(jīng)過語言或文字表達(dá)出來，那就成為一個有形的數(shù)學(xué)問題. 從數(shù)學(xué)探究的角度來看，適合學(xué)生解決的數(shù)學(xué)問題才是有意義的.

第二步：作出數(shù)學(xué)猜想. 對于提出的數(shù)學(xué)問題，其答案可能是什么？一般來說需要經(jīng)過學(xué)生的猜想過程. 猜想不是沒有依據(jù)的瞎想，猜想是學(xué)生結(jié)合原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，并對新問題進(jìn)行可能性判斷的過程. 猜想不一定正確，但一般來說猜想必須有依據(jù). 有無依據(jù)，一般是衡量學(xué)生猜想質(zhì)量的重要指標(biāo).

第三步：設(shè)計數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想. 猜想是否正確，需通過證明. 一般來說，證明方式有兩種：一種是數(shù)學(xué)推理，即通過已知的數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行邏輯上的推理，其需要的是學(xué)生的邏輯思維，學(xué)生此時的加工對象是抽象的數(shù)（包括符號、公式等）與形；另一種是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也需要邏輯思維，但其表現(xiàn)往往是形象的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，其往往需要形象思維超過抽象思維. 相比較而言，后者對于更多的初中生具有普適性，但在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)情境下，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)因?yàn)樾枰臅r間更長，因而常常為教師所放棄（當(dāng)然也有可能是數(shù)學(xué)教師無運(yùn)用意識）.

第四步：進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，收集實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及數(shù)據(jù). 根據(jù)設(shè)計的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)步驟，利用相應(yīng)的器材（這里所說的器材不一定是有形的器材，與自然科學(xué)的探究不一樣，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的器材更多的是相關(guān)計算機(jī)應(yīng)用軟件的使用）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，觀察現(xiàn)象并收集相關(guān)數(shù)據(jù).

第五步：得出數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)規(guī)律. 數(shù)學(xué)規(guī)律的得出依賴于實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，利用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行規(guī)律分析.

第六步：對規(guī)律進(jìn)行數(shù)學(xué)化. 上一步驟中得出的數(shù)學(xué)規(guī)律往往是經(jīng)驗(yàn)性的，對于經(jīng)驗(yàn)性的樸素數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理，使之變成科學(xué)的數(shù)學(xué)規(guī)律，是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的最終步驟.

上述內(nèi)容是一個完整的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程，其既類似于自然科學(xué)中的實(shí)驗(yàn)步驟，又具有明顯的數(shù)學(xué)特征：其一，其面對的對象是數(shù)學(xué)的；其二，其過程中用到的是數(shù)學(xué)工具與數(shù)學(xué)思維；其三，其結(jié)果需要數(shù)學(xué)化.

初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)實(shí)踐

在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的運(yùn)用既具有普遍的共性，又與具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān). 一般來說，想要尋找一個精細(xì)且放之四海而皆準(zhǔn)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ?，幾乎不可? 但在宏觀步驟（如上）的指導(dǎo)之下，結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容去設(shè)計一個數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，那是可能的. 現(xiàn)以“勾股定理”的教學(xué)為例，談?wù)劰P者的探究過程.

勾股定理是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，其以什么樣的形式出現(xiàn)在學(xué)生面前，關(guān)鍵在于教學(xué)重點(diǎn)的確定. 筆者認(rèn)為，對于本內(nèi)容的教學(xué)，探究的過程是重點(diǎn)，因此問題的提出相對就應(yīng)簡單一些. 筆者提出的問題是：中國數(shù)學(xué)研究有一個規(guī)律叫“勾三股四弦五”，它是什么意思呢？西方的古老數(shù)學(xué)中有一個數(shù)學(xué)家叫畢達(dá)哥拉斯，它有一項(xiàng)重要發(fā)現(xiàn)，是什么發(fā)現(xiàn)呢？通過古代中外兩個殊途同歸的數(shù)學(xué)研究引入課題，算是一種情境創(chuàng)設(shè)，可以吸引學(xué)生的興趣，也可以激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

在提出問題與猜想環(huán)節(jié)，筆者也沒有花太多的時間，主要任務(wù)有二：其一，借助直角三角形，解釋“勾三股四弦五”的含義；其二，介紹畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)（具體可以參考教材，這里不贅述）. 然后提出問題：是不是所有的直角三角形都滿足這樣的規(guī)律呢？

學(xué)生的猜想這時往往有困難，因?yàn)檫@個問題學(xué)生不具有猜想的知識基礎(chǔ)，無論答案是“是”還是“不是”，往往只能是學(xué)生的無意識判斷，不宜花費(fèi)太多時間.endprint

在設(shè)計實(shí)驗(yàn)與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證兩個環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的魅力可以得到充分彰顯. 首先是實(shí)驗(yàn)的設(shè)計，學(xué)生面臨的主要問題是：兩條直角邊的平方可以轉(zhuǎn)換成什么？而學(xué)生的答案往往是：長度. 這個時候，學(xué)生很少想到面積. 于是，第一個數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)往往不是利用面積來證明，而是利用純粹的長度來證明. 筆者在實(shí)驗(yàn)中借助應(yīng)用軟件，可以相對精確地測出兩條直角邊和斜邊的長度，然后求出它們的平方，并去檢驗(yàn)其是否滿足直角邊的平方和等于斜邊的平方這一關(guān)系. 有意思的是，學(xué)生還會下意識地在紙上畫出一個直角三角形，然后利用刻度尺去測量. 筆者以為這也是有價值的，盡管其不精確，但實(shí)驗(yàn)思想?yún)s是正確的. 但就算是借助計算機(jī)軟件，其關(guān)系也不是十分精確.

面對這樣的困難，教師需要引導(dǎo)學(xué)生思考：測量和計算的方法，是純粹的數(shù)學(xué)意義. 而某一條邊的平方還具有幾何意義！這樣的引導(dǎo)，容易讓學(xué)生想到正方形的面積，于是學(xué)生的思維就由測量計算轉(zhuǎn)向?qū)ふ遗c三條邊相關(guān)的面積關(guān)系——這是這一數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的核心所在. 傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，為什么會想到用面積關(guān)系來證明勾股定理，這是難以突破的. 但在這樣的實(shí)驗(yàn)過程中，基于學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)去進(jìn)行引導(dǎo)，可以讓學(xué)生產(chǎn)生一種恍然大悟的感覺，而這樣的感覺恰恰會為后面的實(shí)驗(yàn)探究奠定基礎(chǔ).

至于后面的實(shí)驗(yàn)過程，同行們倒是比較熟悉，這里也不贅述，只是需要強(qiáng)調(diào)的是，實(shí)驗(yàn)的最后需要進(jìn)行數(shù)學(xué)化. 因?yàn)閷W(xué)生得到的結(jié)果往往是經(jīng)驗(yàn)化的表述，“一條直角邊的平方，加上另一條直角邊的平方，等于斜邊的平方”是學(xué)生最容易產(chǎn)生的說法，而由其引導(dǎo)到最終的勾股定理過程不容忽視，這里要跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)語言的簡潔性.

到此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程全部結(jié)束. 分析這段過程，發(fā)現(xiàn)其既與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)有重疊的地方，又有所不同，而不同之處，往往也是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵之處

基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)

今天，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形，而數(shù)與形又是高度抽象的，因此，無論是教師還是學(xué)生，總認(rèn)為抽象是數(shù)學(xué)的特征. 其實(shí)這一認(rèn)識是片面的，尤其是對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，要充分展示其形象性，而形象性的重要手段就是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).

在筆者上面所舉的例子中，既有必要的抽象思維，又有豐富的形象操作手段，無論是學(xué)生粗糙的測量、計算操作，還是借用計算機(jī)軟件的操作，其實(shí)都是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想體現(xiàn).

因此，筆者認(rèn)為，初中數(shù)學(xué)教學(xué)要高度重視實(shí)驗(yàn)的價值，要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，形象思維與抽象思維得到協(xié)調(diào)運(yùn)用，讓動手和動腦能夠相互促進(jìn)，這對于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)而言，具有重要的意義. 對于初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)而言，也是重要的實(shí)現(xiàn)途徑. 數(shù)學(xué)是知，實(shí)驗(yàn)是行，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，無疑有效地促進(jìn)了知行合一.endprint